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河北省冀州中学2015届高三上学期第一次月考数学理试题


冀州中学高三上学期第一次月考 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 P ? y y ? 0 , P A. ? B. y y ? x , x ? R
2

的真假得正确选项. 3、定义一种运算符号“ ” ,两个实数 a,b 的“a 所示,若输人 a ? 2cos b”运 算原理如图 )

11? 9? , b ? 2tan , 则输出 P= ( 3 4
C 、0
L1

A 、4

B 、2

D 、— 2

【知识点】算法与程序框图.

?

?

?

Q ? Q ,则集合 Q 不可能是





【答案解析】A 解析:因为输入的 a=1,b=2 所以 a ? b 不成立,所以

?

C. y y ? 2 , x ? R
x

?

?

D. y y ? log 2 x, x ? 0

?

?

P=b(a+1)=2 ? 2 =4,故选 A. 【思路点拨】由已知得输入的 a,b 值依次为 1,2,不满足 a ? b ,所以输 出 P=4.
? 【题文】4、已知向量 a, b 的夹角为 45 ,且 a ? 1 , 2a ? b ? 10 ,则 b ? (

【知识点】集合运算. 【答案解析】D 解析:显然可能是 A ,而 B 中集合为{y| y ? 0 },C 中集合为{y|y>0}, D 中集合为 R,故选 D. 【思路点拨】逐个分析各选项得结论. 2、设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ a a ? b b ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件;必要条件. 【答案解析】C 解析: b ? a ? 0 时,有 ? ( )



(A ) 2

(B) 2

(C) 2 2

(D) 3 2 F1 F3

【知识点】平面向量的概念;平面向量的数量积. 【答案解析】D 解析:由 2a ? b ? 10 得,

? 2a ? b?

2

? 4a ? 4a ? b ? b ? 4 ? 4 b cos 45 ? b ? 10 ? b ? 2 2 b ? 6 ? 0

2

2

2

2

? ??b ? ?a ? 0 ? ?b b ? ?a a ? b b ? a a 成立, ? ?b ? a ? 0

解得 b ? ? 2 舍去,或 b ? 3 2 ,故选 D. 【思路点拨】根据复数的模与数量积的关系求得结论. 【题文】5、函数 f ? x ? ? 2 log 1 x ? 1 的零点个数为
x 2

b ? 0 ? a 时,有 b b ? a a 成立, 0 ? b ? a 时,有 0 ? b ? a ,所以 b b ? a a 成立;
又 a ? 0, b ? 0 时, a ? 0, b ? 0 时, a a ? b b 为 a ? b ? 0, a a ? b b ? a ? b ? a ? b 成立,
2 2
2 2





所以 a,b 不同时为 0, 所以 a>b 成立, a ? 0, b ? 0 时, a ? 0, b ? 0 a a ? b b 为 a ? b ? 0 不成立,
2 2

(A) 1 (B) 2 (C) 3 【知识点】函数零点的意义. B9

(D) 4

时, a a ? b b 为

【答案解析】B 解析:由 f ? x ? ? 2 log2 x ?1 ? 0 ,得 log 2 x ? ?
x
x

?a2 ? ?b2 ? a2 ? b2 ? a ? b ? ?a ? ?b ? a ? b 成立.所以“ a ? b ”是“ a a ? b b ”的充
要条件,故选 C. 【思路点拨】通过分析命题:若 a ? b ,则 a a ? b b ,与命题:若 a a ? b b ,则 a ? b .

?1? ? ,画出两函数 ?2?

x

?1? y ? log 2 x , y ? ? ? 得两图像交点个数即所求零点个数为 2,故选 B. ?2?
【思路点拨】根据函数零点的意义,利用图像求得零点个数.
1

【题文】 6、 数列 an 共有 12 项, 其中 a1 ? 0 , 且 ak ?1 ? ak ? 1 k ? 1, 2, 3, a5 ? 2 , a12 ? 5 , 则满足这种条件的不同数列的个数为 A.84 B.168 【知识点】数列问题;计数原理. ( C.76 D1 J1 ) D.152

? ?

,11 ,

A.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

【知识点】定积分与微积分基本定理;几何概型. B13 K3 【答案解析】C 解析:阴影部分的面积为

【答案解析】 A 解析: 满足 a1 ? 0, a5 ? 2 且 ak ?1 ? ak ? 1 的数列前 5 项有 4 种情况, 满足 a5 ? 2 ,

??
1 0

?2 3 1 ?1 1 x ? x dx ? ? x 2 ? x 2 ? ? ,所以 2 ?0 6 ?3

?

a12 ? 5 ,且 ak ?1 ? ak ? 1 的数列的第 5 至 12 项有 1? 6 ? 3 ? 4 ? 3 ?1 ? 21 种,
所以满足题设条件的不同数列的个数为 4 ? 21 ? 84 个. 【思路点拨】由树图法求出满足题设条件的不同数列的个数. 【题文】7、已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? 1 , g ? x ? ? kx . 若方程 f ? x ? ? g ? x ? 有两个不相等的实 根,则实数 k 的取值范围是 ( C、 ?1, 2 ? )

点 P 恰好取自阴影部分的概率为:

1 . 6

【思路点拨】根据微积分基本定理与几何概型公式求解. 【题文】9、若函数 f ( x ) ? 2sin ? x (? ? 0) 的图像在 (0, 2? ) 上恰有一个极大值和一个极小值, 则 ? 的取值范围是 A. ( ,1] ( ) D. ( , ] C4

? 1? A、 ? 0, ? ? 2?

?1 ? B、 ? ,1? ?2 ?
B9

D、 ? 2, ???

3 4

B. (1, ]

5 4

C. ( , ]

3 4 4 5

3 5 4 4

【知识点】函数与方程.

【知识点】函数 y ? A sin ?? x ? ? ? 的图像与性质. 【答案解析】D

【答案解析】B 解析:画出函数 f ? x ? ? x ? 2 ? 1的图像,当过原点的直线 g ? x ? ? kx 由 OA 逆时针旋转到与射线 AB 平行时,方程 f ? x ? ? g ? x ? 有两个不相等的实根,此时

解析:因为函数 f ( x ) ? 2sin? x (? ? 0) 的图像在 (0, 2? ) 上恰有一个极大值和

? 3 2? ? ? 2? ? ?4 ? ? 3 5? ? ? , ? ,故选 D. 一个极小值,所以 ? ? 4 4? ? 5 ? 2? ? 2? ? ?4 ?
【思路点拨】根据条件数 f ( x ) ? 2sin ? x (? ? 0) 的图像在 (0, 2? ) 上恰有一个极大值和一个极小 值,得关于 ? 的不等式组,解得 ? 的取值范围.

?1 ? k ? ? ,1? ,故选 B. ?2 ?
【思路点拨】方程 f ? x ? ? g ? x ? 有两个不相等的实根,即 f ? x ? ? x ? 2 ? 1与 g ? x ? ? kx 图像有两个不同交点.由图像得实数 k 的取值范围. 【题文】8、如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P, 则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 ( )

【题文】10、已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图是有 一条直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为 ( )

【知识点】几何体的三视图.

G2
2

【答案解析】C 解析:由三棱锥的俯视图与侧视图可知,此三棱锥的直观图如下, 所以该三棱锥的正视图可能为 C.故选 C.

【思路点拨】画出图形,根据双曲线定义,内心性质,求得线段 OA,OB 的长即可. 【思路点拨】由三棱锥的俯视图与侧视图可得此三棱锥的直观图,从而得此三棱锥的的正视图的形 状. 【题文】 12 、设函数 f ? x ? 的导函数为 f ( ) A. 3 f ? ln2? ? 2 f ? ln3? C. 3 f ? ln2? ? 2 f ? ln3? 【知识点】导数的应用. B12 B. 3 f ? ln2? ? 2 f ? ln3? D. 3 f ? ln2 ? 与 2 f ? ln3? 的大小不确定
'

? x ? ,对任意

x ? R 都有 f ? x? ? f

'

? x? 成立,则

x2 y2 【题文】11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的左右焦点分别为 F 、F2 , O 为双曲线的中心, P 是双曲线 1 a b
右支上的点, ?PF 1 F2 的内切圆的圆心为 I ,且圆 I 与 x 轴相切于点 A ,过 F2 作直线 PI 的垂线, 垂足为 B ,若 e 为双曲线的离心率,则 A. | OB |? e | OA | C. | OB |?| OA | 【知识点】双曲线及其几何性质. B. | OA |? e | OB | D. | OA | 与 | OB | 关系不定. H6 ( )

【答案解析】A 解析:设 h( x ) ? 在 x ? R 上恒成立,所以 h( x ) ?

e x f ?( x) ? e x f ( x) f ?( x) ? f ( x) f ( x) ? h ( x ) ? ? ?0 ,则 ex e2 x ex

f ( x) 是 R 上 的减函数,所以 h(ln 2) ? h(ln 3) ,即 ex

【答案解析】C 解析:如图: PF 1 于 C,易 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ? 2a ? OA ? a ,延长 F2 B 交 PF 得 B 是线段 F2C 的中点,又 O 是线段 F1F2 的中点,所以 OB 是 ?F 1F 2C 的中位线,所以 OB=a,故 选 C.

f (ln 2) f (ln 3) ? ln 3 ? 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) ,故选 A. eln 2 e f ( x) 【思路点拨】构造新函数 h( x ) ? ,利用已知条件判断其单调性,从而得正确选项. ex

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
【题文】13、若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内 z 对应的点的坐标是 【知识点】复数运算. L4 .

【答案解析】(4,-2) 解析: z ?

2 ? 4i ? 2 ? 4i ? ? i ? ? 4 ? 2i ,所以在复平面内 z 对应的点的坐标 i i ?i
3

是(4,-2). 【思路点拨】解已知复数方程得 z ? 4 ? 2i ,由此得复平面内 z 对应的点的坐标. 【题文】14、已知 ( x ? m)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? 则 a1 ? a2 ? a3 ?

?1? ?1? 1 y ? ? ? 知,当曲线过可行域的顶点 B(1,1)时 z 最大,且最大值为1 ? ? ? ? . ?2? ?2? 2
【题文】 16、 已知 P ?P1OP2 ? ?( ? 1 x1 , y1 ,P 2 x2 , y2 是以原点 O 为圆心的单位圆上的两点, 为钝角) .若 sin ? ? ?

x

1

? a7 x7 的展开式中 x 4 的系数是-35,

?

?

?

?

? a7 =
J3

.

【知识点】二项式定理.

? ?

??

3 ? ,则 x1 x2 ? y1 y2 的值为 ? 4? 5

. F2 C5

【答案解析】1 解析:因为 Tr ?1 ? C x
r 7

7?r

?7 ? r ? 4 ?r ? 3 , ?? ? ?m ? ,所以 ? ? r r ? ?C7 ? ?m ? ? ?35 ?m ? 1
r

【知识点】向量数量积的坐标运算;两角和与差的三角函数. 【答案解析】 ?

所以当 x=1 时, a0 ? a1 ? a2 ?

? a6 ? a7 ? 0 ,当 x=0 时, a0 ? ?1,所以

2 10

解析:因为 sin ? ? ?

? ?

??

3 3 2 ,又 ? ,所以 sin ? ? cos ? ? ? 4? 5 5
2 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 10

a1 ? a2 ? a3 ?

? a7 =1.

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 且 ? 为钝角,解得 cos ? ? ?

【思路点拨】根据二项式定理中的通项公式及已知求得 m 值,再用赋值法求解.

? x ? y ≥ 0, 1 ? 【题文】15、已知实数 x , y 满足条件 ? x ? y ≥ 0, 则 y ? ( ) x 的最大值为 2 ? x ≤ 1, ?
【知识点】简单的线性规划的应用. E5
x x

= OP 1 ? OP 2 ? OP 1 ? OP 2 cos ? ? cos ? ? ? .

2 . 10
3 2 2 2 又 sin ? ? cos ? ? 1 且 ? 为钝角, 5 ,

【思路点拨】由已知等式得 sin ? ? cos ? ?

1 【答案解析】 2
x

?1? ?1? 解析:画出可行域如图:令 z ? y ? ? ? ,即 y ? ? ? ? z ,平移曲线 ?2? ?2?
1

解得 cos ? ? ?

2 2 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 = OP . 1 ? OP 2 ? OP 1 ? OP 2 cos ? ? cos ? ? ? 10 10

?1? ?1? 1 y ? ? ? 知,当曲线过点 B(1,1)时 z 最大,且最大值为 1 ? ? ? ? . ?2? ?2? 2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
【题文】17、 (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且△ABC 的面积为 S ? (1)若 c ? 2a ,求角 A,B,C 的大小; (2)若 a=2,且

3 ac cos B 2

?
4

? A?

?
3

,求边 c 的取值范围.

【知识点】解三角形. 【答案解析】(1) A ?

C8

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

; (2) c ? ? 2, 3 ? 1? .

?

?

?1? ?1? 【思路点拨】画出可行域,令目标函数 z ? y ? ? ? ,则 y ? ? ? ? z ,平移曲线 ?2? ?2?

x

x

1 3 S ? ac sin B ? ac cos B, 2 2 解析:由三角形面积公式及已知得
4

化简得 sin B ? 3 cos B, 即 tan B ? 3, 又 0 ? B ? ? , 故
2 2 2 2 2

B?

?
3 .???3 分
2 2

p

11 24

7 15

1 15

1 120

(1)由余弦定理得, b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? 4a ? 2a ? 3a , ∴ b ? 3a.

ξ 的期望为 34; (2)

143 144

∴ a : b : c ? 1: 3 : 2 ,知

A?

?
6

,C ?

?
2
?????????6 分

3 解析: (1)甲抽奖一次,基本事件的总数为 C12 ? 120 ,奖金 ? 的所有可能值为 0,30,60,240.一等奖

a c a sin C 2 sin C ? , c? ? , sin A sin A (2)由正弦定理得 sin A sin C 即

C?


2? ? A, c ? 3 得 ? A?

2sin(

2? 2? 2? ? A) 2(sin cos A ? cos sin A) 3 3 3 3 ? ? ? 1, sin A sin A tan A

1 ,三球连号的情况有 1,2,3;2,3,4; 120 8 1 ? ,仅有两球连号中,对应 1,2 与 8,9,10 共 8 种情况,得奖金 60 元的概率 p (? ? 60) ? 120 15 7? 2 ? 6? 7 7 ? , 9,10 的各有 7 种, 对应 2,3; 3,4; 8,9 各有 6 种, 得奖金 30 元的概率 p (? ? 30) ? 120 15
的情况只有一种,得奖金 240 元的概率为 p ?? ? 240 ? ? 得奖金 0 元的概率

p (? ? 0) ? 1 ?

?
又由 4

?

1 1 7 11 ? ? ? -------------4 分 120 15 15 24

, 3 知 1 ? tan A ? 3, 故 c ?[2, 3 ? 1]. ????12 分

?

0
11 24

30
7 15

60
1 15

240
1 120
------------6 分

【思路点拨】 (1)由面积公式及已知得 B ?

?
3

,再由余弦定理及 c=2a 得 b ? 3a ,进而求得角 A、

p

2 sin C 2? 3 ? A ,得 c ? C. (2)由正弦定理及 a=2 得 c ? ,又 C ? ?1 sin A 3 tan A .
【题文】18.(本小题满分 12 分)某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动:在一个不透明的 口袋中装入外形一样号码分别为 1,2,3,?,10 的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球,三 球号码有且仅有两个连号的为三等奖,奖金 30 元;三球号码都连号为二等奖,奖金 60 元;三球号 码分别为 1,5,10 为一等奖,奖金 240 元;其余情况无奖金。 (1)求员工甲抽奖一次所得奖金 ξ 的分布列与期望; (2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数 的方差是多少? 【知识点】离散型随机变量及其分布列. 【答案解析】 (1)ξ 的分布列为: K6

11 7 1 1 ? 30 ? ? 60 ? ? 240 ? ? 34 -------8 分 24 15 15 120 11 13 ? (2)由(1)可得乙一次抽奖中奖的概率为 p ? 1 ? , 24 24 13 四次抽奖是相互独立的,所以中奖次数? B (4, ) 24 13 11 143 ? ? 故 D? ? 4 ? .-----------12 分 24 24 144 E? ? 0 ?
【思路点拨】(1)根据古典概型的概率公式,求得 ξ 取各值时的概率,从而得 ξ 的分布列, 进而求得 ξ 的期望; (2)由(1)得乙一次抽奖中奖的概率为 p ? 以中奖次数?

13 ,四次抽奖是相互独立的,所 24

B (4,

13 143 ) ,所以他得奖次数 的方差是 . 144 24

?

0

30

60

240

【题文】19、 (本小题满分 12 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,已知 DE ? 平面 ABCD , AD / / BC , ?BAD ? 60o , AB ? 2 , DE ? EF ?1. (1)求证: BC / / EF ;
5

(2)求三棱锥 B ? DEF 的体积. 【知识点】线面平行的判定与性质;几何体的结构. G4 G1

【知识点】椭圆的方程;直线与椭圆的位置关系. 【答案解析】 (Ⅰ) AD ?

H5

H8

? x2 6 6? ? y 2 ? 1; (Ⅱ) ? ? ? 6 , 6 ? ?. 2 ? ?

【答案解析】 (1)略; (2) 平面 ADEF, BC ? 平面 ADEF,

3 . 解析: (1)因为 AD//BC, 6

所以 BC//平面 ADEF,----------3 分 平面 ADEF=EF,

?c ? 1 ? ?a 2 ? 2 2 ? ?b 解析: (Ⅰ)根据题意得 ? ? 解得 ? 2 ,所 2 ?b ? 1 ? ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
圆 E 标准方程为

以椭

又 BC ? 平面 BCEF, 平面 BCEF 所以 BC//EF.----------------6 分 (2)在平面 ABCD 内作 BH

x2 ? y 2 ? 1.---------4 分 2

AD 与点 H,

因为 DE ? 平面 ABCD,BH ? 平面 ABCD ,所以 DH ? BH, 又 AD, DE ? 平面 ADEF, AD 所以 BH ? 平面 ADEF , 所以 BH 是三棱锥 B-DEF 的高. 在直角三角形 ABH 中, ? BAD= 60 , AB=2,所以 BH= 3 , 因为 DE ? 平面 ABCD ,AD ? 平面 ABCD ,所以 DE ? AD, 又由(1)知,BC//EF,且 AD//BC,所以 AD//EF,所以 DE ? EF, DE=D,

x2 ? y 2 ? 1,消去 y, (Ⅱ)设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ) ,把直线方程 y=kx+m 代入椭圆方程 2
2 2 2 得 2k ? 1 x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ?

?

?

4km 2m 2 ? 2 , x x ? ,-----8 分 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

? ? 16k 2 ? 8m2 ? 8 ? 0 ,即 m2 ? 2k 2 ? 1

-------9 分 (*)

因为原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的内部,所以 OP ? OQ ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

m 2 ? 2k 2 又 y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? k x1x2 ? mk ? x1 ? x2 ? ? m ? , 2k 2 ? 1
2 2

1 1 1 3 所以三棱锥 B-DEF 的体积 V ? S?DEF ? BH ? ? ?1?1? 3 ? . 3 3 2 6
【思路点拨】 (1)利用线面平行的判定与性质定理证得结论; (2) 根据棱锥的体积公式, 底面 ?DEF 面积易求,顶点 B 到底面 DEF 的距离为 B 到直线 AD 的距离,由此求得三棱锥 B-DEF 的体积. 【题文】20、 (本小题满分 12 分) 如图,焦距为 2 的椭圆 E 的两个顶点分别为 A 和 B ,且 AB 与 n ? (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? m 与椭圆 E 有两个不同的交 点 P 和 Q ,且原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的内部,求实数 m 的取值范围.



2m 2 ? 2 m 2 ? 2k 2 2 2 2 2 2 ? ? 0 得 m 2 ? k 2 ? ,又 (*) 成立,得 m 2 ? k 2 ? ? , 2 2 3 3 3 3 3 2k ? 1 2k ? 1
? ? ? 6 6? , ?. 6 6 ? ?

故实数 m 的取值范围是 ? ?

?

2, ?1 共线.
把 直 线 方 程 代 入 椭 圆 方 程 消 去 y , 得

?

【思路点拨】 (Ⅰ)由已知得 关于 a,b,c 的方程组,解得 a,b 即可; (Ⅱ)设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ) ,

? 2k

2

? 1 x 2 2 m? 2 ? ,0所 以 ? x 2 ? 4k m ?

x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 2 2 2 2 , x x ? , ? ? 16k ? 8m ? 8 ? 0 ,即 m ? 2k ? 1 1 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1
6

因为原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的内部,所以 OP ? OQ ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2 把韦达定理代入上式得 m ?

2 2 2 2 2 2 k ? ,结合 m2 ? 2k 2 ? 1 ,所以 m 2 ? k 2 ? ? , 3 3 3 3 3

(ln b ? b) ? (ln a ? a) 1 f (b) ? f (a ) 1 ? ? 1, ? ?1 b?a a b?a a 可化为 对于任意的 0 ? a ? b , 其中 0 ? a ? b ,

故实数 m 的取值范围是 ? ?

? ? ?

6 6? , ?. 6 6 ? ?

【题文】21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? mx ? m, m ? R . (1)已知函数 f(x)在点(l ,f(1) )处与 x 轴相切,求实数 m 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)在(1)的结论下,对于任意的 0<a <b,证明: 【知识点】导数的应用;不等式的证明方法.

b ? a ?1 ln t b ? ? 1, t ? 1 ? ln t ? t ? 1 ? 0, t ? 1 ?1 t ?1 a ,其中 0 ? a ? b , , ln
即 f (t ) ? 0, t ? 1 由(2)知, 函数 f ( x ) 在 (1, ??) 递减,且 f (1) ? 0 ,于是上式成立

f ? b? ? f ? a ? b?a
B12 E7

?

1 ?1 a

f (b) ? f (a ) 1 ? ?1 b?a a 成立. ????????12 分 故对于任意的 0 ? a ? b ,
【思路点拨】 (1)由函数 f(x)在点(l ,f(1) )处与 x 轴相切得,函数在 x=1 处的导数为 0 求 m 值; (2)通过讨论 m 的取值得导函数大于 0 或小于 0 的 x 范围,从而得到单调区间;

【答案解析】 (1)1; (2) m ? 0 时, f ? x ? 的增区间为 ? 0, ?? ? ,无减区间, m ? 0 时, f ? x ? 的 增区间为 ? 0,

? ?

1? ?1 ? (3)证明:略. ? ,减区间为 ? , ?? ? ; m? ?m ?
f ?( x) ? 1 ? m( x ? 0) x

(ln b ? b ) ? (lna ? a ) 1 f (b) ? f (a ) 1 ? ? 1, ? ?1 b?a a b?a a ,即证 ( 3 )即证对于任意的 0 ? a ? b , 其中

解析:由 f ( x) ? ln x ? mx ? m, 得

? (1)依题意得 f (1) ? 1 ? m ? 0 ,即 m ? 1
(2)当 m ? 0 时,

b ? a ?1 b ?1 b ln t 0 ? a ? b, a ? 1, t ? 1 ? ln t ? t ? 1 ? 0 , ,设 ? t , t ? 1 ,则证 a t ?1 ln
即证 f (t ) ? 0, t ? 1 ,由(2)知, 函数 f ( x ) 在 (1, ??) 递减,且 f (1) ? 0 ,于是上式成立

????????2 分

f ?( x ) ?

1 ?m ?0 x ,知函数 f ( x ) 在 (0, ??) 递增;

f (b) ? f (a ) 1 ? ?1 b?a a 成立. 故对于任意的 0 ? a ? b ,

当 m ? 0 时,

f ?( x) ?

?m( x ? x

1 ) m

1 1 x ? (0, ) x ? ( , ?? ) ? m ,由 f ?( x) ? 0 得 m ,由 f ( x) ? 0 得

请考生在第 22、23 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则 按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
【选修 4-4:坐标系与参数方程】 【题文】22. (10 分) 平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数) , 圆 C 的方程为 x +y =4. 以
2 2

即函数 f ( x ) 在

(0,

1 1 ) ( , ?? ) m 递增,在 m 上递减.

????????8 分

(3)由(1) 知 m ? 1 ,得 f ( x) ? ln x ? x ? 1,

坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
7

(Ⅰ )求直线 l 和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ )求直线 l 和圆 C 的交点的极坐标(要求极角 θ∈[0,2π) ) 【知识点】坐标系与参数方程. N3

【知识点】不等式选讲.

N4

【答案解析】 (Ⅰ )3; (Ⅱ ) {x | ?2 ? x ? 1} . 解析: (Ⅰ ) f ? x? ?

【答案解析】 (Ⅰ )直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? (Ⅱ )直线和圆 C 的交点的极坐标为 ? 2, 0 ? , ? 2,

? ?

??

? ? 1 ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ; 3?

2x ? 4 ? 5 ? x

? 2 x ? 2 ? 5 ? x ? 2 ?1
当且仅当 x=4 时等号成立. 故函数 f ? x ? 的最大值 M=3.

? x ? 2 ? ? ? 5 ? x ? =3,

? ?

2? ? ?. 3 ?

s ?x ? ? c o ? 解 析 :( Ⅰ) 直 线 的 普 通 方 程 为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , 将 ? 代入此式得: n ?y ? ? s i ?

由绝对值三角不等式可得 x ?1 ? x ? 2 ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 3 . 所以不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 3 的解 x 就是方程 x ?1 ? x ? 2 ? 3 的解. 由绝对值的几何意义得,当且仅当 ?2 ? x ? 1 时, x ?1 ? x ? 2 ? 3 . 所以不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? M 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} . 【思路点拨】 (Ⅰ )利用二维形式的柯西不等式求解; (Ⅱ )由绝对值的几何意义求得此不等式的解.

?? ? ? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 ,化简得直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? ? ? 1 , 3? ?
显然圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 .

?? ? 2 ?? 1 ? ? (Ⅱ )联立方程组 ? ? ? ,消去 ? 的 cos ? ? ? ? ? , ? 3? 2 ? ? ? cos ?? ? 3 ? ? 1 ? ? ?
因为 ? ??0, 2? ? ,所以 ?

?
3

?? ?

?
3

?

5? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ? 或 ? ? ? , 3 3 3 3 3

所以直线和圆 C 的交点的极坐标为 ? 2, 0 ? , ? 2,

? ?

2? 3

? ?. ?

【思路点拨】 (Ⅰ) 消去直线 l 的参数方程中的参数得直线的普通方程, 将将 ?

? x ? ? cos ? 代入直线、 ? y ? ? sin ?

圆的普通方程得直线 l 和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 联立直线 l 和圆 C 的极坐标方程, 求得极角 θ∈[0, 2π)的直线 l 和圆 C 的交点的极坐标. 【选修 4-5:不等式选讲】 【题文】23. (10 分) 设函数 f ? x ? ?

2 x ? 4 ? 5 ? x 的最大值为 M.

(Ⅰ )求实数 M 的值; (Ⅱ )求关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? M 的解集.
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