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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第一章第四节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


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第四节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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1.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断
真 (1)“p∧q” 是 真 命 题 当 且 仅 当 命 题 “ p” 与 “ q” 均 为 假 ____命题,否则“p且q”是______命题; 假 (2)“p∨q”是假命题当且仅当“p”与“q”均是____命 真 题,否则“p∨q”是_____命题.

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(3)命题p与綈p有且只有一个是真命题.

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2.量词
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3.含有一个量词的命题的否定
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命题

命题的否定
_________________________ ?x0∈M,綈p(x0)
________________________ ?x∈M,綈p(x)

?x∈M,p(x)
?x0∈M,p(x0)

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1.命题“p∧q”与“p∨q”如何否定?

【提示】

“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”;

“p∨q”的否定是“綈p∧綈q”. 2.全称(特称)命题的否定还是全称(特称)命题吗?其真 假性与原命题有什么关系?

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【提示】 命题相反;

全称命题的否定是特称命题,其真假性与原

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特称命题的否定是全称命题,其真假性与原命题相反.





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1.(人教A版教材习题改编)已知命题p:?x∈R,sin

x≤1,则(

)

A.綈p:?x0∈R,sin x0≥1 B.綈p:?x∈R,sin x≥1 C.綈p:?x0∈R,sin x0>1

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D.綈p:?x∈R,sin x>1 【解析】 全称命题的否定是特称命题,“sin x≤1”的

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否定是“sin x>1”.

【答案】
菜 单

C

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2.下列命题中为真命题的是( ) A.?x∈R,x2+2x+1=0 B.?x0∈R,- x2-1≥0 0 C.?x∈N*,log2x>0 2 D.?x0∈R,cos x0>x0+2x0+3
【解析】 错; 对于 A,当 x=1 时,x2+2x+1≠0,故 A

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2 对于 B,当 x0=1 时,- x0-1≥0,故 B 正确; 对于 C,当 x=1 时,log2x=0,故 C 错; 2 对于 D,x0+2x0+3=(x0+1)2+2≥2,故 D 错.

【答案】

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B





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3.设p、q是两个命题,则“p∨q为真,p∧q为假”的
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充要条件是(

)

A.p、q中至少有一个为真 B.p、q中至少有一个为假 C.p、q中有且只有一个为真 D.p为真、q为假

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【解析】

“p∨q”为真,则命题p、q中至少有一个为
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真 , “ p∧q” 为 假 , 则 命 题 p 、 q中 至 少 有 一 个 为 假 , 则

“p∨q为真,p∧q为假”的充要条件是“p、q中有且只有一
个为真”. 【答案】
菜 单

C

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4.(2012·安徽高考)命题“存在实数x,使x>1”的否定

是(

)
A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1

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D.存在实数x,使x≤1 【解析】 x≤1”. 命题的否定是“对任意实数x,都有
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【答案】
菜 单

C

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(2013·深圳调研)已知命题p:“对任意的a,b∈N* ,

都有lg(a+b)≠lg a+lg b”;命题q:“空间两条直线为异面
直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”,则( A.命题“p∧q”为真命题 )

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B.命题“p∨q”为假命题 C.命题“(綈p)∧q”为真命题 D.命题“p∨(綈q)”为真命题
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【思路点拨】

先判断命题p、q的真假,再判断p∧q、

p∨q、(綈p)∧q、p∨(綈q)的真假.
【尝试解答】 因为存在a=b=2,使得lg(a+b)=lg a

+lg b,所以命题p是假命题; 由异面直线的定义可知命题q是真命题.

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所以p∧q为假命题,A错误;p∨q为真命题,B错误; (綈p)∧q为真命题,C正确;p∨(綈q)为假命题,D错误. 【答案】 C
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1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断
步骤 (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题p、q的真假;

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(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题的真 假. 2.p且q形式是“一假必假,全真才真”,p或q形式是
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“一真必真,全假才假”,非p则是“与p的真假相反”.





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(2013·江南十校模拟)命题p:若a·b>0,则a与b的夹角
为锐角;命题q:若函数f(x)在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减 函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的 是( ) A.“p或q”是真命题

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B.“p或q”是假命题
C.綈p为假命题 D.綈q为假命题
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由a· b>0知,a与b的夹角为锐角或0°角, ?-x+1(x≤0) ? 故命题p是假命题;令f(x)= ? f(x)在(- ?-x+2(x>0), ? ∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,但f(x)在(-∞,+∞)上 不是减函数,故命题q是假命题. 从而“p或q”是假命题.

【解析】

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【答案】
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B
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(2013· 威海模拟)下列命题中是假命题的是( π A.?x∈(0, ),x>sin x 2 B.?x0∈R,sin x0+cos x0=2 C.?x∈R,3x>0 D.?x0∈R,lg x0=0

)

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【思路点拨】
特称命题.

(1)明确命题的类型,即全称命题还是

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(2)根据命题的条件与结论确定判断方法.





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【尝试解答】 对于A,令f(x)=x-sin x,则f′(x)=1 π π -cos x,当x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)在(0, )上是增函 2 2 数,则f(x)>f(0)=0,即x>sin x,故A正确; π 对于B,由sin x+cos x= 2sin(x+ )≤ 2<2知,不 4 存在x0∈R,使得sin x0+cos x0=2,故B错误. 易知3x>0,故C正确; 对于D,由lg 1=0知,D正确.
【答案】 B

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1.(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集
合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.(2)要判断一个全称 命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0, 使p(x0)不成立即可. 2.要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合

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M中,找到一个x=x0 ,使p(x0)成立即可,否则这一特称命
题就是假命题.

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π (2013· 潮州模拟)已知函数f(x)=sin(x+ ),g(x)=cos(x 2 π - ),设h(x)=f(x)g(x),则下列说法不正确的是( 2 π A.?x0∈R,f(x0+ )=g(x0) 2 π B.?x∈R,f(x- )=g(x) 2 C.?x∈R,h(-x)=h(x) D.?x∈R,h(x+π )=h(x) )

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【解析】 f(x)=cos x,g(x)=sin x,h(x)=sin xcos x. π 对于A,当x0=0时,f(x0+ )=g(x0),故A正确. 2 π π 对于B,f(x- )=cos(x- )=sin x=g(x),故B正确. 2 2 对于C,h(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=- h(x),故C错误;对于D,h(x+π)=sin(x+π)cos(x+π) =sin xcos x=h(x),故D正确.

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【答案】

C

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写出下列命题的“否定”,并判断其真假. 1 2 (1)p:?x∈R,x -x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; 2 (3)r:?x0∈R,x0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数x0,使x3+1=0. 0
【思路点拨】 (1)分析命题所含的量词、明确命题类

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型.
(2)从量词和结论两方面否定命题.

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【尝试解答】
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1 2 (1)綈p:?x0∈R,x 0 -x0+ <0,假命 4
2

1 12 题,这是因为?x∈R,x -x+ =(x- ) ≥0恒成立. 4 2 (2)綈q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于?x

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∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立.

(4)綈s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.这是由于x=-1时, x3+1=0.
菜 单

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1.(1)弄清命题是全称命题还是特称命题,是正确写出
命题否定的前提.(2)全(特)称命题的否定与一般命题的否定 有着一定的区别,全(特)称命题的否定是将其全称量词改为 存在量词(存在量词改为全称量词),并把结论否定. 2.要判断“綈p”命题的真假,可以直接判断,也可以

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判断p的真假,因为p与綈p的真假相反.

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(2013·汕头质检)已知命题p:?n∈N,2n>1 000,则綈 p为( )

A.?n∈N,2n≤1 000
C.?n∈N,2n≤1 000

B.?n∈N,2n>1 000
D.?n∈N,2n<1 000

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【解析】
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把存在量词“?”改为全称量词“?”,并
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把结果“2n>1 000”否定成“2n≤1 000”. 【答案】 A





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(2013·东莞模拟)已知命题P:函数y=loga(1-2x)在定 义域上单调递增;命题Q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对任意实数x恒成立,若P∨Q是真命题,求实数a的取值范 围.

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【思路点拨】

先求P∨Q是假命题时a的取值范围,再

根据补集思想求P∨Q是真命题时a的取值范围.

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【尝试解答】 命题P为真时,0<a<1,从而命题P 为假时,a≤0或a≥1, 若命题Q为真,当a-2=0,即a=2时,-4<0符合题 意. ?a-2<0, ? 当a≠2时,有 ? ∴- ?Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0, ? 2<a<2. 故命题Q为真时-2<a≤2,从而命题Q为假时a≤-2 或a>2, 若P∨Q为假命题,则命题P、Q同时为假命题.

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?a≤0或a≥1, ? 即? ∴a≤-2或a>2, ?a≤-2或a>2, ?

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∴P∨Q为真命题时-2<a≤2.
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1.若直接由P∨Q为真命题求a的取值范围,需分P真Q
假、P假Q真、P真Q真三种情况,而利用补集的思想可化复 杂为简单. 2.已知命题的真假求参数的取值范围时,应首先求出 当命题p、q为真命题时所含参数的取值范围;然后确定出命

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题p、q的真假性;最后根据p的真假、q的真假求出参数的取
值范围,若有两种以上情形,则应取其并集.

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(2013· 徐州模拟)已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上 ?2x-2a,(x≥2a), ? 单调递减,q:设函数y= ? 函数y>1 ?2a,(x<2a), ? 恒成立,若p∧q为假,p∨q为真,求a的取值范围.

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【解】
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若p是真命题,则0<a<1, 1 若q是真命题,则ymin=2a>1,即a> . 2 又∵p∨q为真,p∧q为假,∴p与q一真一假. 1 若p真q假,则0<a≤ ;若p假q真,则a≥1. 2 1 故a的取值范围为0<a≤ 或a≥1. 2
菜 单

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逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的

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“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的
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意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.
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含有一个量词的命题的否定
(1) 全 称 命 题 的 否 定 是 存 在 性 命 题 : 全 称 命 题 p : ?x∈M,p(x),綈p:?x0∈M,綈p(x0). (2) 存 在 性 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题 : 存 在 性 命 题 p : ?x0∈M,p(x0),綈p:?x∈M,綈p(x).

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从近两年高考试题看,命题的真假判断与含量词命题的
否定是考查的重点,但从命题的趋势看,本节内容有淡化的 意向.题型为选择题或填空题,属中、低档题目.在对含有

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一个量词的命题进行否定时,常因理解不到位而致误.

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易错辨析之二
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特称命题的否定不当致误

3 (2012· 湖北高考)命题“?x0∈?RQ,x 0 ∈Q”的否定 是( ) 3 3 A.?x0??RQ,x0∈Q B.?x0∈?RQ,x0?Q C.?x??RQ,x3∈Q D.?x∈?RQ,x3?Q

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【错解】 错解一 “?x0∈?RQ”的否定为“?x0?? 3 RQ”,故原命题的否定为“?x0??RQ,x0∈Q,”故选A. 错解二 “x 3∈Q”的否定为“x3 ?Q”,故原命题的否 0 0 定为?x0∈?RQ,x3?Q,故选B. 0 错解三 “?x0∈?RQ”的否定为“?x??RQ”,故原 命题的否定为“?x??RQ,x3∈Q”,选C.

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错因分析:(1)错解一否定了条件,没有否定量词. (2)错解二没有否定量词. (3)错解三否定了条件,没有否定结论. 防范措施:(1)弄清楚是全称命题还是特称命题,尤其

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是省略了量词的命题.
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(2)全(特)称命题的否定应从两个方面着手:一是量词变 化,“?”与“?”互换;二是否定命题的结论,但不能否定 命题的条件.

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【正解】

特称命题的否定是全称命题.

“?”的否定是“?”,x3∈Q的否定是x3?Q.
命 题 “ ? x0∈?RQ , x∈Q” 的 否 定 是 “ ? x∈?RQ , x3?Q”. 【答案】 D

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1.(2012·辽宁高考)已知命题p:?x1 ,x2∈R,(f(x2)- f(x1))(x2-x1)≥0,则綈p是( )

A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0

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D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 【解析】 【答案】 綈p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0. C

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2.(2012· 福建高考)下列命题中,真命题是( A.?x0∈R,ex0≤0 B.?x∈R,2x>x2 a C.a+b=0的充要条件是b=-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件

)

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对于?x∈R,都有ex>0,故选项A是假命 a x 2 题;当x=2时,2 =x ,故选项B是假命题;当 b =-1时, a 有a+b=0,但当a+b=0时,如a=0,b=0时, b 无意义, 故选项C是假命题;当a>1,b>1时,必有ab>1,但当ab>1 时,未必有a>1,b>1,如当a=-1,b=-2时,ab>1,但 a不大于1,b不大于1,故a>1,b>1是ab>1的充分条件,选 项D是真命题. 【解析】
【答案】 D

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课后作业(四)

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