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士兵高中数学补充模拟试题(1)


模拟试题(1)
一. (36 分)本题共有 9 个小题,每个小题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中只 有一个结论是正确的。把正确结论代写在题后括号内,选对得 4 分,不选、选错或选出的 代号超过一个(不论是否都写在括号内),一律得 0 分。 1.“ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的( ) . A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ) .

2.设集合 A ? {5,log2 (a ? 3)} , B ? {a, b} ,若 A ? B ? {2} ,则 A ? B 等于( A. {2,5,7} 3.函数 y ? x ? B. {?1, 2,5} C. {1, 2,5} ) . D. {?7, 2,5}

x 2 ? 1,( x ? 0) 的反函数是(

x2 ?1 , ( x ? 0) A. y ? x
C. y ?

x2 ?1 , ( x ? 1) B. y ? x
D. y ?

x2 ?1 , ( x ? 1) 2x

x2 ?1 , ( x ? 0) 2x

4.圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的最大距离与最小距离的 差为( A. 1 ) . B. 2 C. 3 D. 4

5.已知 a, b, c 成等差数列,则二次函数 y ? ax2 ? 2bx ? c 的图象与 x 轴的交点 个数为( ) . A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 1 或 2 个 6.某中队新年联欢晚会原定的 6 个节目已经排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如 果将这 3 个节目插入到原节目单中,那么不同插法的种数为( ) . A. 504 B. 210 C. 336 D. 120 7.已知直角三角形的周长为定值 a ,则它的面积的最大值为( ) . A.

3? 2 2 2 a 2
?

B.

3? 2 2 2 a 2

C.

3? 2 2 2 a 4

D.

3? 2 2 2 a 4

8.在北纬 60 圈上有 A 、 B 两地,它们在此纬度圈上的弧长为 则 AB 两地的球面距离为( A. ) . C.

?R
2

( R 是地球的半径) ,

?R
2
x x?1

B.

?R
3

?R
4

D.

?R
6

二、 (32 分)本题共有 8 个小题,每个小题 4 分,只要写出结果. 1.方程 5 ? 5

? 750 的解的集合为_______________.

2.函数 y ?

3 ? x2 的定义域是__________________. lg(2 x ? 1)
. .

3.以抛物线 x2 ? ?2 y 的焦点为圆心且经过坐标原点的圆的方程为 4.若 ( x ? 2a)8 的展开式中, x 项的系数是 448 ,则正实数 a 的值为
6

5. lim

1 (1 ? 2 ? ? ? n) ? n ?? n 2
2



6.若关于 x 的不等式 5x ? a ? 0 的正整数解是 1, 2,3 ,则实数 a 的取值范围是__________.
? 7.在 ? ABC 中,若 ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则 ? ABC 的面积 S ?



8.已知正三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 的侧棱长与底面边长相等,则 AB ' 与侧面 ACC ' A ' 所成角的正弦值等于 .

三、 (18 分)本题共有 2 个小题,每个小题 9 分. 1.解下列方程: lg( x ? 3) ? lg( x ? 4) ? lg( x ? 12) . 2.已知在 ? ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c , ?A ? 60 ,
?

sin B : sin C ? 2 : 3 .若 ? ABC 的 AB 边上的高为 3 3 ,求 a 的值.
四、 (12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? ?3 , an ? 2an?1 ? 2n ? 3 (n ? 2且n ? N ? ) . (1)求 a2 和 a3 的值; (2)设 bn ?

an ? 3 (n ? N ? ) ,证明: {bn } 是等差数列. n 2

五、 (12 分) 已知一口袋中有大小、质地均相同的 8 个球,其中有 4 个红球和 4 个黑球, 现从中任取 4 个球. (1)求取出的球颜色相同的概率; (2)若取出的红球数不少于黑球数,则可获得奖品,求获得奖品的概率. 六、 (12 分)
2 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) .

(1)若 f ?(?1) ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 在 [ ? ,1] 上的极大值和极小值; (2)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围. 七、 (14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? 6 , PA ? PB , AB ? BC , ?BAC ? 30 ,
?

3 2

平面 PAB ? 平面 ABC . (1)求证: PA ? 平面 PBC ; (2)求二面角 P ? AC ? B 的平面角的正切值.

八、 (14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l : y ? x ? 2 与 2 a b 3

以原点为圆心、以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左焦点为 F ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F 且垂直于椭圆的长轴, 1 1 动直线 l2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹方程.

答案与解析 一.1.A
“ p 且 q 为真”,就是 p 和 q 都为真,所以 p 或 q 为真, 即 p 且 q 为真 ? p 或 q 为真; “ p 或 q 为真”,即 p 为真或 q 为真, p 与 q 不一定同时为真, 所以, p 或 q 为真不能推出 p 且 q 为真. 即 “ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的充分不必要条件. 2.C 由 A ? B ? {2} ,得 2 ? A ,即 log2 (a ? 3) ? 2 ,得 a ? 3 ? 4 , 即 a ? 1 ;再由 A ? B ? {2} ,得 2 ? B ,即 b ? 2 ,得 A ? {5,1}, B ? {2,1} , 即 A ? B ? {1, 2,5} . 3.C 由 x ? 0 ,得 y ? 1 , y ? x ?

x2 ? 1 ,即 x2 ? 2xy ? y 2 ? x2 ? 1 , x2 ?1 y2 ?1 , ( x ? 1) . 得x? , ( y ? 1) ,即反函数为 y ? 2x 2y

4.B

圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的标准方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 , 即该圆的半径为 1 ,而点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的最大距离与最小距离的 差为恰好为圆的直径,即距离的差为 2 .

5.D

由 a, b, c 成等差数列,得 a ? c ? 2b ,而 ? ? (2b) ? 4ac ,
2

即 ? ? (2b) ? 4ac ? (a ? c) ? 4ac ? (a ? c) ? 0 ,
2 2 2

得二次函数 y ? ax ? 2bx ? c 的图象与 x 轴有 1 或 2 个交点.
2

6.A

1 1 不改变原节目顺序,插入第一个节目有 C7 种;插入第二个节目有 C8 种;插入 1 1 1 1 第三个节目有 C9 种;共计 C7C8C9 ? 7 ? 8 ? 9 ? 504 .

7.C

设两直角边分别为 x, y ,则 x ? y ? 即a ? x? y ? 得 xy ? (
?

x2 ? y2 ? a ,

x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2 xy ? (2 ? 2) xy ,

1 3? 2 2 2 a 3? 2 2 2 a . )2 ? a ,即 S ? xy ? 2 4 2 2? 2
R ,而 A 、 B 两地在此纬度圈上的 2

8.B

北纬 60 圈上的小圆的半径显然为

弧长为

?R
2

,则 AB 是小圆的直径,即 AB ? R ,得 ?AOB ?

?
3



所以 AB 两地的球面距离为 二、1. {4}

?
3

?R ?

?R
3



x x x ? 5x ? 5x?1 ? 5 ? 5?1 ? 5?1 ? 6 ? 51 ? 7 5 05x?1 ? 125 ? 53 ,即 x ? 4 . ,得

2. ( ,1) ? (1, 3]

1 2

3. x ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 4

?? 3 ? x ? 3 ?3 ? x 2 ? 0 ? 1 ? ? 要使原式有意义,则 ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 ? x ? , 2 ?lg(2 x ? 1) ? 0 ? ? ?2 x ? 1 ? 1 ? 1 1 得 ? x ? 3 且 x ? 1 ,即 ( ,1) ? (1, 3] . 2 2 1 抛物线 x2 ? ?2 y 的焦点为 (0, ? ) , 2 1 1 1 即圆心为 (0, ? ) ,圆心到原点的距离为 ,即半径 r ? , 2 2 2 1 2 1 2 所以圆的方程为 x ? ( y ? ) ? . 2 4

4. 2

Tr ?1 ? C8r x8?r (2a)r ? C8r (2a)r x8?r ,令 8 ? r ? 6 ,得 r ? 2 ,
2 2 即 C8 (2a)2 ? 448 ,得 112a ? 448 ,即正实数 a ? 2 .

5.

1 2

由1 ? 2 ? ? ? n ?

1 n(n ? 1) , 2
2

1 1 n ?n 1 得 lim 2 (1 ? 2 ? ? ? n) ? lim ? lim n ? . n?? n n ?? 2n 2 n ?? 2 2 1?
6. [45,80)

5x2 ? a ? 0 ,得 ?

a a a ,而正整数解是 1, 2,3 ,则 3 ? ?x ? ?4. 5 5 5
2 2

7.

15 3 4

由余弦定理得 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos A ,
2

即 7 ? 5 ? AC ? 2 ? 5 AC ? cos120 ,整理得 AC ? 5 AC ? 24 ? 0 ,
2 2 2 o 2

解之得 AC ? 3 或 AC ? ?8 (舍去),

SV ABC ? 6 4

1 1 3 15 3 AB ? AC ? sin A ? ? 5 ? 3 ? ? . 2 2 2 4

8.

如图:取 A?C ? 的中点 O ,连结 B?O, AO, AB? , 则 ?B?AO 就是 AB ' 与侧面 ACC ' A ' 所成的角, 设正三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 的的棱长为 a ,

在 RtV AOB? 中, AB? ?

2a, OB? ?

3 a, 4

3 a OB? 4 ? 6. ?OA ? sin ?B ? AB? 4 2a
三、1.解:∵lg( x ? 3) ? lg( x ? 4) ? lg( x ? 12) ,∴lg( x ? 3)( x ? 4) ? lg( x ? 12) , ∴( x ? 3)( x ? 4) ? x ? 12 , x ? 7 x ? 12 ? x ? 12 ,
2

x2 ? 8x ? 0 ,∴x ? 0 或 x ? 8 ,
当 x ? 0 时, x ? 3 ? 0, x ? 4 ? 0 , lg( x ? 3) 和 lg( x ? 4) 无意义, ∴x ? 0 舍去, 经检验: x ? 8 是原方程的解. 2.解:∵ AB 边上的高为 3 3 , ?A ? 60 ,
?

∴b ?

3 3 3 3 ? 6 ,c ? b ? ?6 ? 9 , ? 2 2 sin 60
2 2 2

又∵a ? b ? c ? 2bc cos A ? 63 , ∴a ? 3 7 ,所以 a 的值为 3 7 . 四、解: (1)∵ a1 ? ?3 , an ? 2an?1 ? 2n ? 3 (n ? 2且n ? N ) , ∴ a2 ? 2a1 ? 22 ? 3 ? 2 ? (?3) ? 22 ? 3 ? 1,
?

a3 ? 2a2 ? 23 ? 3 ? 2 ? (?3) ? 23 ? 3 ? 13 .
(2)对于任意 n ? N , ∵ bn ?1 ? bn ?
?

an ?1 ? 3 an ? 3 ? n 2n ?1 2 1 ? n ?1 [(an ?1 ? 3) ? 2(an ? 3)] 2 1 ? n ?1 [(an ?1 ? 2an ) ? 3] 2 1 ? n ?1 [(2n ?1 ? 3) ? 3] 2 ? 1.

∴数列 {bn } 是首项为

a1 ? 3 ?3 ? 3 ? ? 0 ,公差为1 的等差数列. 2 2
4 C4 1 , ? 4 C8 70

五、解: (1)取出 4 个球都是红球的概率为

4 C4 1 取出 4 个球都是黑球的概率为 4 ? , C8 70

所以取出 4 个球的颜色相同的概率为

1 1 1 ? ? . 70 70 35
4 C4 1 , ? 4 C8 70

(2)由(1)可知,取出 4 个球都是红球的概率为

取出 4 个球有 3 个红球 1 个黑球的概率为

3 1 C4 ? C4 8 ? , C84 35 2 2 C4 ? C4 18 , ? C84 35

取出 4 个球有 2 个红球 2 个黑球的概率为

所以获得奖品的概率为

六、解: (1)∵ f ?(?1) ? 0 ,∴ 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 2 .
2 ∴ f ?( x) ? 3x ? 4x ? 1 ? 3( x ? )( x ? 1) .

1 8 18 53 ? ? ? . 70 35 35 70
1 3

1 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? ; 3 1 由 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ? . 3
3 1 1 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (? , 1) , (? , ;单调减区间为 (?1, ) . ? 1) ? 2 3 3

1 1 50 f ( x) 在 x ? ?1 取得极大值为 f (?1) ? 2 ; f ( x) 在 x ? ? 取得极小值为 f (? ) ? . 3 3 27
(2)∵ f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a ,∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 . 而函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴ f ?( x) ? 0 有实数解. ∴ D ? 4a 2 ? 4 ? 3 ? 1 ? 0 ,∴ a 2 ? 3 ,即 a ? ? 3或a ? 3 , 因此,所求实数 a 的取值范围是 (??, 3 ] ? [ 3, ?) . ? ? 七、证明: (1)∵平面 PAB ? 平面 ABC , 平面 PAB ? 平面 ABC ? AB ,且 AB ? BC , ∴ BC ? 平面 PAB , 又∵ PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? BC , 又∵ PA ? PB , PB ? BC ? B ,

∴ PA ? 平面 PBC . 解: (2)作 PO ? AB 于点 O , OM ? AC 于点 M ,连结 PM , ∵平面 PAB ? 平面 ABC , ∴ PO ? 平面 ABC , 由三垂线定理得 PM ? AC , ∴ ?PMO 是二面角 P ? AC ? B 的平面角, 又∵ PA ? PB ? 6 , PA ? PB , ∴ AB ? 2 3 , PO ? AO ? BO ? 3 , 在 Rt?MAO 中, OM ? AO ? sin 30 ?
?

AO 3 , ? 2 2

∴ tan ?PMO ?

PO ? OM

3 ? 2, 3 2

∴二面角 P ? AC ? B 的平面角的正切值为 2 . 八、解: (1)∵ e ?
2

1 c2 a 2 ? b2 3 2 ,∴ e ? ? 2 ? , 3 a a2 3
2

∴ 2a ? 3b ,
2 2 2 又∵直线 l : y ? x ? 2 与圆 x ? y ? b 相切, 2 2 2 ∴ x ? ( x ? 2) ? b 有两个相等的实数根 b ? 2 ,∴ a ? 3 ,
2

2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 3 2

(2)由题意知, F1 (?1,0) , F2 (1,0) ,直线 l1 : x ? ?1 , | MP |?| MF2 | , 所以动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F2 (1,0) 的距离, 从而动点 M 的轨迹是以 l1 为准线, F2 为焦点的抛物线 p ? 2 , 因此,点 M 的轨迹方程为 y ? 4 x .
2


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