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黄冈市2014春季高二期末考试数学试题参考答案(文科)

黄冈市 2014 春季高二期末考试数学试题参考答案(文科)

一、选择题
题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 D 13. ? 5 D 6 D 7 D 8 A 9 B 10 C

二、填空题
11. x ? 2 y ? 8 ? 0 (1)①②④ (3 分) 论也可) 12.

1 2

5 2

14.

48

15.③④

16.(2,0)

17.

(2)③ f ( x) 有极值的充要条件是 b 2 ? 3ac(2 分) (给出其它相关的正确结

三、解答题
18、解:设 g(x)=x2+2ax+4, 由于关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点,故 Δ=4a2-16<0,∴-2<a<2.………………4 分 又∵函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,∴3-2a>1,∴a<1.………………8 分 又由于 p 为真,p 且 q 为假,可知 p 真 q 假, ? ?-2<a<2, 则? ∴1≤a<2;………………12 分 ? ?a≥1,

19、解: (1) f '( x) ? x ? 2ax .
2

2分

x ? 2 是函数 f ( x) 的一个极小值点,

? f '(2) ? 0 .
即 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 1 . 经检验,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 f ( x ) 的一个极小值点. 4分

? 实数 a 的值为 1

(注:没检验扣 1 分)

5分

1 3 2 2 (2)由(1)知, f ( x) ? x ? x ? 4 . f '( x) ? x ? 2x ? x( x ? 2) . 3
令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 . 当 7分

x 在 [?1,3] 上变化时, f '( x), f ? x ? 的变化情况如下:
?1

x
f '( x) f ( x)

(?1, 0)

0 0

(0, 2)
?


2
0

(2,3)

3

?
8 3


?


4

8 3

4

11 分 当 x ? ?1 或 x ? 2 时, f ( x ) 有最小值 当 x ? 0 或 x ? 3 时, f ( x ) 有最大值 4 20、解: (1)矩形的宽为:

8 ; 3
13 分.

450 米 x
3分 4分

y ? 2?

450 900 ?3? x ? ? x ?3 x x

定义域为 ?x | 0 ? x ? 150? 注:定义域为 ?x | 0 ? x ? 150? 不扣分 (2) y ?

900 900 ? x ?3 ? 2 ? x ? 3 ? 60 ? 3 ? 57 x x
即 x ? 30 时取等号,此时宽为:

6分

当且仅当 ? x

? 900 ?x ? ? ?x ? 0

450 ? 15 米 x
8分

所以,长为 30 米,宽为 15 米,所用的钢筋网的总长度最小. (3)依题意,有 18 ? x ? 25 法一: y ?

900 ? x ? 3 (18 ? x ? 25) , x 900 ( x ? 30)( x ? 30) y ' ? ? 2 ?1 ? x x2

? 当 18 ? x ? 25 时, x ? 30 ? 0, x ? 30 ? 0, x2 ? 0
?y'? 0
? y 在 18 ? x ? 25 上是单调递减函数
12 分

? 当 x ? 25 时, ymin ?

900 450 ? 25 ? 3 ? 58 ,此时,长为 25 米,宽为 ? 18 米 25 x

所以,长为 25 米,宽为 18 米时,所用的钢筋网的总长度最小.13 分

a (a ? 0) 单调性判断 y 在 ?18,25? 为减函数,得出正确结果,照样给分。 x (2 x ? 1)( x ? 1) 2 / 21.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ? x, x ? 0, f ( x) ? 2分 x
法二:利用函数 y ? x ? 当 x ? (0,1), f ( x) ? 0; 当 x ? (1,??), f ( x) ? 0; 所以 f ( x) 有最小值 f (1) =0;5 分
/ /

(2)由 x ? 0, 原不等式等价于 x ? 记 g ( x) ? x ?

ln x ? a ?1 x

7分

ln x x 2 ? 1 ? ln x ( x ? 0), g / ( x) ? x x2
2 /

当 x ? (0,1), x ?1 ? 0,ln x ? 0,g ( x) ? 0; 当 x ? (1,??), g ( x) ? 0; 所以 g (x)有最小值 g (1)=1.11 分
/

故 a ? 1 ? 1, a ? 0 ,所求 a 的范围是 a ? 0

13 分

(或解:由 x ? 0, 原不等式等价于 x 2 ? ln x ? x ? ax ,由(1)知 a<0) 22、解: (1)由题意知, e ? c ? 1 , CD ? 7 ? 2a , a 2 所以 a2 ? 4c2 , b2 ? 3c2 . ……………………………2 分
( 7 ? 4c )2 2 ? 1, 3c2

2 因为点 (c, 7 ? 4c ) 在椭圆上,即 c 2 ? 2 4c

所以 c ? 1 .
2 y2 所以椭圆的方程为 x ? ?1. 4 3

……………………………5 分

(2)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意知 AB ? CD ? 7 ; ……………………………6 分

②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 且设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则直线 CD 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 1) . k 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,
2 2 2 2 所以 x1 ? 4k ? 6 k2 ? 1 , x2 ? 4k ? 6 k2 ? 1 , 3 ? 4k 3 ? 4k

所以 AB ? k 2 ? 1 | x1 ? x2 |?

12(k 2 ? 1) . 3 ? 4k 2

……………………………9 分

12( 12 ? 1) 12(k 2 ? 1) k ? 同理, CD ? . 3k 2 ? 4 3 ? 42 k

所以 AB ? CD ?

12(k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) 84(k 2 ? 1) 2 ? ? , 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4 (3 ? 4k 2 )(3k 2 ? 4)

………………………11 分

令 t ? k 2 ? 1 ,则 t ? 1 , 3 ? 4k 2 ? 4t ? 1 , 3k 2 ? 4 ? 3t ? 1 , AB ? CD ? 设 f (t ) ?
(4t ? 1)(3t ? 1) ?? 1 ? 1 ? 12 ? ?(1 ? 1 )2 ? 49 , t 2 4 t2 t2 t

84t 2 (4t ? 1)(3t ? 1)

因为 t ? 1 ,所以 1 ? (0,1) , 所以 f (t ) ? (12, 49 ] , 所以 AB ? CD ? 84 ?[ 48 ,7) . 4 t f (t ) 7 综合① 与② 可知, AB ? CD 的取值范围是 [ 48 ,7] . 7 考查知识点与方法 题号 考查知识点与方法 ……………………………14 分

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

命题及复合命题真假 双曲线标准方程及性质 简单分式不等式解法 导数与函数单调性 绝对值不等式解法 不等式性质及充分,必要条件 椭圆标准方程与性质 二次不等式恒成立 抛物线及性质 导数与不等式 椭圆与直线方程 导数几何意义 导数应用 双曲线与抛物线性质 函数最值,均值不等式,绝对值不等式性质 直线与抛物线 导数综合应用 二次不等式及复合命题真假 导数求最值 均值不等式用于解决实际问题 导数与不等式的综合应用 直线与椭圆的综合应用


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