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第2章§5 从力做的功到向量的数量积


§5 从力做的功到向量的数量积

1.知识目标:

(1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的
含义及其物理意义、几何意义;

(2)体会平面向量的数量积与向量射影(也叫投影)的
关系;

(3)掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的 一些简单应用; (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积

判断两个平面向量的垂直关系.

2.能力目标: 学会借助实例分析,探究数学问题(体会由熟悉的物 理知识“做功”得到向量的数量积的含义及其物理意义、 几何意义. 精解精析几个例题,帮助理解和巩固相应的知

识,培养自己的逻辑思维能力).

3.情感目标:

通过本节内容的学习,认识向量的数量积与物理学的
做功有着非常紧密的联系;进一步领悟数形结合的思想; 同时通过熟悉的物理背景去理解向量的数量积,激发学习 数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.

(1)任意两个向量都可以进行加、减运算,同时两个向 量的和与差仍是一个向量,并且向量的加法运算满足交换 律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算,我们 自然会提出,任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢? 如果可以,结果又如何呢?

(2)我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产 生位移s(如图)
F

θ
S

力F所做的功W可用下式计算: W=|F||S|cosθ ,其中θ 是F与S的夹角.

当0°≤θ <90°时,W>0, 即力F做正功; 当θ =90°时,W=0,即力F不做功; 当90°<θ ≤180°时,W<0,即力F做负功. 从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念.

b
思考1 如何定义向量的夹角?

a

两个非零向量 a 和 b ,作 OA = a , OB = b ,则?AOB = θ ( 0? ? ? ? 180? )叫做向量 a 与 b 的夹角. B

b

?
O

a

A

a
O b B A 若 ? ? 0? , a 与 b 同向 B

b

a

B O A 若? ? 180?, a 与 b 反向

b
O

? a

由于零向量的方向是任 A 意的,为方便起见,规 定零向量可与任一向量

若? ? 90? , a 与 b 垂直, 记作 a ? b

垂直.

思考2

什么是向量的射影?

OA ? a , OB ? b ,过点B 作BB1垂直于直线OA,垂足为

B1,则 OB1 ? b cos ? . | b | cosθ叫作向量 b在 a 方向上的射影(也叫投影).

当θ为锐角时,
|b | cosθ_____ >0 O

B

b
?
B1 A

a

B

B

b
θ

b
θ O

B1 1

a

A

O( (B1 1)

a

A

<0 当θ为钝角时,| b | cosθ___
O

当θ为直角时,| b |cosθ____ =0

b
B

a
A

|b | 当θ =0°时, | b |cosθ =_____

B1
B

b

O

a
A

-| b | 当θ =180°时, | b | cosθ =_____ 物理实例中,与位移S方向一致的分力F1的长度 ︱F︱cosθ ,即是力F在S方向上的射影。
F F2

F1
S

θ

思考3 平面向量的数量积的定义如何?

a与 b ,它们的夹角为θ ,我们把数量 |a || b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积), 记作: a · b
已知两个向量

a · b =| a || b | cosθ
注意:向量 的数量积是 一个数量。
特别的:零向量与任一向量的数

量积为0.

例1

⑴ 已知| a|=3,| b|=4,a与 b 的夹角θ =150°,

求 a·b. 解: a·b =| a || b |cosθ=3×4×cos150°

=3×4×(- 3 /2)=-6 3 ⑵已知 a =(1,1), b =(2,0), a与b的夹角? ? 45 求 a·b .
解: | a | = 2 , | b |=2, θ=45° ∴

a·b =| a|| b |cosθ=

2 ×2×cos45°= 2.

思考4

数量积的几何意义是什么?
B

b
?
O
| b | cos?

a ? b ? a ? b ? cos ?
a
A

a ? b ? b ? a cos ?

a ?b ? b? a

a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上投影 b cos ?的乘积, 或b的长度 b 与a在b方向上投影 a cos ?的乘积.

【特别提醒】
1. a ? a ? a
2

2.若 e , e 是单位向量,则 1 2

e1 ? e2 ? e1 ? e2 cos ? ? cos ?
单位向量 是一种特 殊的向量 哟!

【重要性质】

1.若 e 是单位向量,则

e ? a ? a ? e ? a cos ? .
2. a ? b ? a ? b ? 0.
3. a ? a ? a .

4. cos ? ? a ? b ( a b ? 0).
a b

5. a ? b ? a b .

当且仅当 a ∥ b 时等号成立.

思考5

数量积的物理意义?
F
?
F ? cos?

S

如果一个物体在力F的作用下产生位移S, 那么力F所做的功W 可用公式计算 :

W = F ? S =| F || S| cosθ

设向量a, b, c和实数?,则向量的数量积满足下列运算律:

(1)a ? b ? b ? a;
(2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b);

(3)a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c.
思考:若a ? c ? b ? c,有a ? b吗?

解答:不成立. 反之成立吗? 解答:成立.

练习:判断正误
1.若a = 0,则对任一向量 b ,有 a ·b= 0 . 2.若 b ≠0. a ≠ 0,则对任一非零向量 b ,有 a ·


×

3.若 a ≠ 0, a · b =0,则 b = 0
4.若 a · b =0,则 a , b 中至少有一个为0. 5.若 a ≠0 , c ,则a = c b= b · a·

×
× ×

6.若 a · b = a · c ,则 b≠ c,当且仅当 a = 0 时成立. × 7.对任意向量 a 有a ? a .
2 2



平面向量数量积的应用 例2 在ΔABC中,设边BC,CA,AB的长度分别为 a,b,c, 证明:

a? =b? +c? –2 bccosA,
b? =c? +a? –2cacosB, c? =a? +b? –2abcosC.

例2 在ΔABC中,设边BC,CA,AB的 长度分别为a,b,c,证明: a? =b? +c? –2 bccosA, b? =c? +a? –2cacosB, B c? =a? +b? –2abcosC. 证明
2 2

A c b a C

设 AB ? c, BC ? a, AC ? b, 则
2

a ? a ? BC ? BC BC ? (AC- AB) (AC- AB)

? (b ? c) ? (b ? c) ? b ? b ? c ? c ? 2b ? c
? b ? c ? 2 b c cos A.
2 2

同理可证其他两式,我们把这个结果称为余弦定理.

【技巧点拨】 1.将三角形的边用有向线段表示; 2.根据向量的运算及向量的几何意义,写 出向量之间的关系;

3.通过平方和向量的数量积整理出所要的
结果.

例3

证明菱形的两条对角线互相垂直. D O

证明 菱形ABCD中,AB=AD,由于
AC = AD + AB, BD = AD- AB

C

可得
AC BD = (AD + AB) (AD- AB)

? (AD) - (AB)
2

2

A

B

= AD - AB

2

2

=0, 所以, AC ? BD 即菱形的两条对角线互相垂直.

【技巧点拨】 1.取两个不共线的向量作基底; 2.将要证明的向量用这两个向量表示; 3.利用 a ? b ? a ? b ? 0 得到证明。

例4 已知单位向量 e1 , e2 的夹角为60°,求向量 a ? e ? e , 1 2
b ? e2 ? 2e1 的夹角.
1 解:由单位向量 e1 , e2 的夹角为60°,得 e1 ? e2 ? cos 60 ? , 2
?

所以 a ? b ? (e1 ? e2 ) ? (e2 ? 2e1 ) ? ?2e1 ? e1 ? e1 ? e2 ? e2 ? e2
1 3 ? ?2 ? ? 1 ? ? . 2 2


2

又 a ? e1 ? e2 ? e1 ? 2e1 ? e2 ? e2 ? 3,
b ? e2 ? 2e1 ? 4 e1 ? 4e1 ? e2 ? e2 ? 3,
2 2 2 2

2

2

2

所以 a ? b ? 3.



设 a 与 b 的夹角为 ? , 由①②可得
3 a ?b 1 2 cos ? ? ? ?? . 2 3? 3 a b ?

又 0 ? ? ? ? , 所以 ? ? 2? .

即向量 a 与 b 的夹角为 2? . 3

3

【技巧点拨】 1.以 e , 为基底;计算 e1 ? e2 的值. e 2 1 2.利用向量的夹角公式计算.

例5 如图, 在平行四边形ABCD中已知 , AB = 4, AD ? 3, ?DAB ? 60? , 求 : ?1? .AD BC

? 2? .AB CD

? 3? .AB DA

解 : ?1?因为AD与BC平行且方向相同, ? AD与BC 的夹角为0?.

D

C

? AD ? BC ? AD ? BC ? cos 0? ? 3 ? 3 ?1 ? 9

60?
A B

或AD ? BC ? AD ? 9

2

? 2? .

AB与CD平行, 且方向相反

?AB与CD 的夹角是180?

120?

? AB ? CD ? AB ? CD ? cos180? ? 4 ? 4 ? ? ?1? ? ?16
或AB ? CD ? ? AB ? ?16
2

?3? .

AB与AD的夹角是60? , ?AB与DA的夹角是120?

? 1? ? AB ? DA ? AB ? DA ? cos120? ? 4 ? 3 ? ? ? ? ? ?6 ? 2?

【技巧点拨】 进行向量数量积计算时,既要考虑向量的 模,又要根据两个向量方向确定其夹角.

b ?4 , 1.已知 a ? 5 , a 与 b 的夹角 ? ? 120?,求 a ? b .

? 10
120

2. 已知 a ? 2, b ? 3, a ? b ? ?3, 求a与b的角? .

3.计算下列各式:?1? a ? b ? a ? b ;

?

??

?

a 2 ? b2

? 2 ? ? 2a ? b ? ? ? a ? 3b ? .
4. 如果a ? b ? a ? c,能否推出b ? c ?为什么?

2a 2 ? 5a 2b2 ? 3b2
(否) (否)

5. a ? b ? c ? a ? b ? c 是否成立?为什么?

? ?

? ?

本节课主要学习了:

(1)向量的夹角;
(2)向量的射影; (3)向量的数量积; (4)向量的数量积的几何意义和物理意义; (5)向量的数量积的性质和运算律.

不会宽容别人的人,是不配受到别人的宽

容的。

——贝尔奈


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