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2014高考数学易错题失分点16 对数列的递推关系转化不当致误


对数列的递推关系转化不当致误 2x 2 例 16 已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 a1= ,an+1= 3 x+ 1 an f(an),bn= ,n∈N*,求数列{bn}的通项公式. 1 - an 2x 2an 1 1 1 正解 ∵f(x)= ,∴an+1=f(an)= ,∴ = + . x+1 an+1 an+1 2 2an 1 1 1 an ∴ -1= ( -1),又 bn= , 2 an an+1 1-an 1 1 1 1 1 a1 ∴ = - 1, ∴ = · ,∴bn+1=2bn,又 b1= = 2, bn an bn+1 2 bn 1-a1 ∴{bn}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列,∴bn=2n. 补救训练 16 已知函数 f(x)满足:对任意的 x∈R,x≠0, 1 恒有 f(x)=x 成立,数列{an}、{bn}满足 a1=1,b1=1,且对 anf(an) 1 任意 n∈N*,均有 an+1= ,bn+1-bn=a . f(an)+2 n (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求数列{an}、{bn}的通项公式; (3)对于 λ∈[0,1],是否存在 k∈N*,使得当 n≥k 时, bn≥(1-λ)f(an)恒成立?若存在, 试求 k 的最小值; 若不 存在,请说明理由. 1 1 解 (1)令 t=x,则 t≠0,∵f(x)=x, 1 1 ∴f(t)= t (t≠0),即 f(x)=x(x≠0).

失分点 16

1 anf(an) 1 an (2)∵f(an)=a ,∴an+1= = = , f(an)+2 1 2an+1 n a n+ 2 1 1 1 1 ∴ =a +2,即 - a = 2, an+1 an+1 n n 1 ∴{a }是以 1 为首项,公差为 2 的等差数列, n 1 1 ∴a =1+2(n-1)=2n-1,∴an= . 2 n- 1 n 1 又 bn+1-bn=a =2n-1, n ∴bn-bn-1=2n-3, bn-1-bn-2=2n-5, bn-2-bn-3=2n-7, … …

b3-b2=3, b2-b1=1, 把以上各式累加得,bn-b1=1+3+5+…+(2n-3) (1+2n-3)· (n-1) = =n2-2n+1,∴bn=n2-2n+2. 2 (3)对于 λ∈[0,1]时,bn≥(1-λ)f(an)恒成立,等价于 λ∈[0,1] 时,n2-2n+2≥(1-λ)· (2n-1)恒成立,等价于 λ∈[0,1]时, (2n-1)· λ+n2-4n+3≥0 恒成立, 设 g(λ)=(2n-1)λ+n2-4n+3≥0,对于 λ∈[0,1],

(2n-1)· λ+n2-4n+3≥0 恒成立, ? ?g(0)≥0, 则有? 解得 n≥3 或 n≤1. ? ?g(1)≥0, 由此可见存在 k∈N ,使得当 n≥k 时,bn≥(1-λ)f(an)恒成 立,其最小值为 3.
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