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2015年江苏高考南通密卷三(南通市数学学科基地命题)


2015 年高考模拟试卷(3)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.已知集合 M ? x | x2 ? 2x ? 0 , N ? ? x | x ? 1? ,
开始

?

?

则 ( ?R M) N =

.

a

1, b

1 N

2.如果 a ? 1 ? bi 与 -b ? i 互为共轭复数( a, b ? R, i 为虚数单位) , 则 | a ? bi | = . .
b

a< 4 Y 2b + a

输出 b

结束

3.如右图,该程序运行后输出的结果为

a

a +1

1 4.在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点, AC ? 1 .若 sinB= , 3 则 AM =________. 5.某单位有 A, B, C 三部门,其人数比例为 3∶4∶5,现欲用分层抽样方法抽调 n 名志愿者支援 西部大开发 .若在 A 部门恰好选出了 6 名志愿者,那么 n=________. 6.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?)(? ? 0, 且 | ? |?
f (0) 的值为

?
2

) 的部分图像如图所示,则

.

7.连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a,b,则函数
f ( x) ? ax2 ? bx 在 x ? 1 处取得最值的概率是

.

8.在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中,已知 a1 ? ?8, a2 ? ?2, b1 ? 1, b2 ? 2 ,那么满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是 .
E

9.已知如图所示的多面体 EF ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形,四 边形 BDEF 是矩形,ED⊥平面 ABCD,∠BAD=

? .若 BF=BD 3
A

D F

C

=2,则多面体的体积
10.如果关于 x 的方程 x ?



B

a ? 3 有两个实数解,那么实数 a 的值是 x2



?? x ? a ?2 , x? 0, ? 11.设 f ? x ? ? ? 若 f ? 0 ? 是 f ? x ? 的最小值,则实数 a 的取值范围为 1 x ? ? a, x ? 0. ? ? x

.

第 1 页,共 15 页

12. 已知椭圆

a2 x2 y 2 右焦点、 右顶点依次为 O , F , G , 直线 x ? 与x轴 ? ? 1(a ? 3) 的中心、 2 a 3 a2 ? 3

交于 H 点,则

FG OH

取得最大值时 a 的值为

.

13.在四边形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? BC ,

BA BA

?

BC BC

?

3 BD BD

,则四边形 ABCD 的面积





14. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 数 F ( x) ? f ( x) ? a(?1 ? a ? 0) 的所有零点之和为 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.

?log 1 ( x ? 1), x ? ?0,1? ? 2

? ?1 ? x ? 3 , x ? ?1, ?? ?
(用 a 表示)

,则关于 x 的函

?AOB ? ?( 0 ? ? ? ? ) 15. (本小题满分 14 分) 如图, 在 xoy 平面上, 点 A(1,0) , 点 B 在单位圆上,

3 4 ? (1)若点 B(? , ) ,求 tan(? ? ) 的值; 4 5 5
(2)若 OA ? OB ? OC , OB ? OC ?

y B
O

18 ? ,求 cos( ? ? ) . 13 3

C

A

x

第 15 题图

16 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平面PAC ? 平 面
ABCD , ?ABC 是边长为 4 的正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 ?ADC ? 120 ,点

N 在线段 PB 上,且

PN 1 ? . NB 3
N

P

(1)求证: PA ? BD ; (2)求证: MN / / 平面 PDC .

A D M B C

第 2 页,共 15 页

17.(本小题满分 14 分)2014 年 8 月以“分享青春,共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行, 为此某商店经销一种青奥会纪念徽章,每枚徽章的成本为 30 元,并且每卖出一枚徽章需向 相关部门上缴 a 元( a 为常数, 2 ? a ? 5 ) ,设每枚徽章的售价为 x 元(35 ? x ? 41 ).根据市 场调查, 日销售量与 e x( e 为自然对数的底数) 成反比例.已知当每枚徽章的售价为 40 元时, 日销售量为 10 枚. (1)求该商店的日利润 L( x) 与每枚徽章的售价 x 的函数关系式; (2)当每枚徽章的售价为多少元时,该商店的日利润 L( x) 最大?并求出 L( x) 的最大值.

18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 a 2 b2

?

2,1 ,离心率为

?

2 . 2

(1)若 A 是椭圆 E 的上顶点, F1 , F2 分别是左右焦点,直线 AF1 , AF2 分别交椭圆于 B, C ,直 线 BO 交 AC 于 D,求证 S?ABD : S?ABC ? 3: 5 ; (2)若 A1 , A2 分别是椭圆 E 的左右顶点,动点 M 满足 MA2 ? A1 A2 ,且 MA1 交椭圆 E 于点 P . 求证: OP ? OM 为定值.

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1 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x , g ( x) ? ?bx ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2
(1)若 f ( x) 在 x ?
2 处取得极值,且 f ?(1) ? g (?1) ? 2 ,求函数 h(x)的单调区间; 2

(2)若 a ? 0 时函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2. ①求 b 的取值范围;②求证:

x1 x2 ? 1. e2

20. (本小题满分 16 分) 若数列 ?Cn ? 满足① cn cn? 2 ? cn?1 , ②存在常数 M ( M 与 n 无关) , 使 cn ? M . 则称数列 ?cn ? 是“和谐数列”. (1)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a4 ? 2, S4 ? 30 ,求证:数列 ?Sn ? 是“和谐数列” ; (2)设 ?an ? 是各项为正数,公比为 q 的等比数列, Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,求证:数列 ?Sn ? 是“和谐数列”的充要条件为 0 ? q ? 1 .

第 4 页,共 15 页

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应 的答题区 ............ .... 域内作答 . .... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C.若 AB = 2 BC , 求证: ?A ? ?C .
A O D

B

C

?2 a ? B. (选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 M ? ? ? ,其中 a , b 均为实数,若点 A(3, ? 1) 在矩 ?b 1 ?

阵 M 的变换作用下得到点 B(3,5) ,求矩阵 M 的特征值.

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴
3 ? x ?2? t ? ? 5 建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线 C1 : ? ( t 为参数)和曲 4 ?y ? t ? 5 ?

线 C2 : ? sin 2 ? ? 2cos? 相交于 A、 B 两点,求 AB 中点的直角坐标.

a 2 ? 2b2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? 5 , D. (选修4-5: 不等式选讲) 已知实数 a, b, c, d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 ,

求 a 的取值范围.

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游,甲提议去古都西安,乙提 议去海上花园厦门,丙表示随意.最终,三人商定以抛硬币的方式决定结果.规则是:由 丙抛掷硬币若干次,若正面朝上,则甲得一分、乙得零分;若反面朝上,则乙得一分、甲 得零分,先得 4 分者获胜.三人均执行胜者的提议.若记所需抛掷硬币的次数为 X. (1)求 X ? 6 的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分)在数学上,常用符号来表示算式,如记 ? ai = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ?
i ?0

n

? an ,

其中 i ? N , n ? N ? .
i (1)若 a 0 , a1 , a 2 ,…, a n 成等差数列,且 a0 ? 0 ,求证: ? ? ai Cn ? ? an ? 2n?1 ; i ?0 n

( 2 )若 ? (1 ? x) k ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ?
k ?1

2n

i a2 n x 2 n , bn ? ? a2i ,记 d n ? 1 ? ? [(? 1)i bi Cn ],且不等 i ?0 i ?1

n

n

式 t ? (dn ? 1) ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围.

第 6 页,共 15 页

2015 年高考模拟试卷(3)参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ 卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1. ? 0,1? ; 2. 5 ; 3.1027; 由流程图, b 和 a 的值依次为 1,1;3, 2;10,3;1027, 4 ,结束循环. 4. 3 ;5.24;6. ? 3 ;7

1 ; 8. ?3,5? ; 【解析】 由已知得, an ? 6n ? 14, bn ? 2n?1 ,令 12

an ? bn , 可得 6n ? 14 ? 2n ?1 , 解得 n ? 3 或 5, 所以满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是 ?3,5? .
9.

8 如图,连接 AC,AC∩BD=O.因为四边形 ABCD 是 3; 【解析】 3

E

D

C O F

菱形,所以,AC⊥BD,又因为 ED⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, 所以, ED⊥AC. 因为, ED , BD? 平面 BDEF ,且 ED∩BD = D ,所
A

B

以,AC⊥平面 BDEF,所以,AO 为四棱锥 ABDEF 的高.又因为,四边形 ABCD 是菱形, ∠BAD= S

? ,所以,△ABD 为等边三角形.又因为,BF=BD=2,所以,AD=2,AO= 3 , 3
四棱锥

四边形

BDEF= 4 ,所以, V

ABDEF =

4 8 3 ,即多面体的体积为 3. 3 3

10 . ?2 ;

11. ? 0, 2? ; 12.2;
2 3; 13. 【解析】设

BA

BC BD 1 则|a|=|b|=|c|=1, a+b= 3 c, 所以, 得 cos<a,b>= , ?a, ?b, ?c, 2 BA BC BD
3 ? ?2 3. 角的菱形,所以,其面积 S ? 2 ? 2 ? 2 3

又由 AD ? BC ,所以,可得图形为有一个
a

?1? 14. 1 ? ? ? ; 【解析】 根据对称性,作出 R 上的函数图象, ?2?
由 F ( x) ? f ( x) ? a , 所以, 零点就是 f ( x) 与 y ? ?a ? ? 0,1? 交 点的横坐标,共有 5 个交点,根据对称性,函数 f ( x) 的图 象与
-3 x3 -4 -2 x4-1

y 1 1 2 x1 3 x2 4 -1 x y=-a

所以,x1 ? x2 ? 6 , 在 ? ?5 y ? ?a ? ? 0,1? 的交点在 ? 2, 4 ? 之间的交点关于 x ? 3 对称, ,? 4 ?? ? 3 ,? 2 之间的两个交点关于 x ? ?3 对称,所以, x3 ? x4 ? ?6 ,设 x ? ? ?1,0? ,则 ? x ? ?0,1? ,所以, 第 7 页,共 15 页

?

f (? x) ? log 1 (? x ? 1) ? ? f ( x) ,即 f ( x) ? ? log 1 (? x ? 1) ,由 f ( x) ? a ? 0 ,所以,
2 2

?1? ?1? ? log 1 (? x ? 1) ? a ? 0 ,即 x5 ? 1 ? ? ? ,所以, x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 1 ? ? ? . ?2? ?2? 2
二、解答题

a

a

3 4 3 4 15. (1)由于 B(? , ) , ?AOB ? ? ,所以 cos? ? ? , sin ? ? , 5 5 5 5
4 ? 1 ? tan ? 1 所以 tan ? ? ? , 所以 tan(? ? ) ? ?? ; 3 4 1 ? tan ? 7
(2)由于 OA ? (1,0) , OB ? (cos? ,sin ? ) , 所以 OC ? OA ? OB ? (1 ? cos? ,sin ? ) ,

OC ? OB ? cos? ? (1 ? cos? ) ? sin 2 ? ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?
所以 cos ? ? 所以 cos(

18 . 13

5 12 ,所以 sin ? ? , 13 13

?
3

? ? ) ? cos

?
3

cos ? ? sin

?
3

sin ? ?

5 ? 12 3 . 26

16. (1)因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC , 又 平面PAC ? 平面ABCD , 平面PAC 所以 BD ? 平面 PAC . 又 PA ? 平面 PAC ,所以 PA ? BD . . (2)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD , 因为 ?ADC ? 120 ,所以 ?ADM ? 60 . 所以, DM ?
2 3 ,所以 BM : MD ? 3 :1 , 3
B N

平面ABCD ? AC, BD ? 平面 ABCD , BD ? AC ,
P

A D M C

所以 BN : NP ? BM : MD ,所以 MN // PD . 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC , 所 以 MN // 平面 PDC .

第 8 页,共 15 页

17. (1)设日销售量为

k k ,则 40 ? 10 , x e e
10e40 枚. ex

所以 k ? 10e40 ,则日销售量为

每枚徽章的售价为 x 元时,每枚徽章的利润为 ( x ? 30 ? a) 元, 则日利润 L( x) ? ( x ? 30 ? a) (2) L?( x) ? 10e40

10e40 x ? 30 ? a ? 10e40 (35 ? x ? 41) . x e ex 31 ? a ? x (35 ? x ? 41) . ex

①当 2 ? a ? 4 时, 33 ? 31 ? a ? 35 ,而 35 ? x ? 41 , 所以 L?( x) ? 0, L( x) 在 ?35, 41? 上单调递减, 则当 x ? 35 时, L( x) 取得最大值为 10(5 ? a)e5 . ②当 4 ? a ? 5 时, 35 ? 31 ? a ? 36 ,令 L?( x) ? 0 ,得 x ? a ? 31 , 当 x ??35, a ? 31? 时, L?( x) ? 0, L( x) 在 ?35, a ? 31? 上单调递增; 当 x ? ? a ? 31,41? 时, L?( x) ? 0, L( x) 在 ? a ? 31, 41? 上单调递减. 所以当 x ? a ? 31 时, L( x) 取得最大值为 10e9 ? a . 综上, 当 2 ? a ? 4 时, 每枚徽章的售价为 35 元时, 该商店的日利润 L( x) 最大, L( x)max ? 10(5 ? a)e5 ; 当 4 ? a ? 5 时, 每枚徽章的售价为 ( a ? 31 ) 元时, 该商店的日利润 L( x) 最大,L( x)max ? 10e9?a .
1 ?2 ? 2 ? 1, 2 ? b ?a 18. (1)易得 ? 且 c2 ? a 2 ? b2 , c 2 ? ? , ? 2 ?a
2 ? ?a ? 4, 解得 ? 2 ? ?b ? 2,
F1 B

y
A

D

o

F2 C

x

所以,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + = 1; 4 2

所以, A(0, 2), F1 (? 2,0), F2 ( 2,0) , 所以,直线 AB : y ? x ? 2 ,直线 AC : y ? ? x ? 2 将 y ? x ? 2 代入椭圆方程可得 3x2 ? 4 2 x ? 0 ,

第 9 页,共 15 页

所以 B(?

4 1 4 1 2, ? 2) ,同理可得 C ( 2, ? 2) , 3 3 3 3 1 x, 4

所以直线 BO 为 y ?

1 ? 4 1 ?y ? x 2 联立 ? ,得交点 D( 2, 2) , 5 5 ? y ? ?x ? 2 ?

8 8 所以, AD ? , AC ? ,即 AD : AC ? 3 : 5 5 3
所以, S
ABD

y
P M

:S

ABC

? 3: 5 ;
A1 F1

y0 ) , P( x1, (2)设 M (2, y1 ) ,

o

F2

A2

x

易得直线 MA1 的方程为 y ? 代入椭圆

y0 y x? 0 , 4 2

y2 y2 y2 x2 y 2 + = 1 ,得 1 ? 0 x 2 ? 0 x ? 0 ? 4 ? 0 , 8 2 2 4 2

?

?

由 ?2 x1 ? 从而 y1 ?

4 ? y0 2 ? 8? y02 ? 8
8 y0 , y0 2 ? 8

得, x1 ?

?2 ? y0 2 ? 8? y0 2 ? 8



2 ?4 ? y02 ? 8? 8 y02 ? ?2 ? y0 ? 8? 8 y0 ? 所以 OP ? OM ? ? , ? (2 , y ) ? ? ?4. 0 2 y02 ? 8 ? y02 ? 8 y02 ? 8 ? y0 ? 8 ?

19. (1)因为 f ?( x) ? ax ?

1 ,所以 f ?(1) ? a ? 1 , x

由 f ?(1) ? g (?1) ? 2 可得 a=b-3. 又因为 f ( x) 在 x ? 所以 f ?(
2 处取得极值, 2

2 2 )? a? 2 ?0, 2 2

所以 a= -2,b=1 . 所以 h( x) ? ? x2 ? ln x ? x ,其定义域为(0,+ ? )

h?(x) ? ?2x ?

1 ?2x2 ? x ? 1 ?(2x ? 1)( x ? 1) ? 1= ? x x x

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1 令 h?(x) ? 0 得 x1 ? ? , x2 ? 1 , 2
当 x ? (0,1)时, h?(x)>0 ,当 x ? (1,+ ? ) h?(x)<0 , 所以函数 h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+ ? )上单调减. (2)当 a ? 0 时, h(x) ? ln x ? bx ,其定义域为(0,+ ? ). ①由 h(x) ? 0 得 b ? 所以 ? (x) ? ?

ln x ln x ln x ? 1 ,记 ? (x) ? ? ,则 ??(x) ? , x x x2

ln x 在 (0, e) 单调减,在 (e, ??) 单调增, x ln x 1 取得最小值 ? . x e

所以当 x ? e 时 ? (x) ? ?

又 ? (1) ? 0 ,所以 x ? (0,1) 时 ? (x) ? 0 ,而 x ? (1, ??) 时 ? (x) ? 0 ,

1 所以 b 的取值范围是( ? ,0). e
②由题意得 ln x1 ? bx1 ? 0,ln x2 ? bx2 ? 0 , 所以 ln x1 x2 ? b(x1 ? x2 ) ? 0,ln x2 ? ln x1 ? b(x2 ? x1 ) ? 0 , 所以
ln x1 x2 x ? x2 ? 1 ,不妨设 x1<x2, ln x2 ? ln x1 x2 ? x1

要证 x1 x2 ? e2 , 即证 ln x2 ? ln x1 ? 则 F (t ) ? ln t ?

只需要证 ln x1 x2 ?

x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 . x2 ? x1

2( x2 ? x1 ) x ,设 t ? 2 (t ? 1) , x2 ? x1 x1

2(t ? 1) 4 ? ln t ? ?2, t ?1 t ?1 1 4 (t ? 1) 2 ? ? 0, 所以 F ?(t ) ? ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2
所以函数 F (t ) 在(1,+ ? )上单调增,而 F (1) ? 0 , 所以 F (t ) ? 0 即 ln t ? 所以 x1 x2 ? e2 .
?a4 ? a1q3 ?a1 ? 16 ? ? 4 ? 20. (1)设公比为 q ,则 ? ? 1 , a1 (1 ? q ) q? ? s4 ? ? ? 2 1? q ?

2(t ? 1) , t ?1

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所以 sn ? 32 ?

1 2
n ?5

.
1 2
n ?5

因为 sn sn ? 2 ? (32 ? = 322 ? 32 ( = (32 ?
1 2
n ?5

)(32 ? 1 2
2 n ?8

1 2
n ?3

) 1 2
n?4

?

1 2
n ?3

)?

? 322 ? 2 32

?

1 2
2 n ?8

1 2 1 ) ? 32 ? n ? 4 ? Sn ?1 . 2n ? 4 2

且 Sn ? 32 ?

1 2
n ?5

? 32. 即存在常数 32,

所以,数列 ?Sn ? 是“和谐数列” . (2)充分性 设等比数列 ?an ? 的公比 q ,且 0 ? q ? 1. 则 Sn ? 令M ?
a1 (1 ? q n ) a a qn a ? 1 ? 1 ? 1 . 1? q 1? q 1? q 1? q
a1 ,则 Sn ? M . 1? q

a a 因为 Sn Sn ? 2 ? ( 1 ) 2 (1 ? q n )(1 ? q n ? 2 ) ? ( 1 ) 2 (1 ? q n ? q n ? 2 ? q 2 n ? 2 ) 1? q 1? q a a ? ( 1 ) 2 (1 ? 2q n ?1 ? q 2 n ? 2 ) ? ( 1 ) 2 (1 ? q n ?1 ) 2 ? Sn ?12 1? q 1? q

所以 ?Sn ? 是“和谐数列” 必要性 等比数列 ?an ? 各项为正,且 Sn 是“和谐数列”. 因为 an ? 0. 所以, q ? 0. 下面用反证法证明, q ? 1 (1)当 q ? 1, 则 Sn ? na1 , 因为 a1 ? 0, 所以,不存在 M ,使 na1 ? M 对 n ? N ?1 恒成立; 当 q ? 1 ,则 Sn ?
a1 (q n ? 1) a a ? 1 qn ? 1 q ?1 q ?1 q ?1
a1 n a q ? 1 ? M, q ?1 q ?1

所以,对于给定的正数 M ,若

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因为, q ? 1 ,所以, n ? log q ( 即当 n ? log q (

q ?1 M ? 1). a1

q ?1 M ? 1) 时,有 Sn ? M . a1

所以,不存在常数 M ,使 Sn ? M . 所以, 0 ? q ? 1. 综上,数列 ?Sn ? 是“和谐数列”的充要条件为其公比为 0 ? q ? 1 . 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21. A. 连结 OD,BD, 因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?ADB ? 90o,AB ? 2OB . 由 AB = 2 BC, 所以, AB ? OC , 因为 DC 是圆 O 的切线,所以 ?CDO ? 90o . 于是△ADB ? △CDO, 所以, AD ? DC 所以, ?A ? ?C .
?2 ? 3 ? a ? 3, ? 2 a ? ? 3 ? ? 3? B.由条件可知 ? , ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ?b 1 ? ? ?1? ?5? ?3b ? 1 ? 5

D

A

· O

B

C

则 a ? 3, b ? 2 . 矩阵的特征多项式为 f (? ) ?
? ?2
?2 ?3

? ?1

? (? ? 2)(? ? 1) ? (?2)(?3) ? ? 2 ? 3? ? 4

令 f (? ) ? 0 ,得两个特征值分别为 ?1 ? ?1, ?2 ? 4 . C. 将 C1 化为直角坐标方程为 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 将 C2 化为直角坐标方程为 y 2 ? 2 x 将直线方程代入 y 2 ? 2 x 可得 2 y 2 ? 3 y ? 8 ? 0
2 y 2 ? y2 41 3 ? , y1 y2 ? ?4 ,所以, x1 ? x2 ? 1 2 8 2 ? 3 41 ? 所以,中点坐标为 ? , ? ? 4 16 ?

解之可得 y1 ? y2 ?

第 13 页,共 15 页

D. 由柯西不等式,得 (2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ) 1 ? 1 ? 1 ≥ (b ? c ? d )2 , 2 3 6 即 2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ≥ ?b ? c ? d ? .
2

?

?

由条件,得 5 ? a2 ≥ ?3 ? a ? ,
2

解得 1 ≤ a ≤ 2 ,当且仅当

2b 1 2

?

3c 1 3

?

6d 1 6

时等号成立,

1 1 2 1 代入 b ? 1, c ? , d ? 时, amax ? 2 ; b ? 1, c ? , d ? 时, amin ? 1 , 3 6 3 3

所以 a 的取值范围是 [1, 2] . 22. (1)抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为
?1? ?1? 1 5 3 P ? X ? 6 ? ? 2 ? C5 ?? ? ?? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 16
3 2

1 , 2

(2)X 的分布列为: X P 4 5 6 7

1 8

1 4

5 16

5 16

1 1 5 5 93 所以, EX ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? . 8 4 16 16 16
23. (1)设等差数列的通项公式为 an ? a0 ? nd ,其中 d 为公差
i 则 ? ? ai Cn ? ? a0 ? a1Cn1 ? a2Cn2 ? i ?0 n

n 0 1 ? anCn ? a0 (Cn ? Cn ?

n 1 2 ? Cn ) ? d (Cn ? 2Cn ?

n nCn )

k k ?1 ? nCn 因为 kCn ?1

1 2 ? 2Cn ? 所以 Cn
n

n 0 1 nCn ? n(Cn ?1 ? Cn ?1 ?

n ?1 ? Cn ?1 )

i 所以 ? ? ai Cn ? ? a 0 ?2n ? nd ? 2n?1 = an ? 2n?1 . i ?0

注:第(1)问也可以用倒序相加法证明. (2)令 x ? 1 ,则 ? ai ? 2 ? 22 ? 23 ?
i ?0 2n

? 22 n ?

2(1 ? 4n ) ? 2 ? 4n ? 2 ?1

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令 x ? ?1 ,则 ? [(?1)i ai ] ? 0 ,
i ?0

2n

1 所以 bn ? ? a2i ? (2 ? 4n ? 2) ? 4n ? 1 2 i ?0
0 1 2 3 根据已知条件可知, dn ? Cn ? (4 ? 1)Cn ? (42 ? 1)Cn ? (43 ? 1)Cn ? n ? (?1)n (4n ? 1)Cn

n

0 1 2 3 ? [Cn ? Cn (?4) ? Cn (?4)2 ? Cn (?4)3 ?

n 0 1 2 3 4 ? Cn (?4)n ] ? [Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?

n ? (?1)n Cn ] ?1

? (1 ? 4)n ? (1 ? 1)n ? 1 ? (?3)n ? 1 ,

所以 dn ? (?3)n ? 1 将 bn ? 4n ? 1、 dn ? (?3)n ? 1 代入不等式 t ? (dn ? 1) ? bn 得, t ? (?3)n ? 4n ? 1

4 1 4 1 5 当 n 为偶数时, t ? ( )n ? ( )n ,所以 t ? ( )2 ? ( )2 ? ; 3 3 3 3 3 4 1 4 1 当 n 为奇数, t ? ?[( )n ? ( )n ] ,所以 t ? ?[( )1 ? ( )1 ] ? ?1 ; 3 3 3 3 5 综上所述,所以实数 t 的取值范围是 [?1, ] . 3

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