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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 常考题型强化练——函数


数学

北(文)

常考题型强化练——函数
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

A组
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1 1.若 f(x)= log1 (2 x ? 1) ,则 f(x)的定义域为
? 1 ? 2 A.?-2,0? ? ? ? 1 ? C.?-2,0?∪(0,+∞) ? ?

( C )

? 1 ? B.?-2,+∞? ? ? ? 1 ? D.?-2,2? ? ?

>0, ?2 x ? 1 ? 解析 由已知得 ?log (2 x ? 1) ? 0, 1 ? ? 2
1 即 x>-2且 x≠0,∴选 C.

1 ? ?x>- , 2 ∴? ? ?2x+1≠1,

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9 2.已知函数 f(x)=x-4+ ,x∈(0,4),当 x=a 时,f(x)取 x+1 ?1? + 得最小值 b,则函数 g(x)=?a?|x b|的图像为 ( ) ? ?

解析 ≥2

9 由 基 本 不 等 式 得 f(x) = x + 1 + -5 x+1 9 9 ?x+1?× -5=1,当且仅当 x+1= , x+1 x+1

即 x=2 时取得最小值 1,故 a=2,b=1,

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9 2.已知函数 f(x)=x-4+ ,x∈(0,4),当 x=a 时,f(x)取 x+1 ?1? + 得最小值 b,则函数 g(x)=?a?|x b|的图像为 ( B ) ? ?

?1? + ?1? + | x b | 因此 g(x)=?a? =?2?|x 1|, ? ? ? ? ?1? 只需将 y=?2?|x|的图像向左平移 ? ?

1 个单位即可,
?1? y=?2?x 作出,故 ? ?

其中 选 B.

?1? y=?2?|x|的图像可利用其为偶函数通过 ? ?

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3.已知函数 f(x)=ex-e x+1(e 是自然对数的底数),若 f(a)=2, 则 f(-a)的值为 A.3 C.1 B. 2 D.0 ( D )

解析 选 D.

依题意得,f(a)+f(-a)=2,2+f(-a)=2,f(-a)=0,

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1+ax 4.设定义在区间(-b,b)上的函数 f(x)=lg 是奇函数(a,b 1-2x 且 a≠-2),则 ab 的取值范围是 A.(1, 2]
解析

( D.(0, 2)

)

B.(0, 2]

C.(1, 2)

1+ax ∵函数 f(x)=lg 是区间(-b,b)上的奇函数, 1-2x

1+ax 1-ax 1-a2x2 ∴f(x)+f(-x)=lg +lg =lg =0, 1-2x 1+2x 1-4x2 1-a2x2 2 即得 2 =1,从而可得 a =4,由 a≠-2 可得 a=2, 1-4x 1+2x 由此可得 f(x)=lg , 1-2x

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1+ax 4.设定义在区间(-b,b)上的函数 f(x)=lg 是奇函数(a, 1-2x b∈R,且 a≠-2),则 ab 的取值范围是 A.(1, 2] B.(0, 2] C.(1, 2) ( A ) D.(0, 2)

? 1 1? 因此函数的定义域为?-2,2?,则有 ? ?
1 2

1 0<b≤ , 2

∴ab=2b∈(20, 2 ]=(1, 2],故应选 A.

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5.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时, f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图像在区间[0,6]上与 x 轴的交点 的个数为 A.6
解析

( B ) B. 7 C.8 D.9

∵f(x)是最小正周期为 2 的周期函数,且 0≤x<2 时,

f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1),

∴当 0≤x<2 时,f(x)=0 有两个根,即 x1=0,x2=1.
由周期函数的性质知,当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两个根, 即 x3=2,x4=3; 当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两个根,即 x5=4,x6=5;x7=6 也是 f(x) =0 的根. 故函数 f(x)的图像在区间[0,6] 上与 x 轴交点的个数为 7.

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? ?log1 ( x ? 1)(x ? 1), 6.已知函数 f(x)= ? 2 则不等式 f(3-x2)>f(2x)的解 ? 1( x ? 1), ? (1,+∞) . 集为_________

解析

如图,作出已知函数的图像,据图像可得不等式

2 3 - x ≥1, ? 2 ? ? ?3-x <1, 2 f(3-x )>f(2x)?? 或?2x≥1, ? ?2x≥1 ?3-x2<2x, ?

解两不等式组的解集且取并集为(1, +∞), 即为原不等式解集.

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?x-1,x>0, ? 7.若函数 f(x)=?a,x=0, ?x+b,x<0 ?

1 是奇函数,则 a+b=________.

解析 ∵f(x)是奇函数,且 x∈R,
∴f(0)=0,即 a=0. 又 f(-1)=-f(1),∴b-1=-(1-1)=0, 即 b=1,因此 a+b=1.

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8.(2012· 上海)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.

-1 若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________.
解析 ∵y=f(x)+x2 是奇函数,

∴f(-x)+(-x)2=-[ f(x)+x2] , ∴f(x)+f(-x)+2x2=0.∴f(1)+f(-1)+2=0.

∵f(1)=1,∴f(-1)=-3.

∵g(x)=f(x)+2,∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.

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9.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.

解 (1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,x1<x2,
则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 x1 ? 2x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 ) . ∵ 2 x1 ? 2 x2 ,a>0?a( 2 x1 ? 2 x2 )<0,

3x1 ? 3x2 ,b>0?b(3 1 ? 3 2)<0,
x x

∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数.

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9.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.
(2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0,

当 a<0,b>0

?3? a x ? ? 时, 2 >- ,则 2b ? ? ?3? a x ? ? 时, 2 <- ,则 2b ? ?

? a? x>log1.5?-2b?; ? ? ? a? x<log1.5?-2b?. ? ?

当 a>0,b<0

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10.某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:万元)与日产量 x(单位:吨)满足函数关系式 C=3+x,每日的销售额 S(单 位:万元)与日产量 x 满足函数关系式 k ? ?3x+ +5,0<x<6, x-8 S=? ? ?14, x≥6. 已知每日的利润 L=S-C,且当 x=2 时,L=3. (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求 出最大值.

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k ? ?2x+ +2,0<x<6, x - 8 (1)由题意可得 L=? ? ?11-x, x≥6.

k 因为 x=2 时,L=3,所以 3=2×2+ +2. 2-8 所以 k=18. 18 (2)当 0<x<6 时,L=2x+ +2. 8-x 18 所以 L=2(x-8)+ +18 8-x ? 18 ? 18 ? ? =-?2?8-x?+8-x?+18≤-2 2?8-x?· +18=6. 8-x ? ?

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18 当且仅当 2(8-x)= ,即 x=5 时取得等号. 8-x

当 x≥6 时,L=11-x≤5.
所以当 x=5 时,L 取得最大值 6.

所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元.

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1
1.函数
?1? y=?2?x+1 ? ?

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2

的图像关于直线 y=x 对称的图像大致是( A )

解析

函数

?1? y=?2?x+1 ? ?

的图像如图所示,

关于 y=x 对称的图像大致为 A 选项对应 图像.

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1
2.设 0<a<1,则函数

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( A )

2
?x-1? ? f(x)=loga? ?x+1? ? ?

A.在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增 B.在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减 C.在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递增 D.在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递减
解析 函数定义域为{x∈R|x≠± 1}, ? ?1+ -2 ?x<-1或x>1?, ?x-1? ? x+1 ? ? 令 u(x)=? ?=? x + 1 2 ? ? ? -1+ ?-1<x<1?, ? x+1 ? ∴u(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,
又 y=logax(0<a<1)在定义域上为减函数,所以 u(x)在(-∞,-1)上递 减,在(-1,1)上递增,故选 A.

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1+?-1?x 3.设函数 f(x)= (x∈Z),给出以下三个结论: 2 ①f(x)为偶函数;②f(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中 正确结论的序号是________ ①②③ .

解析 对于 x∈Z,f(x)的图像为离散的点,关于 y 轴对称, ①正确;
f(x)为周期函数,T=2,②正确;
1+?-1?x+1 1+?-1?x ?-1?x+1+?-1?x f(x+1)+f(x)= + =1+ =1, 2 2 2

③正确.

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4.(2012· 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1] ?ax+1,-1≤x<0, ? 上,f(x)=?bx+2 ,0≤x≤1, ? x + 1 ? +3b 的值为________. 其中 a,b∈R.若
?1? ?3? f?2?=f?2?,则 ? ? ? ?

a

解析

因为 f(x)的周期为 2,所以

b ? 1? ?1? 2+2 b+4 1 又因为 f?-2?=- a+1,f?2?= = , 2 3 ? ? ? ? 1 +1 2 b+4 1 所以-2a+1= 3 .



?1? ? 1? f?2?=f?-2?. ? ? ? ?

?3? ?3 ? ? 1? ? ? ? ? f 2 =f 2-2 =f?-2?, ? ? ? ? ? ?

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4.(2012· 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1] ?ax+1,-1≤x<0, ? 上,f(x)=?bx+2 ,0≤x≤1, ? x + 1 ? +3b 的值为________ -10 . 其中 a,b∈R.若
?1? ?3? f?2?=f?2?,则 ? ? ? ?

a

2 整理,得 a=- (b+1). 3 又因为 f(-1)=f(1), b+2 所以-a+1= 2 ,即 b=-2a.
将②代入①,得 a=2,b=-4.
所以 a+3b=2+3×(-4)=-10.





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5.已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时, f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立?
解 由题意得 x=-3 和 x=2 是函数 f(x)的零点且 a≠0,
? ?-3?2+?b-8?· ?-3?-a-ab, ?0=a· ? 则 ? 22+?b-8?· 2-a-ab, ?0=a· ? ?a=-3, 解得? ? ?b=5,

∴f(x)=-3x2-3x+18.
(1)由图像知,函数在[0,1] 内单调递减, ∴当 x=0 时,y=18;当 x=1 时,y=12,
∴f(x)在[ 0,1] 内的值域为[ 12,18].

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5.已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时, f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立?
(2)方法一 令 g(x)=-3x2+5x+c. 5 ∵g(x)在[6,+∞)上单调递减,
要使 g(x)≤0 在[1,4] 上恒成立,

则需要 g(x)max=g(1)≤0,
即-3+5+c≤0,解得 c≤-2.
∴当 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4] 上恒成立.

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5.已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时, f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立?
方法二 不等式-3x2+5x+c≤0 在[1,4]上恒成立,

即 c≤3x2-5x 在[1,4] 上恒成立.

令 g(x)=3x2-5x, ∵x∈[1,4] ,且 g(x)在[1,4] 上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2,∴c≤-2.
即 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4] 上恒成立.


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