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第六章 不等式 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理


第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题

考纲概述 考查热点 考查频次 备考指导 (1)会从实际情境中抽 求最值 ★★★★★ 象出二元一次不等式 组; (2)了解二元一次不等 确定二元一次不等式组对应 式的几何意义,能用平 的平面区域是关键,求最值 面区域表示二元一次 已知最值 求参数的 ★★★★ 或者已知最值求范围问题是 不等式组; 常考考点. (3)会从实际情境中抽 取值范围 象出一些简单的二元 线性规划问题,并能加 以解决.

1.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y),所有 这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解 集.

2.二元一次不等式表示的平面区域
一般地,直线 l:ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分: (1)直线 l 上的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c=0; (2)直线 l 一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c>0; (3)直线 l 另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c<0. 所以,只需在直线 l 的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0,y0), 从 ax0+by0+c 值的正负,即可判断不等式表示的平面区域. 注意:不等式 ax+by+c>0(或<0)表示的平面区域不包括边界,应把 边界线画成虚线.

3.二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区 域的交集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分.确定二元 一次不等式(组)表示的平面区域时,经常采用“直线定界、特殊点 定域”的方法. 一般解题步骤为: ①直线定界,虚实分明;②特殊点定域,优选原点;③阴影表示可行 域.

4.线性规划的相关概念及其解法
(1)线性规划的相关概念
名称 目标函 数 约束条 件 可行解 可行域 最优解 线性规 划问题 意义 欲求最大值或最小值的函数 目标函数中的变量所要满足的不 等式组 满足约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值 的可行解 在线性约束条件下,求线性目标函 数的最大值或最小值问题

(2)简单的线性规划问题的解法 ①画:在平面直角坐标系内作出可行域和直线 ax+by=0(目标函数 为 z=ax+by); ②移:平移直线 ax+by=0,确定使 z=ax+by 取得最值的点.具体操 作为: 将 z=ax+by 转化为直线的斜截式方程 y=- x+ ,通过求直线的截
距 的最值间接求出

z 的最值.要注意:当 b>0 时,y 轴上的截距 取




最大值时,z 也取最大值;y 轴上的截距 取最小值时,z 也取最小值.
当 b<0 时,y 轴上的截距 取最大值时,z 取最小值;y 轴上的截距 取

最小值时,z 取最大值. ③求:求出使 z 取最值的点的坐标及 z 的最值; ④答:得到答案.

提醒:目标函数的最优解一般在区域的某个顶点处取得,但也可 能是区域的某一处边界或区域内的某一点(比如有限制条件的实 际应用问题的最优解可能是 1 个 ,也可能是多个或者无数个).

5.常用的数学方法与思想
转化化归思想、数形结合思想、分类讨论思想.

-3 ≤ 0, 1. (2016· 河北定州中学月考) 若 x,y 满足约束条件 -2 ≥ 0, 则目 ≤ + 1, 标函数 z=-7x+y 的最大值为 ( ) A.-5 B.-8 C.-17 D.-19 1.A 【解析】作出可行域,可知当直线 z=-7x+y 过点 A(1,2)时,z 取得最大值-5.

2. (2015· 平顶山、许昌、新乡三市调研) 若 x,y 满足约束条件 ≥ 0, + 2 ≥ 3,则 x-y 的取值范围是 ( 2 + ≤ 3, 3 A.[-3,0] B. - ,0 C.
3 ,3 2 2

)

D.[0,3]
3 2

2.A 【解析】 约束条件对应的平面区域是以点(1,1),(0,3) 和 0,

为顶点的三角形(包含边界).当目标函数经过点(1,1)时,x-y 取得最 大值 0;经过点(0,3)时,取得最小值-3,所以 x-y 的取值范围是[-3,0].

≥ 0, 3. (2015· 长沙一模) 若实数 x,y 满足 ≤ , (k 为常数),且 x+3y 的最大值为 12, 2 + + ≤ 0 则实数 k= ( ) A.0 B.-24 C.-9 D.-12 3.C 【解析】 作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示(包含边界),则当 x+3y 经过点
- 3 ,- 3 12, 即 ? 3-k=12,解得

时取得最大值

k=-9.

+ 2-4 ≥ 0, 4. (2015· 常德三模) 设 x,y 满足约束条件 若 3 + -3 ≥ 0, a=(y,x+m),b=(y,x-m),且 a⊥b,则正实数 m 的最小值为 (
85 5 3 10 C. 10

)

A.

4.B 【解析】由 a⊥b 得 a· b=y2+(x+m)(x-m)=0,则 m= 2 + 2 的几何意义是区域上的点到坐标原点的距离, 由图形可得的最小值是原点到直线 + 2 ? 4 = 0 的距离, 即为
4 5 . 5

4 5 5 16 D. 5

B.

-2 + 4 ≥ 0, +1 5. (2016· 沈阳四校联考) 已知变量 x,y 满足 ≤ 2, 则 的 +2 + -2 ≥ 0, 取值范围是 . 1 3 5. , 【解析】不等式组对应的平面区域是以点(2,0), (0,2)
+1 经过点(2,0) +2 1 3 +1 时取得最小值 , 经过点(0,2)时取得最大值 , 故 4 2 +2 1 3 的取值范围是 , . 4 2 4 2

和(2,3)为顶点的三角形(包含边界), 当

考点 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域问题
≥ 0, ≥ 0, 典例 1 由约束条件 确定的可行域能被半径为 1 ≤ -2 + 2 2, ≤ + 2 的圆面完全覆盖,则实数 k 的取值范围是 .

【解题思路】画出不等式组对应的平面区域,结合图形求解 . 作出不等式组所表示的可行域,要使可行域被半径为 1 的圆面完 全覆盖 ,则该平面区域的外接圆的半径不大于 1.方程 y=kx+ 2 表示的直线经过点(0, 2), 斜率为. 若 ≤ ?1, 如图 1 所示, 则不等式组所表示的平面区域就是直线 = + 2 与两坐标轴所围成的平面区域, 显然该平面区域在以( 2, 0), (0, 2) 为直径两端点的圆的内部, 而 || = 2, 该圆的半径 = 1, 故满足条件. 若 > ?1, 如图 2 所示, 不等式组表示的平面区域是四边形, 由前面的分析可知 Rt △ 的外接圆半径为 1,

所以只需直线 = + 2与直线 = + 2, = ?2 + 2 2的交点不在该圆外即可. 由 = -2 + 2 2, 解得 = =
2 , +2 2 + +2
2

故 2,

2 2 , + +2 +2

2 .
2 2 , 2 2

而以线段为直径的圆的圆心为 即
2 2 +2 2

, 所以有|| ≤ 1,

+
1 2

2 + +2 1 2

2-

2 2

2

≤ 1, 整理得 22 + ? 1 ≤ 0,
1 2

解得 ? 1 ≤ ≤ , 又 > ?1, 所以 ? 1 < ≤ . 综上 , 的取值范围是 -∞, .

【参考答案】 -∞, 2

1

不等式组中参数问题的讨论 不等式组中的参数影响平面区域的形状.如果在二元一次不等式 组的某个不等式中含有参数,那么这个不等式表示的区域的分界 线就是一条变动的直线 ;如果求解的目标函数中含有参数,则要 先根据这个目标函数的特点确定参数变化时目标函数与平面区 域的关系,然后在运动中寻找使问题成立的条件.

【变式训练】
≥ 0, (2015· 哈尔滨质检) 已知变量 x,y 满足的不等式组 ≥ 2, 表示的是一个直角三 - + 1 ≥ 0 角形围成的平面区域,则实数 k 的值为 ( ) A.0 或-2 C.1 2

B.0 或D.-2

1 2

B 【解析】直线 kx-y+1=0 恒过定点(0,1),在坐标平面内画出题中的不等式组表示 的平面区域,该平面区域是一个直角三角形区域(包含边界),结合图形得知,直线 kx-y+1=0 与 y=2x 垂直或与直线 x=0 垂直,于是有 k=0 或
1 k=- . 2

考点 2 简单的线性规划问题
命题角度 1:已知约束条件,求最值或取值范围 0 ≤ ≤ 2, 典例 2 (2016· 闽粤联考) 已知 M(x,y)为由不等式组 ≤ 2, ≤ 2 所确定的平面区域上的动点,若点 A( 2,1),则 z= ·的最大 值为 . 【解题思路】画出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几 何意义求解.不等式组对应的平面区域是一个四边形区域(包含 边界),当 z= · = 2 + 经过点( 2,2)时取得最大值 4. 【参考答案】 4

线性目标函数的几何意义 1 1 z=ax+by 中 z 的几何意义一般与直线 y=- x+ z 在 y 轴上的截距 z


有关 ,当 b>0 时 ,直线在 y 轴上的截距最大(小),z 就最大(小 );当 b<0 时 ,直线在 y 轴上的截距最大(小 ),z 就最小 (大).

【变式训练】
- + 1 ≤ 0, (2016· 吉林实验中学四模) 若实数 x,y 满足 > 0, 则 的取 ≤ 2, 值范围是 ( ) A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) D 【解析】不等式组对应的平面区域是以点(0,1),(1,2)和(0,2) 为边界的三角形(不包含边界 x=0),当 经过点 (1,2) 时取得最小值 2, 所以 的取值范围是[2,+∞).

命题角度2:已知目标函数的最值求参数
典例 3 (2016· 广东实验中学质检) 已知 x,y 满足约束条件 - + 6 ≥ 0, 且 z=2x+4y 的最小值为 6,则常数 k= . ≤ 3, + + ≥ 0, 【解题思路】作出可行域,利用目标函数的几何意义求解.不等式 组对应的平面区域是一个三角形区域(包含边界),当 z=2x+4y 经 过点(3,-k-3)时 ,z 取得最小值,所以 6+4(-k-3)=6,解得 k=-3. 【参考答案】 -3

已知目标函数的最值,求参数的方法 这类问题一般是不等式组中含有参数,作图时,先将参数看做已 知 ,画出可行域后求出最优解,代入目标函数中得最值,建立含参 数的方程,解方程即可求解 .

【变式训练】
2 + -1 ≥ 0, (2015· 北京丰台区期末考试) 若变量 x,y 满足条件 - ≤ 0, ≤ , 且 z=x+y 的最大值是 10,则 k 的值是 . 5 【解析】约束条件对应的平面区域是一个以点
1 1 , 3 3

, (, ),

1- , 2

为顶点的三角形区域(包含边界).当目标函

数 z=x+y 过点(k,k)时,z 取得最大值 10,即 2k=10,解得 k=5.

命题角度3:已知目标函数的最优解个数求参数
+ -2 ≤ 0, 典例 4 x,y 满足约束条件 -2-2 ≤ 0, 若 z=y-ax 取得最大值的 2- + 2 ≥ 0, 最优解不唯一,则实数 a 的值为 ( ) A. 或-1 C.2 或 1 D.2 或-1 【解题思路】约束条件对应的平面区域是以直线 x+y-2=0,x-2y-2=0 和 2x-y+2=0 为边界围成的三角形(包含边界 ), 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=2 或 a=-1. 【参考答案】 D
1 2

B.2 或

1 2

【变式训练】
+ ≤ 1, (2015· 武汉调研) 已知实数 x,y 满足约束条件 - ≤ 1, 若目标函数 z=(a-1)x+ay ≥ 0, 在点(-1,0)处取到最大值,则实数 a 的取值范围为 . 1 -∞, 【解析】约束条件对应的平面区域是以点(1,0), (0,1),(?1,0)
2

为顶点的三角形(包含边界). 当 = 0 时, = ?在点(?1,0)处取得最大值, 适合; 当 > 0 时, 目标函数即为 = 解得 0 < ≤
1 ; 当 2 1-

+ , 要在点(?1,0)处取得最大值, 则 .

1

1- ≥

1,

< 0 时, 目标函数一定在点(?1,0)处取得最大值, 所以适合,
1 -∞, 2

综上可得实数的取值范围是

考点 3 简单的线性规划的实际应用问题
典例 5 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入 资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、 成本和售价如 下表
年产 年种植 每吨 量/亩 成本/亩 售价 1.2 万 0.55 4吨 万元 元 0.9 万 0.3 万 6吨 元 元

黄 瓜 韭 菜

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大, 那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 ( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50

【解题思路】从题中提炼出约束条件和目标函数,转化为线性规 划问题求解.设黄瓜的种植面积为 x 亩 ,韭菜的种植面积为 y 亩 , + ≤ 50, 1.2 + 0.9 ≤ 54, 则由题意知其满足的条件为 化简得 ≥ 0, ≥ 0, + ≤ 50, 4 + 3 ≤ 180, 目标函数 z=0.55×4x+0.3×6y-1.2x-0.9y=x+0.9y. ≥ 0, ≥ 0,

由图可知当直线经过点 B 时,目标函数 z=x+0.9y 取得最大值 .由 + = 50, = 30, 解得 即黄瓜和韭菜的种植面积分别为 = 20, 4 + 3 = 180, 30 亩和 20 亩 . 【参考答案】 B

用线性规划求解实际问题的一般步骤 (1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据 ; (2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量,设未知数 ; (3)根据问题的特点,写出约束条件 ; (4)根据问题的特点,写出目标函数,求出最优解、 最值等要求的解.

【变式训练】
某厂拟生产甲、乙两种试销产品,每件销售收入分别为 3 千元,2 千元,甲、乙产品需要在 A,B 两种设备上加工,在每台设备 A,B 上 加工一件甲产品所需工时分别为 1 小时,2 小时,加工一件乙产品 所需工时分别为 2 小时,1 小时,A,B 两种设备每月有效使用时数分 别为 400 和 500,如何安排生产可以使收入最大?

【解析】设甲、乙两种产品每月产量分别为 x,y 件,收入为 z 元, ≥ 0, ≥ 0, 则 x,y 满足 目标函数 = 3 + 2, + 2 ≤ 400, 2 + ≤ 500, 作出可行域如图中阴影区域(包含边界), 解方程组 + 2 = 400, 得交点 A(200,100),当目标函数经过 A 点时,z 取得 2 + = 500 最大值 3×200+2×100=800. 则甲、乙两种产品每月产量分别为 200 件、100 件时,可以使收 入最大.

线性规划问题的两种常见解法
典例 为 - + 1 ≥ 0, (2015· 新课标全国卷Ⅱ) 若 x,y 满足约束条件 -2 ≤ 0, 则 z=x+y 的最大值 + 2-2 ≤ 0, .

【解题思路】 解法 1(平移法):作出可行域,如图 1 所示,将直线 l0:x+y=0 在可行域内平移至经过 A 点 时,z 取最大值,

-2 = 0, 1 1 3 由 得 1, , 故max = 1 + = . 2 2 2 + 2-2 = 0

解法 2(代入特殊点法):作出可行域如图 2 中的阴影部分所示.由 -2 = 0, - + 1 = 0, 1 解得 1, , 由 解得 (0,1), 由 2 + 2-2 = 0, + 2-2 = 0, = 1, - + 1 = 0, = 0, 3 解得(?2, ?1), 当 时 , = , 当 时 1 2 = 1 = -2 = 0, 2 = -2, 3 , = 1, 当 时, = ?3, 所以比较知的最大值为 . 2 = -1 3 【参考答案】
2

线性规划问题的最优解问题 若可行域为封闭区域,则线性目标函数只能在该区域的边界及边 界的交点处取得最值,针对这类问题,我们常用平移法求解 ;也可 以通过代入特殊点法求解,此方法可以避免平移法中因符号正负 的颠倒而致错.

【针对训练】
+ 2 ≥ 0, (2015· 天津高考) 设变量 x,y 满足约束条件 - + 3 ≥ 0, 则目标函数 z=x+6y 的最大值为 2 + -3 ≤ 0, ( ) A.3 B.4 C.18 D.40 + 2 ≥ 0, C 【解析】作出不等式组 - + 3 ≥ 0, 表示的可行域 , 如图所示 , 对于目标函数 = + 6, 2 + -3 ≤ 0 - + 3 = 0, 显然当其过 的交点(0,3)时,z 取得最大值 ,最大值为 18. 2 + -3 = 0


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