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2.4.2等比数列的性质


一、旧知复习
等差数列
一般地,如果一个数列 从第2项起,每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数,那么这个 数列叫做等差数列 等比数列
一般地,如果一个数列 从第2项起,每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列

定 义

符号 语言
通项 公式

an?1 ? an ? d ?n ? N? ?

an?1 ? q?n ? N ? , q ? 0? an

an ? a1 ? ?n ?1?d

an ? a1q

n ?1

例1:在等比数列{an}中,a3=20 ,q=2 ,求a6 ,an

解: a =a q2=4a =20
3 1 1

所以 a1=5 a6=a1 q5=5×32=160
n?1

所以an ? a1q
想一想

? 5? 2 .

n?1

a ?q ?8 a
6 3

a3=a1q2 , a6=a1q5 an=a1qn-1

还有其他方法吗

an=20×2n-3=5×2n-1

a ?q ?2 a
n n? 3 3

a6=8×20=160

3

n? 3

证明

?an ?的首项为a1 , 公比为q, 设等比数列
则有an ? a1q
n ?1

, am ? a1q

m ?1

性质1:设an , am为等比数列?an ? 中任意两项, 且公比为q,则an ? am q
n?m

an n?m n?m 从而 ? q ,即an ? am q . am

.

注:运用此公式,已知任意两项, 可求等比数列中的其他项

设数列?an ?为等差数列,且 m, n, p, q ? N ?, 若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq . 若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p .
等比数列中有类似性质吗???

想一想

探究一
在等比数列{an}中,a2.a6=a3.a5是否成立?

a32=a1.a5是否成立?

你能得到更一般的结论吗?

思考 设等比数列 ?an ?首项为a1 , 公比为q
且 m , n , s , t ?N+ ,若m+n=s+t
am,an,as ,at有什么关系

证明 则an ? a1q n?1 , am ? a1q m?1 ,
从而an am ? a1 q
2 m? n ?2
2 s ?t ?2

同理可得 as at ? a1 q
又因为m ? n ? s ? t 所以am an ? as at .

性质2:
若等比数列{an}的首项为a1 ,公比q,且 且 m , n , s , t ? N+

若m+n=s+t ,则aman=asat

若m ? n ? 2 s, 则am an ? as .
2

如果在a与b之间,插入一个数G,使a , G , b构成等比数列,G叫做a与b得等比中项

例题讲解
例1. 等比数列{an}中,a4=4,则a2· a6等于(C) A.4 B.8 C.16 D.32

例2. (1)已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+ 2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 ________. (2)等比数列{an}中,若a9=-2,则此数列前17项 之积为________.

【解析】 (1)由等比数列性质 2 a4a6=a5, 把 a2a4+2a3a5+a4a6=25 2 化为 a2 + 2 a a + a 3 3 5 5= 25 2 ?(a3+a5) =25(an>0) ?a3+a5=5.
(2)由题意得 a1a2a3…a15a16a17 =(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 =a17 = ( - 2) =- 2 . 9

2 a2a4=a3,

2 ? a n 性质 3: {an} 是等比数列,则 { 性质三: }{a n } 、

1 { an}(an>0)、{ }、{|an|}均为等比数列. an
1 公比分别为 q, q , q , , q q
2

若 {an} 是正项等比数列,则 {lgan} 是等差数 列.公比为 lgq

性质4: 如果 ?an ?, ?bn ? 是项数相同的等比数列,
? an ? 那么 ?an .bn ?, ? ? 也是等比数列。 ? bn ?

q1 公比分别为q1.q2, q2

a2· a3=5,a7· a8· a9 例5. 3已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1· =10,则 a4· a5· a6=( A ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2

性质 5: 性质五:
在等比数列中,序号成等差数列的新数列, 仍是等比数列。 等间隔的k项和(或积)仍成等比数列.即:
例如:{an}是等比数列,则 ①a1,a3,a5,…,a2n-1;②a1+a2,a2+a3, a3+a4,…;③a1a2,a2a3,a3a4,…;④a1+a2,a3 +a4,a5+a6……均成等比数列.

等比数列的设法及求解
三个数成等比数列时,常设这三个数分别为 a, a aq,aq 或 ,a,aq; q
2

四个数成等比数列时,常设这四个数分别为 a, a a aq,aq ,aq 或 3, ,aq,aq3(公比为 q2). q q
2 3

例4 三个数成等比数列,它们的和等于14,它们 的积等于64,求这三个数。
解:若三个数成等比数列,则设这三个数 a 为: , a,aq. q 再由方程组可得:q=2

1 或 2 既这三个数为2,4,8或8,4,2。

例5

有四个实数,前三个数成等比数列,且它

们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们 之和为12,求这四个数.

【思路点拨】

根据三个数成等比数列,可以设

a 三个数为q,a, aq;根据三个数成等差数列且它 们之和为 12,可以设三个数为 4-d,4,4+d.

a a 【解】 法一: 设前三个数为 , a, aq, 则 · a· aq=216, q q 6 3 ∴a =216.∴a=6.因此前三个数为 ,6,6q. q 由题意第 4 个数为 12q-6. 2 ∴6+6q+12q-6=12,解得 q= . 3 故所求的四个数为 9,6,4,2.

法二:设后三个数为 4-d,4,4+d,则第一个数为 1 1 2 (4-d) ,由题意 (4-d)2· (4-d)· 4=216,解得 4 4 4 -d=6.∴d=-2.故所求得的四个数为 9,6,4,2.

{ n}是公差为d的等差数列

a

{bn}是公比为q的等比数列 1:

性质1: an=am+(n-m)d
性质2:若an-k,an,an+k是{an}中 的三项, 则2an=an-k+an+k 性质3: 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq

bm ? bn q m?n

2:若an-k,an,an+k是{an}的
2 三项,则 n = n-k? n+k

b b b

3:若n+m=p+q 则bn· bm=bp· bq,

性质4:从原数列中取出偶数项组 4:从原数列中取出偶数项, 成的新数列公差为2d.(可推广) 组成的新数列公比为 .(可 2 q) 推广 性质5 : 若 {cn} 是公差为 d′的等差 5: 若 {dn} 是公比为 q′的等 数列,则数列{an+cn}是公差为d+d′ 比数列 , 则数列 {bn?dn} 是公比 为q· q′的等比数列. 的等差数列。

练习

已知三个数成等比数列,它们的积为27,

它们的平方和为91,求这三个数.
a 解:设这三个数为 , a , a q q a ? ? a ? aq ? 27 ? ? q 由题意得: ? a 2 2 ? ( ) ? a2 ? (a q) ? 91 ? ? q 解得 a ?3 ? ? ?q ? ?3或者 ? 1 ? 3 ?

若 q=3,则 a1=1;q=-3,则 a1=-1; 1 1 若 q= ,则 a1=9;若 q=- ,则 a1=-9. 3 3 故这三个数为:1,3,9 或-1,3,-9 或 9,3,1 或-9,3, -1.

知识小测验
1.在等比数列{an}中,a1+a2=2,a3+a4=50,则公比q的值为( ) A.25 B.5 C.-5 D.±5

2. 等比数列{an}中,a4=4,则a2· a6等于 A.4 B.8 C.16

( ) D.32

3. 已知等比数列{an} , a3=8 , a10=1024,求通项an 4. 等比数列{an}中,a2+a3=6 , a2a3=8 ,求公比q


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