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直线与圆的位置关系知识点及例题


辅导学案

直线与圆的位置关系
一、知识点梳理
1、直线与圆的位置关系:
r 为半径,d 为圆心到直线的距离 图 形 名 称 判 定 交点个数 例 1、下列判断正确的是( )
①直线上一点到圆心的距离大于半径,则直线与圆相离;②直线上一点到圆心的距离等于半径,则直线与圆相切;③直 线上一点到圆心的距离小于半径,?则直线与圆相交. A.①②③ B.①② C.②③ D.③

相 离 d>r 无

相 切 d=r 1个

相 交 d<r 2个

例 2、过圆上一点可以作圆的______条切线;过圆外一点可以作圆的_____条切线;?过圆内一点的圆的切线______. 例 3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切,则此三角形是_______. 例 4、下列直线是圆的切线的是( )
A.与圆有公共点的直线 C.垂直于圆的半径的直线 B.到圆心的距离等于半径的直线 D.过圆直径外端点的直线

例 5.如图所示,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CA=6,CB=8,以 C 为圆心,r 为半径作⊙C,当 r 为多少时,⊙C
与 AB 相切?

2、切线的判定:
(1)根据切线的定义判定:即与圆有 一个 公共点的直线是圆的切线. (2)根据圆心到直线的距离来判定:即与圆心的距离等于 半径 的直线是 圆的切线. (3)根据切线的判定定理来判定:即经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线. 判定切线时常用的辅助线作法: (1)若直线与圆有公共点时,辅助线的作法是“连结圆心和公共点” ,再证明直线和半径垂直. (2)当直线与圆并没有明确有公共点时,辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的 距离等于圆的半径.

例 6、判断下列命题是否正确
(1)经过半径的外端的直线是圆的切线 (2)垂直于半径的直线是圆的切线; 领航教育秋季班课程·数学(第 1 页 共 4 页)

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(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线; (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线; (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的高为半径的圆与底边相切.

例 7.OA 平分∠BOC,P 是 OA 上任一点(O 除外) ,若以 P 为圆心的⊙P 与 OC 相离,?那么⊙P 与 OB 的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切

例 8、如图所示,在直角坐标系中,⊙M 的圆心坐标为(m,0) ,半径为 2,?如果⊙M 与 y 轴所在直线相
切,那么 m=______,如果⊙M 与 y 轴所在直线相交,那么 m?的取值范围是_______.

例 9、如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 M,过点 B 作 BE∥CD,交 AC?的延长线于点 E,
连结 BC. (1)求证:BE 为⊙O 的切线; (2)如果 CD=6,tan∠BCD=

1 2

,求⊙O 的直径.

例 10、如图,已知:△ABC 内接于⊙O,点 D 在 OC 的延长线上,sinB=
(1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)若 AC=6,求 AD 的长.

1 2

,∠D=30°.

例 11、如图,P 为⊙O 外一点,PO 交⊙O 于 C,过⊙O 上一点 A 作弦 AB⊥PO 于 E,若
∠EAC=∠CAP,求证:PA 是⊙O 的切线.

3、切线的性质:
1、经过切点的半径垂直于圆的切线,经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 对于切线的性质可分解为:过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件,就可以推出第 三个作为结论

4、切线长定理:
切线长定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹 角.
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例 12、如图 1,PA、PB 是⊙O 的两条切线、A、B 为切点。PO 交⊙O 于 E 点 (1)若 PB=12,PO=13,则 AO=____ (2)若 PO=10,AO=6, 则 PB=____ (3)若 PA=4,AO=3,则 PO=____;PE=_____. (4)若 PA=4,PE=2,则 AO=____.

例 13、如图 2,PA、PB 是⊙O 的两条切线、 A、B 为切点,CD 切⊙O 于 E 交 PA、PB 于 C、D 两点。 (1)若 PA=12,则△PCD 周长为____。 (2)若△PCD 周长=10,则 PA=____。 (3)若∠APB=30° ,则∠AOB=_____,M 是⊙O 上一动点,则∠AMB=____

3、三角形的内切圆
(1)定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角 形叫做圆的外切三角形. (2)三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点,它到三边的距离相等. (3)连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角. (4)三角形的内切圆和三角形的外接圆的比较:
[来源:学§科§网]

图形
A

⊙O 的名称

△ABC 的名称

圆心 O 的名称[

圆心 O 确定

“圆心”的性质

D B

F O

⊙O 叫做△ ABC 的内切
C

△ABC 叫做⊙O 的外 切三角形

圆心 O 叫做△ABC 的内心

作两角的角平分 线

内心 O 到三边的 距离相等



E

A

⊙O 叫做△
O B

ABC 的外接 圆
C

△ABC 叫做⊙O 的内 接三角形

圆心 O 叫做△ABC 外心

作两边的中垂线

外心 O 到三个顶 点的距离相等

(5)、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系: 如图,⊙I 切△ABC 三边于点 D、E、F,
领航教育秋季班课程·数学(第 3 页 共 4 页)

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1 则 AD=AF= ( AB ? AC ? BC ) 2 1 BD=BE= ( AB ? BC ? AC ) 2 1 CE=CF= ( AC ? BC ? AB ) 2
特别地, 当∠C =Rt∠时, 如图, 四边形 CEID 是正方形, 内切圆的半径
A

D I

F

A

C B E

D

F

r ? CE ? S ABC

1 (CA ? CB ? AB ) 2 1 ? rl (其中 r 、l 分别是内切圆的半径和三角形的周长) 2

I C B E

例 14、如图 Rt△ABC 的内切圆分别与 AB、AC、BC、相切于点 E 、D、F,且∠ACB=90° ,AC=3、BC=4, 求⊙O 的半径。

例 15、如图 7—162,在△ABC 中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,点 O 是三角形的内心.
求:∠BOC.

例 16、如图,⊙O 是△A BC 的内切圆,D,E,F 是切点, ∠A=50°,∠C=60°,?则∠DOE=(
A.70° B.110° C.120° D.130°



例 17、如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C=90°,AO 的延长线交 BC 于点 D,AC=4,?DC=1,则⊙O 的
半径等于( A. ) B.

4 5

5 4

C.

3 4

D.

5 6

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