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内蒙古包头市2015届高三上学期第一次模拟数学(文)试卷


内蒙古包头市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 M={x|﹣2≤x≤2},N={﹣1,0,4},则 M∩N=( A.{﹣1,0,4} B.{﹣1,0} C.{0,4}

) D.{﹣2,﹣1,0} )

2.若复数 z 的共轭复数为 ,且满足 (2﹣i)=10+5i(i 为虚数单位) ,则|z|=( A.25 B.10 C .5 D. 3.已知等差数列{an}的公差为 d(d>0) ,a1=1,S5=35,则 d 的值为( ) A.3 B.﹣3 C .2 D.4 4.曲线 y=e +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 x=0 围成的三角形面积为( A. B. C .1 D.2
x

)

5.如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 255,则判断框中的整数 N 的值为(

)

A.6

B.7

C .8 )

D.9

6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(

A.

B.

C.

D.2

7.已 sin2β= ,则 sin (β+

2

)=(

)

A.

B.

C.

D.

8.设非负实数 x,y 满足 A.7 B.6

,则 z=3x+2y 的最大值是( C .9

) D.12

9.已知 AE 是△ ABC 的中线,若∠A=120°, A.﹣1
2

=﹣2,则| C .1

|的最小值是( D.2

)

B.0

10.圆心在抛物线 x =2y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程是( A. (x±2) +(y﹣1) =4 B. (x±1) +(y﹣ ) =1
2 2 2 2 2 2

)

C. (x﹣1) +(y±2)

=4 D. (x﹣ ) +(y±1) =1

2

2

11.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x ﹣2y=0,则它的离心率为( ) A.2 B. C. D.

12.已知函数 f(x)= A.[0,2] B.[﹣2,0]

,若|f(x)|≥mx,则 m 的取值范围是( C. (﹣∞,2] D.[﹣2,+∞)

)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为 __________. 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三所大学时,甲说:我去过的大学比乙 多,但没去过 A 大学; 乙说:我没去过 B 大学; 丙说:我们三人去过同一所大学; 由此可判断乙去过的大学为__________. 15.函数 y=sin(2x+φ) (﹣π≤φ≤π)的图象向左平移 的图象重合,则 φ=__________. 16.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a12,a13 成等比数列,则 a1+a4+a7+a10=__________. 个单位后,与函数 y=cos(2x+ )

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 3cos(B﹣C)=1+6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为 2 ,求 b+c 的值. 18.如图,已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=A1A= AB=2,点 E 是棱 AB 的中点. (1)证明:CE⊥平面 D1DE; (2)求 D 到平面 D1EC 的距离.

19.从某大学中随机选取 7 名女大学生,其身高 x(单位:cm)和体重 y(单位:kg)数据 如表: 编号 1 2 3 4 5 6 7 身高 x 163 164 165 166 167 168 169 体重 y 52 52 53 55 54 56 56 (1)求根据女大学生的身高 x 预报体重 y 的回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析这 7 名女大学生的身高和体重的变化,并预报一名身高 为 172cm 的女大学生的体重. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

=





20.在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为 ,过椭圆 C 的

右焦点 F 作两条互相垂直的弦 EF 与 MN,当直线 EF 斜率为 0 时,|EF|+|MN|=7. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求|EF|+|MN|的取值范围. 21.已知函数 f(x)=x lnx. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的 t>0,方程 f(x)﹣t=0 关于 x 在(1,+∞)上有唯一解 a,使 t=f(a) .
2

【选修 4-1:几何证明选讲】

22.如图,⊙O 的半径 OC 垂直于直径 DB,F 为 BO 上一点,CF 的延长线交⊙O 于点 E, 过 E 点的切线交 DB 的延长线于点 A (1)求证:AF =AB?AD; (2)若⊙O 的半径为 2 ,OB=
2

OF,求 FE 的长.

【选修 4-2:极坐标与参数方程】 23.已知直线 n 的极坐标是 pcos(θ+ )=4 ,圆 A 的参数方程是 (θ

是参数) (1)将直线 n 的极坐标方程化为普通方程; (2)求圆 A 上的点到直线 n 上点距离的最小值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x﹣1+a|+|x﹣a| (1)若 a≥2,x∈R,证明:f(x)≥3; (2)若 f(1)<2,求 a 的取值范围.

内蒙古包头市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 M={x|﹣2≤x≤2},N={﹣1,0,4},则 M∩N=( A.{﹣1,0,4} B.{﹣1,0} C.{0,4}

) D.{﹣2,﹣1,0}

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:直接利用集合的交集的运算法则,求解即可. 解答: 解:集合 M={x|﹣2≤x≤2},N={﹣1,0,4}, 则 M∩N={﹣1,0}. 故选:B. 点评:本题考查集合的基本运算,交集的求法,考查计算能力.

2.若复数 z 的共轭复数为 ,且满足 (2﹣i)=10+5i(i 为虚数单位) ,则|z|=( A.25 B.10 C .5 D. 考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵满足 (2﹣i)=10+5i(i 为虚数单位) , ∴ = ∴z=3﹣4i. 则|z|= =5. = = = =3+4i,

)

故选:C. 点评:本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式,属于基础题. 3.已知等差数列{an}的公差为 d(d>0) ,a1=1,S5=35,则 d 的值为( A.3 B.﹣3 C .2 D.4 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意和等差数列的求和公式可得 d 的方程,解方程可得. 解答: 解:由题意可得 S5=5a1+ d=35, )

代入数据可得 5+10d=35,解得 d=3 故选:A 点评:本题考查等差数列的求和公式,属基础题. 4.曲线 y=e +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 x=0 围成的三角形面积为( A. B. C .1 D.2
x

)

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析:先对函数 y=e +1 求导,求出 y 在 x=0 处的斜率,根据点斜式求出切线方程,再利 用面积公式进行求. 解答: 解:∵y=e +1, ﹣x ∴y′=﹣e , ∴切线的斜率 k=y′|x=0=﹣1,且过点(0,2) , ∴切线为:y﹣2=﹣x,∴y=﹣x+2, ∴切线与 x 轴交点为: (2,0) ,与 y 轴的交点为(0,2) , ∴切线与直线 y=0 和 y=0 围成的三角形的面积为:s= ×2×2=2, 故选:D.
﹣x ﹣x

点评:此题利用导数研究曲线上的点的切线,注意斜率与导数的关系,此题是一道基础题. 5.如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 255,则判断框中的整数 N 的值为( )

A.6

B.7

C .8

D.9

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 S,A 的值,当 S=255 时,由题意,此时不 满足条件 8≤N,退出循环,输出 S 的值为 255,从而判断出判断框中整数 N 的值. 解答: 解:模拟执行程序,可得 A=1,S=1 满足条件 A≤N,S=3,A=2 满足条件 A≤N,S=7,A=3 满足条件 A≤N,S=15,A=4 满足条件 A≤N,S=31,A=5 满足条件 A≤N,S=63,A=6 满足条件 A≤N,S=127,A=7 满足条件 A≤N,S=255,A=8 由题意,此时不满足条件 8≤N,退出循环,输出 S 的值为 255, 则判断框中的整数 N 的值应为 7. 故选:B. 点评: 本题主要考查了算法流程图, 同时考查了分析问题的能力和读图的能力, 属于基础题. 6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.2

考点:由三视图求面积、体积.

专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直 观图,该几何体为正三棱柱. 解答: 解:该几何体为正三棱柱, 其底面的边长为 2,高为 1; 故其体积为 V= ×2× ×1= ,

故选 A. 点评:三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直 观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力.
2

7.已 sin2β= ,则 sin (β+ A. B.

)=(

) C. D.

考点:二倍角的余弦;二倍角的正弦. 专题:三角函数的求值. 分析:由二倍角的正弦函数公式化简后,再由诱导公式化简,代入已知即可计算得解. 解答: 解:∵sin2β= ,

∴sin (β+

2

)=

=

=

= .

故选:D. 点评:本题主要考查了二倍角的正弦函数公式,诱导公式的应用,属于基本知识的考查.

8.设非负实数 x,y 满足 A.7 B.6

,则 z=3x+2y 的最大值是( C .9 D.12

)

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 z=3x+2y 过点 B (1,2)时,z 最大值即可. 解答: 解:根据约束条件画出可行域 ∵直线 z=3x+2y 过点 B,z 取得最大值, 由 ,解得 ,

可得 B(1,2)时, z 最大值是 7, 故选:A.

点评: 本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题, 解题的关键是画出满足条件的区 域图,属于基础题.

9.已知 AE 是△ ABC 的中线,若∠A=120°, A.﹣1 B.0 C .1

=﹣2,则| D.2

|的最小值是(

)

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题;不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析:运用向量的数量积的定义和中点的向量表示形式,及向量的平方即为模的平方,结合 重要不等式即可得到最小值. 解答: 解:设 AC=b,AB=c, 又∠A=120°, =﹣2,

则 bccos120°=﹣2,即有 bc=4, 由 AE 是△ ABC 的中线,则有 即有
2

= ( )

+

) ,

= (
2

+

+2

?

= (b +c ﹣4)≥ (2bc﹣4)= ×(8﹣4)=1. 当且仅当 b=c 时,| |的最小值为 1.

故选:C. 点评: 本题考查向量的数量积的定义和性质, 主要考查向量的中点表示形式及向量的平方即 为模的平方,运用重要不等式是解题的关键. 10.圆心在抛物线 x =2y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程是( A. (x±2) +(y﹣1) =4
2 2 2 2 2 2 2

)

B. (x±1) +(y﹣ ) =1 C. (x﹣1) +(y±2)
2

=4

D. (x﹣ ) +(y±1) =1

2

考点:抛物线的简单性质;圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意当 a>0 时, 可设圆心 , 代入抛物线方程可得: ,同理可得. ,代入抛物线方程可得: =1; ,解得 ,

解得 a,即可得出圆的方程;当 a<0 时,可设圆心 解答: 解:由题意当 a>0 时,可设圆心 ,解得 a=1,半径 r=1,可得圆的方程为 当 a<0 时,可设圆心 a=﹣1,可得圆的方程为 ,代入抛物线方程可得: =1.

故选:B. 点评:本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质、圆的标准方程及其性质,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x ﹣2y=0,则它的离心率为( ) A.2 B. C. D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由题意可设双曲线方程为 ﹣ =1(a>0,b>0) ,渐近线方程为 y=± x,由已知

方程,可得 b=2a,再由 a,b,c 的关系和离心率公式,计算即可得到. 解答: 解:由双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上, 可设双曲线方程为 ﹣ =1(a>0,b>0) ,

渐近线方程为 y=± x, 由一条渐近线方程为 x﹣2y=0, 即有 = ,即 b=2a, 则 c= 即有 e= = 故选 D. = . a,

点评:本题考查双曲线的方程和性质,主要考查渐近线方程和离心率的求法,属于基础题.

12.已知函数 f(x)= A.[0,2] B.[﹣2,0]

,若|f(x)|≥mx,则 m 的取值范围是( C. (﹣∞,2] D.[﹣2,+∞)

)

考点:函数恒成立问题;分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:作出函数 f(x)的图象,结合不等式恒成立,对 m 进行分类讨论即可得到结论. 解答: 解:作出函数 f(x)的图象如图:若 m=0,则|f(x)|≥mx 成立, 若 m>0,由图象可知不等式|f(x)|≥mx 不成立, 若 m<0,当 x>0 时,不等式|f(x)|≥mx 成立, 要使|f(x)|≥mx 成立,则只需要当 x≤0 时|f(x)|≥mx 成立, 2 即|﹣x +2x|≥mx, 2 即 x ﹣2x≥mx, 2 则 x ≥(m+2)x 成立, ∵x≤0, 2 ∴不等式 x ≥(m+2)x 等价为 x≤m+2, 即 m≥x﹣2 恒成立, ∵x≤0,∴x﹣2≤﹣2, 即此时﹣2≤m<0, 综上﹣2≤m≤0, 故选:B

点评: 本题主要考查不等式恒成立问题, 利用数形结合以及分段函数的应用是解决本题的关 键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为 .

考点:古典概型及其概率计算公式.

专题:概率与统计. 分析:首先求出所有的基本事件的个数,再从中找到 2 本数学书相邻的个数,最后根据概率 公式计算即可. 解答: 解:2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,所有的基本事件有共 有 =6 种结果,

其中 2 本数学书相邻的有(数学 1,数学 2,语文) , (数学 2,数学 1,语文) , (语文,数学 1,数学 2) , (语文,数学 2,数学 1)共 4 个,故本数学书相邻的概率 P= 故答案为: . 点评: 本题考查了古典概型的概率公式的应用, 关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件. 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三所大学时,甲说:我去过的大学比乙 多,但没去过 A 大学; 乙说:我没去过 B 大学; 丙说:我们三人去过同一所大学; 由此可判断乙去过的大学为 C. 考点:进行简单的合情推理. 专题:推理和证明. 分析:可先由乙推出,可能去过 A 大学或 C 大学,再由甲推出只能是 B,C 中的一个,再 由丙即可推出结论. 解答: 解:由乙说:我没去过 B 大学,则乙可能去过 A 大学或 C 大学, 但甲说:我去过的大学比乙多,但没去过 A 大学,则乙只能是去过 B,C 中的任一个, 再由丙说:我们三人去过同一大学, 则由此可判断乙去过的大学为 C. 故答案为:C. 点评:本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题. .

15.函数 y=sin(2x+φ) (﹣π≤φ≤π)的图象向左平移 的图象重合,则 φ= .

个单位后,与函数 y=cos(2x+



考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件利用诱导公式、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得﹣2sin(2x+φ) =﹣sin(2x+ ) ,再结合 φ 的范围,求得 φ 的值. 个单位后, 可得函数 y=sin[2

解答: 解: 函数 y=sin(2x+φ) (﹣π≤φ≤π) 的图象向左平移 (x+ )+φ]=﹣2sin(2x+φ)的图象,

再根据所得图象与函数 y=cos(2x+ 可得﹣2sin(2x+φ)=﹣sin(2x+ 故有 φ= , . ) ,

)=﹣sin(2x+

)的图象重合,

故答案为:

点评:本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 16.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a12,a13 成等比数列,则 a1+a4+a7+a10= .

考点:等比数列的通项公式;等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知得(25+11d) =25(25+12d) ,求出 d=﹣
2

,由此能求出 a1+a4+a7+a10 的值.

解答: 解:等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a12,a13 成等比数列, 2 ∴(25+11d) =25(25+12d) , 由 d≠0,解得 d=﹣ , )= .

∴a1+a4+a7+a10=4a1+18d=4×25+18×(﹣ 故答案为: .

点评:本题考查等差数列的四项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和 等比数列的性质的合理运用. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 3cos(B﹣C)=1+6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为 2 ,求 b+c 的值. 考点:余弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)已知等式利用两角和与差的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的余弦函 数公式及诱导公式化简,求出 cosA 的值即可; (2) 由 cosA 的值求出 sinA 的值, 利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 面积, 把 sinA, 2 2 已知面积代入求出 bc 的值,利用余弦定理列出关系式,把 a 与 cosA 的值代入求出 b +c 的 2 值,利用完全平方公式求出(b+c) 的值,开方即可求出 b+c 的值. 解答: 解: (1)由 3cos(B﹣C)=1+6cosBcosC, 整理得:3cosBcosC﹣3sinBsinC=﹣1, 即 3cos(B+C)=﹣1,

∴cosA=﹣cos(B+C)= ; (2)∵A 为三角形内角,∴sinA= ∵S△ ABC= bcsinA=2 ∴bc=6①, 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 b +c =13②, 2 2 2 联立①②,得(b+c) =b +c +2bc=13+12=25, 则 b+c=5. 点评:此题考查了余弦定理,三角形面积公式,两角和与差的余弦函数公式,以及诱导公式 的作用,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
2 2 2 2 2

=





18.如图,已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=A1A= AB=2,点 E 是棱 AB 的中点. (1)证明:CE⊥平面 D1DE; (2)求 D 到平面 D1EC 的距离.

考点:点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用勾股定理证明 DE⊥CE,利用 D1D⊥平面 ABCD,EC?平面 ABCD,证明 D1D⊥EC,再利用线面垂直的判定定理证明 CE⊥平面 D1DE; (2)在平面 D1DE 内过 D 作 DF⊥D1E,F 为垂足,则 DF⊥平面 D1EC,可得 DF 为 D 到平 面 D1EC 的距离,利用等面积求 D 到平面 D1EC 的距离. 解答: (1)证明:在直角△ ADE 中,DE= 在直角△ BCE 中,EC=
2 2 2

=2



=2



在△ CDE 中,DE +EC =DC , ∴DE⊥CE, ∵D1D⊥平面 ABCD,EC?平面 ABCD, ∴D1D⊥EC, ∵D1D∩DE=D, ∴CE⊥平面 D1DE; (2)解“∵CE⊥平面 D1DE,EC?平面 D1EC, ∴平面 D1DE⊥平面 D1EC, 在平面 D1DE 内过 D 作 DF⊥D1E,F 为垂足,则 DF⊥平面 D1EC, ∴DF 为 D 到平面 D1EC 的距离, ∵D1E= =2 ,

∴DF=

=

即 D 到平面 D1EC 的距离为



点评:本题考查线面垂直,考查点到平面距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,正确 运用线面垂直的判定定理是关键. 19.从某大学中随机选取 7 名女大学生,其身高 x(单位:cm)和体重 y(单位:kg)数据 如表: 编号 1 2 3 4 5 6 7 身高 x 163 164 165 166 167 168 169 体重 y 52 52 53 55 54 56 56 (1)求根据女大学生的身高 x 预报体重 y 的回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析这 7 名女大学生的身高和体重的变化,并预报一名身高 为 172cm 的女大学生的体重. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

=





考点:线性回归方程. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)计算平均数,求出 b,a,即可求出回归方程; (2)b>0,可得这 7 名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系,代入公式, 预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重. 解答: 解: (1)∵ = = ∴b= ∴a=54﹣ ∴y= x﹣70.5; (2)∵b>0, = , =﹣70.5, =54, =166,

∴这 7 名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系, x=172 时,y= ×172﹣70.5=58.5(kg) . 点评:本题考查回归方程,考查学生的计算能力,正确求出回归方程是关键.

20.在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为 ,过椭圆 C 的

右焦点 F 作两条互相垂直的弦 EF 与 MN,当直线 EF 斜率为 0 时,|EF|+|MN|=7. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求|EF|+|MN|的取值范围. 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由题意知 e= = ,MN=7﹣2a,再由点(c, )在椭圆上,能求出椭圆的

方程. (2)当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在时,|EF|+|MN|=7;当两弦斜率均 存在且不为 0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设直线 EF 的方程为 y=k(x﹣1) ,直线 MN 的方程为 y=﹣ (x﹣1) .由此能求出|EF|+|MN|,从而能求出其取值范围. 解答: 解: (1)由题意知,e= = ,|MN|=7﹣2a, 所以 a =4c ,b =3c ,…2 分 因为点(c, )在椭圆上,
2 2 2 2



+

=1,解得:c=1.

所以椭圆的方程为:

+

=1;

(2)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意知|EF|+|MN|=7, ②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 且设直线 EF 的方程为 y=k(x﹣1) , 则直线 MN 的方程为:y=﹣ (x﹣1) , 将直线 EF 的方程代入椭圆方程中, 2 2 2 2 并整理得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0, ∴x1= ,x2= ,

∴|EF|=

|x1﹣x2|=

,同理,|MN|=



∴|EF|+|MN|=
2 2 2



令 t=k +1,则 t>1,3+4k =4t﹣1,3k +4=3t+1, 设 f(t)= =﹣ + ,

∵t>1,∴ ∈(0,1) , ∴f(t)∈(12, ∴|EF|+|MN|= ) , ∈[ ,7]. ,7].

综合①与②可知,AB+CD 的取值范围是[

点评: 本题考查椭圆的方程的求法, 考查两条线段和的取值范围的求法, 解题时要认真审题, 注意分类讨论思想的合理运用. 21.已知函数 f(x)=x lnx. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的 t>0,方程 f(x)﹣t=0 关于 x 在(1,+∞)上有唯一解 a,使 t=f(a) . 考点:利用导数研究函数的单调性;函数的零点与方程根的关系. 专题:计算题;证明题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)先求函数 f(x)的定义域,再求导 f′(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1) ,从而由导数确 定函数的单调性; (2)可判断当 0<x≤1 时,f(x)≤0,再由当 x≥1 时,设 t>0,h(x)=f(x)﹣t,从而可 得 h(x)在区间[1,+∞)上单调递增,从而再由 h(1)=﹣t<0,h(e )=e lne ﹣t=t(e ﹣1)>0 可证明. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , f′(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1) , 令 f′(x)=0 解得,x= 故当 x∈(0, ; ,+∞)时,f′(x)>0; ,+∞) ;
t 2t t 2t 2

)时,f′(x)<0,x∈(

故函数 f(x)的单调减区间是(0,

) ,单调增区间是(

(2)证明:当 0<x≤1 时,f(x)≤0, 当 x≥1 时,设 t>0,h(x)=f(x)﹣t, 由(1)知,h(x)在区间[1,+∞)上单调递增, t 2t t 2t 又 h(1)=﹣t<0,h(e )=e lne ﹣t=t(e ﹣1)>0;

故存在唯一解 a∈(1,+∞) ,使 t=f(a)成立. 点评:本题考查了导数的综合应用及函数零点的判定定理的应用,属于中档题. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,⊙O 的半径 OC 垂直于直径 DB,F 为 BO 上一点,CF 的延长线交⊙O 于点 E, 过 E 点的切线交 DB 的延长线于点 A (1)求证:AF =AB?AD; (2)若⊙O 的半径为 2 ,OB=
2

OF,求 FE 的长.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;立体几何. 分析: (1)利用切线的性质、圆的性质、切割线定理即可得出; (2)求出 CF,利用 CF?FE=DF?FB,求 FE. 解答: (1)证明:连接 OE, ∵AE 切⊙O 于点 E,∴∠OEA=90°,∴∠OEC+∠CEA=90°, ∵OC=OE,∴∠OCE=∠OEC, ∵OC⊥DB 于点 O,∴∠OCE+∠CFO=90°. 故∠CEA=∠CFO=∠AFE,∴AF=AE, 又∵AE 切⊙O 于点 E,∴AE =AB?AD, 2 ∴AF =AB?AD; (2)解:∵OB=2 ,OB= OF, ∴OF=2, ∵OC=2 , ∴CF= =4, +2) (2 ﹣2)=8,
2

∵CF?FE=DF?FB=(2 ∴FE= =2.

点评:熟练掌握切线的性质、圆的性质、切割线定理是解题的关键. 【选修 4-2:极坐标与参数方程】

23.已知直线 n 的极坐标是 pcos(θ+

)=4

,圆 A 的参数方程是

(θ

是参数) (1)将直线 n 的极坐标方程化为普通方程; (2)求圆 A 上的点到直线 n 上点距离的最小值. 考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)由 ρcos(θ+ 即可得出;
2 2

)=4

,展开为

=4

,利用

(2)圆 A 的

(θ 是参数)化为普通方程为: (x﹣1) +(y+1) =2,圆

心(1,﹣1) ,半径 r= .利用点到直线的距离公式可得;圆心到直线 n 的距离 d.即可得 出圆 A 上的点到直线 n 上点距离的最小值=d﹣r. 解答: 解: (1)由 ρcos(θ+ 化为 x﹣y﹣8=0; (2)圆 A 的 心(1,﹣1) ,半径 r= . =3 . (θ 是参数)化为普通方程为: (x﹣1) +(y+1) =2,圆
2 2

)=4

,展开为

=4



∴圆心到直线 n 的距离 d=

∴圆 A 上的点到直线 n 上点距离的最小值=d﹣r=2 . 点评:本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、点到直线的 距离公式、点与圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x﹣1+a|+|x﹣a| (1)若 a≥2,x∈R,证明:f(x)≥3; (2)若 f(1)<2,求 a 的取值范围. 考点:不等式的证明;绝对值不等式的解法. 专题:综合题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用绝对值不等式,即可证明结论; (2)分类讨论,利用 f(1)<2,求 a 的取值范围. 解答: (1)证明:f(x)=|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|(x﹣1+a)﹣(x﹣a)|=|2a﹣1| ∵a≥2,∴|2a﹣1|≥3, ∴f(x)≥3; (2)解:f(1)=|a|+|1﹣a|

a≤0 时,f(1)=|a|+|1﹣a|=1﹣2a ∵f(1)<2,∴1﹣2a<2,∴a>﹣ , ∴﹣ <a≤0; 0<a≤1 时,f(1)=1<2 恒成立; a>1 时,f(1)=|a|+|1﹣a|=2a﹣1 ∵f(1)<2,∴2a﹣1<2,∴a< , ∴1<a< 综上,a 的取值范围是(﹣ , ) . 点评:本题考查绝对值不等式,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.


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