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2.2.2对数函数及其性质(一)


对数函数及其性质
(第一课时)

学习目标:
? 1.记住对数函数的概念及表达式. ? 2.会用描点法画出简单对数函数的图象,
并会描述对数函数的图像特征. ? 3.会跟据对数函数的图象特征找出对数函 数的性质. ? 4.会应用对数函数的性质解决有关问题.

一、引入及对数函数的概念:

? 某种细胞分裂x次,得到的细胞的个数y与x
?
x 的函数关系式是: y?2 此时把 x、 y 互解,可以得到:

? 此时

x



x ? log2 y

y 的函数,再改成一般形式:

y ? log2 x

象这样,形如函数 y ? loga x ? a ? 0, 且a ? 1? 数函数,其中是 自变量,定义域是

叫对

x

?0, ???

思考:(1)为什么定义域为 ? 0, ??? ?
(2)为什么规定底数a>0且 a≠1呢? (3)函数的值域是什么?

例1求下列函数的定义域:

?1? y ? log a x ? 2 ? y ? log a (4 ? x ) 2 ? 3? y ? log a (9 ? x )
2

分析:应用定义中的条件解决.

答案: ?1? x x ? 0 ; ? 2 ?? ??, 4 ?

?

?

? 3?? ?3, 3?

二、对数函数 y ? loga x ? a ? 0, 且a ? 1 的图象和性质 ?

? 根据讨论指数函数的性质的方法,我们应用同样的方

法来研究对数函数的图象特征和性质.用描点法画出函 数 y ? log 2 x和y ? log 1 x 2 的图象,并思考

(1)两者图象之间有什么关系? (2) y ? f ? x? 与y ? ? f ? x?的图象有什么关系?

y ? log2 x
y ? log 1 x
2

y
观察图象,找出各函数图象的共同特 征,分析其不同之处,并归纳其性质.

y ? log2 x
y ? log3 x
0 1 x

y ? log 1 x
3

y ? log 1 x
2

a >1 图

0< a < 1



0

?1,0?
x ?1

y ? loga x

? a ? 1?

x ?1
0

?1,0?
)

x ?1
y ? loga x ? 0 ? a ? 1?

?1? x ? ? 0, ??? , y ? R
(2) 当x=1时,y=0; (3)当x>1时,y>0, (3)当x>1时,y<0,

0< x <1时,y<0;
(4)在(0,+ )上是增函数 8

0< x <1时,y>0;
(4)在(0,+ )上是减函数 8

y
y ? log2 x
y ? log3 x
0 1

x
y ? log 1 x
3

x ?1

y ? log 1 x
2

?O<a<1 时a的值越大图象在 x ? 1 的 部分越远离 x 轴

? a>1 时a的值越大图象在 x ? 1 的
部分越靠近

x轴

例2 求下列函数的定义域
?1? y ? 3 ? 2? y ? ? 3? y
? log 2 x log 0.5 ? 4 x ? 3 ? log 3 ? 3 ? 4 x ?

? ? ? 4 ? y ? log 3 ? log 1 ? log 3 x ? ? 3 ? ?

分析:注意函数特点,应用 对数函数单调性解决. 1? ?3 ? ? 答案: ? ? ? .? 2? ? , 1? . ? 3? ? ??, ? . ?1?? 0, 2? ?4 ? ? ? 4 ??1, 3?

例3 比较下列各题中两个值的大小:

?1? log1.5 3.4, log1.5 8.5; ? 2 ? log 0.4 1.8, log 0.4 2.7; ? 3? log a 5.1, log a 5.9 ? a ? 0, a ? 1? ; ? 4 ? log 1 3, log 1 3; ? 5 ? log 2 3, log 5 3; ? 6 ? log 1 0.3, log 2 0.8, ? 7 ? log 3 5, log 2 11
3 2 5

分析:把握好对数函数的单调性以及底数对图象的影 响的结论是关键,还要注意中间量的选取.

?1? log1.5 3.4 ? log1.5 8.5; ? 2 ? log 0.4 1.8 ? log 0.4 2.7; ? 3? log a 5.1, log a 5.9 ? a ? 0, a ? 1?
a ? 1, log a 5.1 ? log a 5.9

? 4 ? log 1 3 ? log 1 3; ? 5 ? log 2 3 ? log 5 3; ? 6 ? log 1 0.3 ? log 2 0.8, ? 7 ? log 3 5 ? log 2 11
3 2 5

0 ? a ? 1, log a 5.1 ? log a 5.9

? 四、小结:

1.正确理解对数函数的定义; 2.掌握对数函数的图象和性质; 3.能利用对数函数的性质解决有关问题.

y
0 (1,0)

y =log

x a

( a>1)

y

x=1

(1,0)

x

0

x
y =log

x=1

(0< a<1)

x a

这节课我们从观察图象入手,运用自然语言 描述了函数的图象特征,最后抽象到运用数 学语言和符号刻画了相应的数量特征. 这是 一个循序渐进的过程,这也是数学学习和研 究中经常使用的方法, 课下同学们之间参考 下面流程图互相交流一下学习体会.
图象特征 数量特征 数学概念

数学性质

五、作业

? 1.课本82页第7题. ? 2.思考:对数函数的图象与指数函数的图象
之间有什么联系?

再见!

对数函数及其性质
(第二课时)

学习目标:
?1.熟记对数函数的性质. ?2.会应用对数函数的性质解决有关问题. ?3.知道指数函数与对数函数的关系,知道

反函数的概念.

y

y ? log2 x
y ? log3 x
0 1 x

y ? log 1 x
3

x ?1

y ? log 1 x
2

例1

已知下列不等式,比较正数

m, n的大小:

?1? log0.3 m ? log0.3 n. ? 2 ? log a m ? loga n.
分析:从对数函数的单调性入手.

例2 求下列两个函数的定义域、值域和单调区间:

?1? y ? log2 ? x ? 2x ? 3? ; 2 ? 2? y ? log0.1 ? 2x ? 5x ? 3? .
2
分析:关键是把握好复合函数单调性的判断.

例3 若实数 范围.

a

满足

2 log a ? 1 3

,求

a

的取值

分析:一是要把握住对数函数的单调性;
2 2 a ? 1时, loga <1=log a a,? a ? ,即a ? 1. 3 3 2 2 2 0 ? a ? 1时, loga <1=log a a ? a ? ,即0<a< . 3 3 3 ? 2? ? a ? ? 0, ? ?1, ?? ? . ? 3?

二是要注意分类讨论.

三、指数函数和对数函数的关系

? 在统一坐标系中作出下列函数的图象并思考它们之间
有什么关系? ? (1)

y ? 2 和y ? log2 x
x

? (2)

?1? y ? ? ? 和y ? log 1 x ?2? 2

x

通过观察可以知道底数相同的指数函数和 y?x 对数函数的图象关于直线 对称.

y? ?2 ?? x ? log2 y ??? y ? log2 x

x 用y表示x

x、y互换

x ? R, y ??0, ???

? y ? R, x ? 0, ??
?

?

? 一般的,函数 y ? f ? x ? 中 x 是自变量,y 是 x 的函数,设它的定义域为 A ,值域为 C. 在函数 y ? f ? x ? 中用y 把 x 表示出来,得 到 x ? ? ? y ? ,若对于 y 在 C 中的任何一个 值,在 A 中就有唯一的一个 与之对应,则 x 是自变量 y y 是自变量, x ? ? ? y ? 就表示 x 的函数,这样的函数 叫函数 y ? f ? x? x ? ? ? y? 的反函数,记做: ?1 x ? f ? y?
?1 y ? f 用常用形式表示(即互换),有: ? x?

( x ? C , y ? A)

试举几对互为反函数的例子: x

?1? ?1? y ? log 1 x, y ? ? ? ; ?2? 2

? 2 ? y ? log a x, y ? a

x

;

1 1 ? 3? y ? 2 x ? 1, y ? x ? . 2 2

四、小结:
1.掌握对数函数的图象和性质;
2.能利用对数函数的性质解决有关问题. 3. 了解指数函数与对数函数的图象的联系.
y =log x a x=1

( a>1)
(1,0) 0 (1,0) 0 y =log x=1 x a

(0< a<1)

作业:

? 1.课本83页第8、9题. ? 2.思考:指数函数与对数函数的联系说明了
什么? ? 3.预习:幂函数.

再见!


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