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3.2立体几何中的向量方法(1)


普通高中课程标准实验教科书 数学(人教 A 版)选修 2-1

3.2 立体几何中的向量方法(1)
设计教师:闫宇

一、教学目标及其解析 (一)教学目标:
①理解直线的方向向量与平面的法向量的概念. ②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. ③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 (包括三垂线定理) .
[来源:学§科§网]

④能用向量方法解决两条异面直线所成的角、直线和平面所 成的角、二面角的计算问题, 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

(二)解析:由向量表示转到有关判定定理.该问题在教学时教师可以组织学生 讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系, 展示向量方法与坐标方法相结 合的优越性. 二、教学重难点解析 (一)重点、难点:
重点:求直线的方向向量和平面的法向量 难点:利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题

(二)解析:本节知识要求学生在以向量为工具的基础上解决相关的空间几何问题,此方
法系统性很强,可将复杂的问题简单化,充分掌握好建系、问题向量化,通过向量的相关计 算及相关性质达到解决问题的最终目的.

三、教学过程设计
问题 1:阅读课本 p102 到 103,理解相关新概念 ⑴ 点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
OP 来表示,我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量. ⑵ 直线: ① 直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. ② 对于直线 l 上的任一点 P ,存在实数 t , 使得 AP ? t AB , 此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面:

① 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两个不共线向量确定.对于平面 ? 上的任一点 P , a, b 是 平面 ? 内两个不共线向量,则存在有序实数对 ( x, y ) ,使得 OP ? xa ? yb . ② 空间中平面 ? 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. ⑷ 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量 n 垂 直于平面 ? ,记作 n ⊥ ? ,那 么向量 n 叫做平面 ? 的法向量. 问题 2:设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 1 .线线平行: l // m ? ;

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2.线面平行: l // ? ? 3.面面平行: ? // ? ? 4. 线线垂直: l ? m ? 5. 线面垂直: l ? ? ? 6. 面面垂直: ? ? ? ?

; ; ; ; ;

典型例题分析

例 1、设 a, b 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,判断直线 l1 , l2 的位置关系: ⑴ a ? ?1,2, ?2? , b ? ? ?2,3,2? ; ⑵ a ? ? 0,0,1? , b ? ? 0,0,3? .

例 2:设 u , v 分别是平面 ? , ? 的法向量,判断平面 ? , ? 的位置关系:
⑴ u ? ?1,2, ?2? , v ? ? ?2, ?4,4? ; ⑵ u ? ? 2, ?3,5? , v ? ? ?3,1, ?4? .

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四.课堂检测 1. 设 a ? ? 2, ?1, ?2? , b ? ? 6, ?3, ?6? 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,则直线 l1 , l2 的位置关系是 2. 设 u ? ? ?2,2,5? , v ? ? 6, ?4,4? 分别是平面 ? , ? 的法向量, 则平面 ? , ? 的位置关系是 3. 已知 n ? ? ,下列说法错误的是( ) A. 若 a ? ? ,则 n ? a B.若 a // ? ,则 n ? a C.若 m ? ? , ,则 n // m D.若 m ? ? , ,则 n ? m 4.下列说法正确的是( ) A.平面的法向量是唯一确定的 B.一条直线的方向向量是唯一确定的 C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量 D.若 m 是直线 l 的方向向量, l // ? ,则 m // ? 5. 已知 AB ? ?1,0, ?1?, AC ? ?0,3, ?1 ? ,能做平面 ABC 的法向量的是( ) 五.课堂小结 求平面的法向量步骤: ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z) ; ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标; ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程组; ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 六、课后作业 1.下一课时前置作业 2. 课本 104 页第 1、2 题 3. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: DB1 是平面 ACD1 的一个法向量. . .

4.已知 AB ? ? 2,2,1? , AC ? ? 4,5,3? ,求平面 ABC 的一个法向量.

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