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概率统计复习要点试题


概率统计复习要点试题
一、填空题 1. 设事件 A 与 B 相互独立,且 P ( A) =0.6, P (B ) =0.6,则 P( A ? B) = 2. 设事件 A 与 B 互不相容,且 P ( A) =0.6, P (B ) =0.3,则 P( A ? B) = 3. 设事件 A 与 B 互不相容,且 P ( A) =0.5, P (B ) =0.4,则 P( A ? B) = 4. 设 P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.6 , P( B | A) ? 0.8 ,则 P( A ? B) ? 5. 设 X~B(n, p) ,且 EX =6, D(X ) =2.4,则 p ? 7. 设 D(X ) =9, D (Y ) =4, ? XY =0.5,则 D(2 X ? Y ) = 8. 设 D(X ) =25, D (Y ) =16, ? XY =0.6,则 D( X ? Y ) = 10.设 X ~ N (0,1) ,则 P{ X ? 1}= .
?1

. . . .

. . . . .

6. 设随机变量 X ~ P(? ) ,且 P{ X ? 2} ? P{ X ? 4} ,则 ? ?

9. 设 EX =2, D(X ) =4,则由切比雪夫不等式可得到 P(?2 ? X ? 6) ? 11.设 X 1 , X 2 ,? ? ?, X n 是来自总体 X ~ N (1,4) 的样本,则 4

( X i ? 1)2 服从 . 2 12. 设 X 1 , X 2 ,? ? ?, X n 是来自总体 X ~ N (? , ? ) 的样本. 若 ? 未知,则 ? 的置信度为 2 1 ? ? 的区间估计为 ;若 ? 已知,则 ? 的置信度为 1 ? ? 的区间估计
i ?1 2

?

n



; ? 的置信度为 1 ? ? 的区间估计为
2

.

13. 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是 来 自 均 值 为 ? 的 指 数 分 布 总 体 的 样 本 , 其 中 ? 未 知 . 若 . k ( X1 ? X 2 ? X 3 ? X 4 ) 为 ? 的无偏估计量,则 k ? 2 14. 设 X1, X 2 ,? ? ?, X m 与 Y1, Y2 ,? ? ?, Yn 是 分 别 来 自 正 态 总 体 X ~ N (?1 , ? 1 ) 与 2 . Y ~ N (?2 , ? 2 ) 的两组独立样本, X 与 Y 分别为其样本均值,则 X ? Y ~ 二、中心极限定理应用 1. 设 X~B(100,0.2) ,试利用中心极限定理求 P(20 ? X ? 27.84) . 2.设总体 X~U (?3,3) , 1, X 2 ,?, X100 是来自 X 的 i.i.d.样本. 记 Y ? X1 ? ? ? X100 , 试利 X 用中心极限定理计算 P(| Y |? 33.95) . 三、求 r.v.的分布函数与概率 1.设 X 的分布律如表右表,求:① 求 FX (x) ;② P(?1 ? X ? 2) ,

P(?1 ? X ? 2) , P(?1 ? X ? 3) .
2 . 设

X ?1 P 0.1

0 0.5

2 0.4

?1 ? x, ? 1 ? x ? 0, ? X~f ( x)) ? ?1 ? x, 0 ? x ? 1, ? 0, 其他 ?





FX (x)



② P(?1 ? X ? 2) , P(?1 ? X ? 2) . 四、求 r.v.函数的分布
2 ? 1.设 X~f X ( x) ? ?1.5 x , ? 1 ? x ? 1, ① 记 Y ? 3 X ,求 fY (y) ;② 记 ? ?| X | , 求 f? (t ) . 其它. ? 0,

2.设 X~f ( x) ?

1 , x?R . ① Y 记 ? (1 ? x 2 )

? e X ,求 fY (y) ;②记 ? ? X 2 ,求 f? (t ) .
Y ?1
1

五、求边际分布与数字特征

0

1

1. 设 ( X , Y ) 的联合分布律如右表,求:① 边际分布律;②EX , EY ;③ D(X ) , D (Y ) ;④ Cov( X , Y ) , ? XY . 2. 设 随 机 向 量 ( X , Y )~f ( x, y) ? ?

X 0 1

0.15 0.18 0.07 0.20 0.32 0.08

?kxy, 0 ? x ? y ? 1, 其它. ? 0,

求:

① f X (x) 与 fY ( y) ; ② EX 与 EY ; ③ D(X ) 与 D (Y ) ; ④

Cov( X , Y ) 与 ? XY ; ⑤

P( X ? Y ? 0.5) .
3. 设 ( X , Y ) 的联合分布律如右表,且 X 与 Y 相互独立: ① 确定常数 a, 的值; 求 b ② X 与 Y 的边际分布律;③ 求 X 的分布函数 FX (x) .;④ 求 P(Y / X ? 1) . Y X 0 0 a 2/9 1 1/6 b 2 1/18 1/9

1

4. 设随机向量 ( X , Y ) 具有联合密度函数 ( X , Y )~f ( x, y) ? ?

?k , 0 ? y ? 1 ? x ? 1, ① 确定 其它. ?0,

常数 k 的值;② 求 f X (x) 与 fY ( y) ;③ X 与 Y 独立否;④ 求 P( X ? Y ? 1) . 六、区间估计与假设检验 1. 根据长期的生产经验知,某厂生产的特种金属丝的折断力 X ~ N (? , ? 2 ) (单位:kg). 现 从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取 16 个样品, 测得样本均值 x =575.2,s =196. ①求 ?
2

的 95%的区间估计;②问能否认为这批特种金属丝的平均折断力是 570kg( ? =0.01)? 2. 某厂生产的某种型号钢材的重量服从正态分布,其平均值不超过 180. 现从该厂抽取 9 件 产品,经计算得到其样本均值 x =182.5,样本方差 s =0.36. ①求 ? 的 95%的区间估计;②试判
2 2

断该厂此类型号钢材重量的平均值是否偏大(取显著性水平 ? =0.05)? 七、极大似然估计与无偏性

? ? 1. 设总体 X~ B(1,p). ① 求 p 的极大似然估计量 p ;② 验证 p 是否为无偏估计量.
2. 设总体 X 服从参数为 ? 的指数分布. ①求 ? 的 MLE ?? ;②验证 ?? 是否为无偏估计量.

? ? 3. 设总体 X 服从参数为 ? 的 Pisson 分布. ①求 ? 的 MLE ? ; ②验证 ? 是否为无偏估计量.
八、条件概率与全概率公式 1. 甲口袋中有 5 只白球 3 只红球, 乙口袋中有 3 只白球 5 只红球. 今从甲口袋中任取一球放 入乙口袋, 然后再从乙口袋中随机地取一球. ① 求从乙口袋中取到的球为白球的概率; 若已经 ② 从乙口袋中取到的球为白球,据此推断第一次从甲口袋中取到的球为白球的概率. 2. 一批产品由 A、B 与 C 三个车间生产,且这三个车间生产的产量分别占产品总量的 20%、 30%和 50%,又已知这三个车间生产产品的次品率分别为 3%、2%和 1%. ① 求这批产品的次品 率;② 若在该批产品中发现了一件次品,求该次品来自 B 车间的概率. 3. 甲口袋中有 5 只白球 3 只红球, 乙口袋中有 3 只白球 5 只红球. 今从甲口袋中任取一球放 入乙口袋, 然后再从乙口袋中随机地取一球. ① 求从乙口袋中取到的球为白球的概率; 若已经 ② 从乙口袋中取到的球为白球,据此推断第一次从甲口袋中取到的球为白球的概率. 九、常见统计量的的分布 熟记第六章抽样分布定理的定理 1,定理 2 和定理 3,并能证明定理 1 和 3.

2


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