当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016年高中数学 2.1.1函数的概念、定义域、值域和图像课件 苏教版必修1_图文

2 .1

函数的概念和图像

2.1.1

函数的概念、定义域、值域和 图像

题型一

判断两个函数是否为同一函数

例题 1 已知四组函数: (1)f(x)=x,g(x)=(
2n

2n

x)2n(n∈N*); x
2 n +1 2 n

(2)f(x)=x ,g(x)=(

2n+1

) (n∈N);

(3)f(n)=2n-1,g(n)=2n+1(n∈Z); (4)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1. 其中表示同一函数的组别( A.没有 B.仅有(2) C.仅有(2)、(4) D.仅有(2)、(3)、(4) )

栏 目 链 接

分析:检查定义域和对应法则是否完全相同. 解析:在(1)中 f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≥0};在(3) 中两函数的对应法则不同. 故(1)、 (3)中的两个函数不是相同的函数. 因为 2n+1 x2n+1=x,且两函数的定义域均为
栏 R,故(2)中的两函 目 链 接

数表示同一函数.

在(4)中,虽然自变量用不同的字母表示,但两函数的定义域和 对应法则都相同,所以表示同一函数.故选 C. 答案:C

点评:函数概念含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f,其中核心是对应法则 f,它是函数关系的本质特征.
栏 目 链 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这两个函数 接

才是同一函数.

?变式训练 1.试判断以下各组函数是否表示同一函数.
? ?1,x≥0, |x| (1)f(x)= x ,g(x)=? ?-1,x<0; ?
栏 目 链 接

(2)f(x)= x2,g(x)=( x)2; (3)f(x)= x· x+1,g(x)= x2+x; (4)f(x)= (x+2)2,g(x)=|x+2|.

|x| 解析:(1)f(x)= x (x≠0),
? ?1,x≥0, 而 g(x)=? ? ?-1,x<0,

定义域为 R,故不是同一函数. (2)f(x)= x2(x∈R),g(x)=( x)2(x≥0),定义域不相同,不是同 一函数. (3)f(x)= x· x+1(x≥0),g(x)= x2+x(x≥0 或 x≤-1),定义 域不相同,不是同一函数. (4)是同一函数.因为定义域和对应法则相同.
栏 目 链 接

题型二

函数的定义域

例 2 求下列函数的定义域. (x+1)0 (1)y= ; |x|-x x2-x-12 (2)y= ; |x|-4 (3)y= 2x+3+ 1 1 -x . 2 -x
栏 目 链 接

分析:对于用解析式表示的函数,如果没有给出函数的定义域, 那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量的取值 集合.
? ?x+1≠0?x≠-1, 解析:(1)∵? ∴x<0 且 x≠-1. ?|x|-x>0?x<0, ?

故所求定义域为(-∞,-1)∪(-1,0).
2 ? ?x -x-12≥0, ? ?(x-4)(x+3)≥0, (2)∵? ?? ? ? ? ?|x|-4≠0 ?|x|≠4

栏 目 链 接

? ?x≥4或x≤-3, ? ∴x>4 或 x≤-3 且 x≠-4. ? ?x≠±4,

故所求定义域为(-∞,-4)∪(-4,-3]∪(4,+∞).

2x+3≥0, ? ? 3 (3)∵?2-x>0, ∴-2≤x<2 且 x≠0. ? ?x≠0,
? 3 ? 故所求定义域为?-2,0?∪(0,2). ? ?

点评:1.当函数是由解析式给出时,求函数的定义域就是求使解 析式有意义的自变量的取值集合,必须考虑下列各种情形:(1)负数 不能开偶次方,所以偶次根号下的式子大于或等于零; (2)分式中分 母不能为 0;(3)零次幂的底数不为 0;(4)如果?(x)由几部分构成,那 么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合; (5)如果函数有 实际背景,那么除符合上述要求外,还要符合实际情况.
栏 目 链 接

2. 求函数的定义域, 一般是转化为解不等式或不等式组的问题, 注意定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间表示.

例 3 求函数 y= x-2· x+2的定义域.

错解:因为 y= x-2· x+2= x2-4, 所以 x2-4≥0,解得 x≥2 或 x≤-2. 所以函数的定义域为{x|x≥2 或 x≤-2}. 点拨:错误的原因是误认为 y= x-2· x+2与 y= x -4是同 一函数.求函数定义域要根据原始的式子. 正解:要使函数有意义,
? ?x-2≥0, ? ?x≥2, 则需满足? 即? ?x+2≥0, ? ?x≥-2, ?
2

栏 目 链 接

所以 x≥2.所以函数的定义域为{x|x≥2}.

点评:(1)求函数的定义域,一般转化为解不等式或不等式组的 问题,但要注意逻辑联结词的运用. (2)由函数的解析式有意义求定义域时,不能随意对解析式进行 变形.因为变形后自变量的允许值扩大或缩小,这样得到的函数与原 来的函数就是不同的函数, 所以在求定义域时, 一般不将解析式变形.
栏 目 链 接

?变式训练 2.求下列函数的定义域: (x+1)2 (1)y= - 1-x; x+1 x+1 (2)y= ; |x|-x (3)y= 1 2. 6-x-x
栏 目 链 接

? ?x+1≠0, 解析:(1)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足? ?1-x≥0, ? ? ?x≠-1, 即? ? ?x≤1.

所以函数的定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}. (2)要使函数有意义,必须满足|x|-x≠0,即|x|≠x.∴x<0. ∴函数的定义域为{x|x<0}. (3)由 6-x-x2>0 得 x2+x-6<0, 即(x+3)(x-2)<0?-3<x<2. ∴函数的定义域为{x|-3<x<2}.

栏 目 链 接

题型三

函数的值域

例 4 求下列函数的值域: (1)y= 5+4x-x2; (2)y=2x- x-1; x2-2x-1 (3)y= 2 ; x -5x+6 2x-1 (4)y= (x<0,且 x≠-3). 3 +x
栏 目 链 接

解析:(1)∵y= 5+4x-x2= -(x-2)2+9, 显然,y1=5+4x-x2 的最大值是 9,故函数 y= 5+4x-x2的最 大值是 3,且 y≥0. ∴函数的值域是[0,3]. (2)令 x-1=t,则 t∈[0,+∞),x=t2+1. ∴y=2(t +1)-t=2t -t+2. 这样就把问题转化为求 y=2t2-t+2, t∈[0, +∞)的值域问题了. 可以用配方法解决,有
? 1?2 15 y=2t -t+2=2?t-4? + 8 . ? ?
2 2 2

栏 目 链 接

15 ∵t≥0,∴y(t)≥ 8 .

? ? 15? ∴原函数的值域为?y?y≥ 8 ?. ? ? ?

(3)当 x2-5x+6≠0,即 x≠2 且 x≠3 时,函数的解析式可化成(y -1)x2+(2-5y)x+6y+1=0.当 y-1≠0 时方程有非 2、3 的实根,故 Δ=(2-5y) -4(y-1)(6y+1)≥0,即 y∈(-∞,+∞)但 y≠1.又当 x 7 =3时,y=1,故所求值域为全体实数. 1+3y (4)原函数可化为 x= . 2-y
2

栏 目 链 接

由于 x<0,且 x≠-3 可得不等式组:

? ? 1 ? 1+3y 所以 y<-3或 y>2. ? ?- y-2 ≠-3.
1+3y - <0, y-2 1? ? ? ? - ∞ ,- 故函数值域为 3?∪(2,+∞). ? 点评:求函数的值域是函数的重要内容. 第(1)小题采用配方法,对于含二次三项式的有关问题,常常根 据求解问题的要求,采用配方的方法来解决,对于含有二次三项式的 函数,也常用配方的方法来求值域.
栏 目 链 接

第(2)小题采用换元法,在利用换元法求函数值域时,一定要注 意确定辅助元的取值范围,如在本例中,要确定 t 的取值范围.如忽 视了这一点,就会造成错误. 第(3)小题采用判别式法,所谓判别式法就是利用一元二次方程 根的判别式求函数值域的方法.在使用判别式法求值域时:①对转化 得到的整式方程,当二次项系数是含有字母的系数时,必须分成二次 项系数为零和不为零两种情况讨论,只有当二次项系数不为零时,才 能使用判别式;②当原函数的定义域不是 R 时,求得值域后必须对 定义域的端点值进行验证. 第(4)小题采用反解 x 法.
栏 目 链 接

?变式训练 3.函数 y= 16-4x的值域是(C) A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)
解析:∵4x>0,∴0≤16-4x<16. ∴0≤ 16-4x<4 即 y∈[0,4).
栏 目 链 接

4.(2013· 陕西卷)设[x]表示不超过 x 的最大整数,则对任意实数 x,y 有(D) A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y]
栏 目 链 接

解析:设 x=1.5,则[-1.5]=-2,-[1.5]=-1,[2×1.5]=3, 2[1.5]=2 可知 A, B 不成立; 取 x=y=1.5, [1.5+1.5]=3, [1.5]+[1.5] =2,∴C 也不成立,故只有 D 成立.

5.求函数 y=x+ 2x-1的值域.

1+u2 解析:设 u= 2x-1,则 u≥0,且 x= 2 ,于是 1+u2 1 y= 2 +u,即 y=2(u+1)2.
?1 ? 故函数 y=x+ 2x-1的值域为?2,+∞?. ? ?

栏 目 链 接

5x2+8x+5 6.求函数 y= 2 的值域. x +1

解析:由已知得:(y-5)x2-8x+y-5=0, ①若 y=5,则 x=0, ②若 y≠5,又∵x∈R,∴Δ=8 -4(y-5) ≥0, ∴(y-5)2≤16,∴-4≤y-5≤4,∴1≤y≤9. 5x2+8x+5 故函数 y= 2 的值域为[1,9]. x +1
2 2

栏 目 链 接

题型四

函数的图像

例 5 作下列函数的图象. (1)y=1-x,x∈Z; (2)y=2x2-4x-3,0≤x<3; (3)y=|x-1|;
栏 目 链 接

?1,0<x<1, (4)y=?x ?x,x≥1.

题型四 函数的图象 分析:画函数图象时,以定义域、对应法则为依据,采用列表描 点作图. 解析:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线 y=1 -x 上,由于 x∈Z,从而 y∈Z,这些点称为整点(见图①). (2)∵0≤x<3,∴这个函数的图象是抛物线 y=2x2-4x-3 介于 0≤x<3 之间的一段弧(见图②).
栏 目 链 接

? ?x-1,x≥1, (3)所给函数可写成函数 y=? 是端点为(1,0)的两 ?1-x,x<1, ?

条射线(称为“羊角”)(见图③). 1 (4)这个函数的图象由两部分组成,当 0<x<1 时,为 y=x的一部 分,当 x≥1 时,为 y=x 的一段(见图④). 点评:作函数图象要点: (1)在定义域内作图;

栏 目 链 接

(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整 个图象; (3)宜标出某些关键点.例如,图象的顶点、端点与坐标轴的交 点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.

?变式训练 7.设 abc>0,则二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是(D)

b 解析:若 a<0,则开口向下,bc<0,A 项中 c<0,-2a<0?b<0, b 与 bc<0 矛盾;B 项中 c>0,-2a>0?b>0,与 bc<0 矛盾,∴a<0 时均 b 不可能,若 a>0,则开口向上,bc>0;C 项中 c<0,-2a<0?b>0,与 bc>0 矛盾. ∴只有 D 项可能.

栏 目 链 接


相关文章:
江苏省铜山县高中数学第二章函数2.1.1函数的概念和...
江苏省铜山县高中数学第二章函数2.1.1函数的概念和图象(第2课时)函数的值域及图象教案苏教版必修1 - 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 2.1 函数的概念...
《高一数学必修1》函数的概念、定义域、值域练习题...
高一数学必修1函数的概念定义域值域练习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。函数的概念定义域值域练习题班级:高一(3)班、选择题(4 分×9=36 ...
高一数学函数的值域教学案苏教版
高一数学必修1值域,高一数学函数的值域,高一数学值域,高一数学值域,高一数学必修1函数值域反求法,高一数学值域求法,高一数学专题定义域值域练习,高一数学值域求法...
高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方...
高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数的定义域与值域的常用方法 ()求函数的解析式 1函数的解析式表示...
2.1《函数的概念和图像--函数的值域》教案(苏教版...
新课程高中数学测试题组(必... 58页 免费 映射,函数定义域,值域 解... 9...2.1函数的概念和图像--函数的值域》教案(苏教版必修1). 隐藏&gt;&gt; 高考资源...
高中数学必修一函数概念定义域值域 教学方案
高中数学必修一函数概念定义域值域 教学方案_数学_...(x)是次根式,则函数的定义域是使根号内的式子...
高一数学必修一函数定义域、值域、解析式求法综合...
高一数学必修一函数定义域值域、解析式求法综合练习_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数定义域值域、解析式综合练习 、 求函数的定义域 1、求下列函数...
高一数学必修一函数的定义域和值域.
高一数学必修一函数的定义域和值域.,高一数学必修1函数定义域和值域,高一数学...《函数的概念和图像》授课方案 课题 函数的概念和图像 授课日期及时段 1.理解...
必修一函数定义域值域及表示教案
戴氏教育簇桥校区 高一数学 授课老师:唐老师 第 4 讲 函数定义域值域及表示 (1)函数的概念 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于...
高三数学函数的定义域和值域导学案苏教版
高三数学函数的定义域和值域导学案苏教版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...1 ? 1 ? x 的定义域是___(必修一 P23 例 2 改编) x ?1 2、函数...
更多相关标签: