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人教版高中数学必修五精品学案-2.5等比数列的前n项和(1)


§2.5 等比数列的前 n 项和(1)
学习目标
1. 掌握等比数列的前 n 项和公式; 2. 能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P55 ~ P56,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列前 n 项和?等差数列的数列前 n 项和公式是什么?

复习 2:已知等比数列中, a3 ? 3 , a6 ? 81 ,求 a9 , a10 .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务: 等比数列的前 n 项和 故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励”

新知:等比数列的前 n 项和公式 设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?an ? 它的前 n 项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ,公比为 q≠0, 公式的推导方法一: ?S ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?a1q n ? 2 ? a1q n ?1 ? 则? n ? ?qSn ? ? (1 ? q)Sn ? 当 q ? 1 时, Sn ? 或 Sn ? 当 q=1 时, Sn ? 公式的推导方法二: 由等比数列的定义, 有
a a2 a3 ? ?? ? n ? q , a1 a2 an ?1

① ②

a2 ? a3 ? ? ? an S ? a1 ? n ?q, a1 ? a2 ? ? ? an ?1 Sn ? an



S n ? a1 ?q. S n ? an

∴ (1 ? q)Sn ? a1 ? an q (结论同上)

公式的推导方法三: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 ) = a1 ? qSn ?1 = a1 ? q(Sn ? an ) . ∴
( 1? q S ) n ? a1 ? an q (结论同上)

试试:求等比数列

1 1 1 , , ,…的前 8 项的和. 2 4 8

※ 典型例题
例 1 已知 a1=27,a9=

1 ,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. 243

变式: a1 ? 3 , a5 ? 48 . 求此等比数列的前 5 项和.

例 2 某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%, 那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)?

※ 动手试试
3 9 练 1. 等比数列中, a3 ? , S3 ? ,求a1及q. 2 2

练 2. 一个球从 100m 高出处自由落下,每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下,当它 第 10 次着地时,共经过的路程是多少?(精确到 1m)

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列的前 n 项和公式; 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,列方程组可
以求出其余的两个.

※ 知识拓展 1. 若 q ? ?1, m ? N * ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , ??? 构成新的等比数列,公比为 qm .
a 2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为 , a , aq . 若四个同符号的数成等比 q a a 数列,可设这四个数为 3 , , aq, aq 3 . q q

3. 证明等比数列的方法有: a (1)定义法: n ?1 ? q ;(2)中项法: an ?12 ? an ?an ? 2 . an
?S ? a1 4. 数列的前 n 项和构成一个新的数列,可用递推公式 ? 1 表示. ?Sn ? Sn ?1 ? an (n ? 1)

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 数列 1, a , a 2 , a 3 ,?, a n ?1 ,?的前 n 项和为( ). 1 ? an 1 ? a n ?1 A. B. 1? a 1? a n? 2 1? a C. D. 以上都不对 1? a 2. 等比数列中,已知 a1 ? a2 ? 20 , a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 ? (

).

A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 3. 设 {an } 是由正数组成的等比数列,公比为 2 ,且 a1a2 a3 ??? a30 ? 230 ,那么 a3a6 a9 ??? a30 ? ( ). A. 210 B. 2 20 C. 1 D. 260 4. 等比数列的各项都是正数,若 a1 ? 81, a5 ? 16 ,则它的前 5 项和为 5. 等比数列的前 n 项和 Sn ? 3 ? a ,则 a=
n

.

.

课后作业
1. 等比数列中,已知 a1 ? ?1, a4 ? 64, 求q及S4.

2. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33, a2 ?a5 ? 32 ,求 S6 .


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