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湖南省衡阳八中2016届高三上学期第三次月考数学(理)试卷


衡阳市八中 2016 届第 3 次月考数学(理)试题
命题人 方岭生 审题人 蒋金元

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题题 5 分,满分 60,每小题只有一个正确答案)
? 1, 1, 3?, N= ??3, 0, 2, 4? ,则 M ? N = ( 1.已知集合 M= ??3,
A. ? B. ?? 3? C. ?? 3,3? ) .

D. ?? 3,?2,0,1,2?

2.复数 z 满足(1+i)z=2i,则复数 z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?log 3 x, x ? 0 1 f ( x) ? ? x f ( f ( )) 2 , x ? 0 ? 9 =( 3.已知函数 ,则 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 6 8
4.函数 f ( x ) ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间是(
x

).

) (D) ?1, 2 ? )

(A) ? -2,-1?

(B) ? -1,0 ?

(C) ? 0,1?

5.已知向量 m ? (a, ?2), n ? (1,1 ? a ) ,且 m // n ,则实数 a =( A.-1 B.2 或-1 C.2 D.-2

??

?

?? ?

6. ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? A. 30 ? B. 45 ? ) B. ?x ? R, tan x ? 0 D. ?x ? R, x ? 0
2

7, b ? 3, c ? 2, 则?A= (

) .

C. 60 ?

D. 90 ?

7.下列命题中的假命题是( A. ?x ? R, lg x ? 0 C. ?x ? R,2 ? 0
x

8.函数 f ( x) ? sin A. 3?

2 2 x ? cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为( 3 3 4 3 7 B. ? C. ? D. ? 3 2 6
3

) .

9.已知 f ( x) ? ax ? bx ? 1(ab ? 0) ,若 f (2016) ? k ,则 f (?2016) ? (

).

A. k B. ? k C. 1 ? k D. 2 ? k 10.等差数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。=12,那么错误!未找到引 用源。的前 7 项和错误!未找到引用源。=( ) A.22 B.24 C.26 D.28 11.若数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式分别是 a n ? (?1) n ? 2014 a ,bn ? 2 ?

(?1) n ? 2015 ,且 an ? bn n

对任意 n ? N ? 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A. ? -1, ?

? ?

1? 2?

B. ? -2, ?

? ?

1? 2?

C. ? -2, ?

? ?

3? 2?

D. ? -1, ?

? ?

3? 2?

12.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 在 O , A 点处取到极值,其中 O 是坐标原点, A 在
3 2

曲线 y ? x 2 sin x ? x cos x, x ? ? ( A. )

? ? 2? ? 上,则曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率的最大值是 , ?3 3 ? ?

3? 4

B.

3 2

C.

3 3? 3 ? 4 4

D.

3 3? 3 ? 4 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20)
13.已知向量 a ? 1, 3 ,向量 a, c 的夹角是 14 . 由 直 线 x ? ? ______________. 15.若

?

?

?

? ?

?
3

, a ? c ? 2 ,则 | c | 等于_______.

? ?

?

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与 曲 线 y ? cos x 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为
2 2 2

2x ? 3 y ? 4z ? 11

,则 x ? y ? z 的最小值为________.

16.若数列 {an } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 an ?T ? an 成立,则称数列

{an }

为周期数列,周期为 . 已知数列 满足 {an } a1 ? m (m ? 0) T 出以下命题: ①若 ②若 ,则 可以取 3 个不同的值

?an ? 1, an ? 1, ? an ?1 = ? 1 0 ? an ? 1. ?a , , 现给 ? n

a3 ? 4

m

m? 2
*

,则数列 {an } 是周期为 3 的数列

③ ?T ? N 且 T ? 2 ,存在 m ? 1 , {an } 是周期为 T 的数列 ④ ?m ? Q 且 m ? 2 ,数列 {an } 是周期数列.其中所有真命题的序号是 .

三、解答 题(本大题共 6 小题,满分 70 分,需写出必要的推理或计算过程)
17. (本小题满分 10 分) (1)证明不等式: a ? b ? 2(a ? b ? 1)
2 2

(2)a,b,c 为不全相等的正数,求证

a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c)
18.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos x ? sin x, 2sin x), b ? (cos x ? sin x, cos x) .令 f ( x) ? a ? b , (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? ?

?

?

? ?

? ? 3? ? 时,求 f ( x) 的最小值以及取得最小值时 x 的值. , ?4 4 ? ?

19. (本小题满分 12 分) 已知不等式 mx 2 ? 2 x ? m ? 1 ? 0 (1)若对于所有的实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足 ? 2 ? m ? 2 的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围 20. (本小题满分 10 分) 某 车 间 小 组 共 12 人 , 需 配 置 两 种 型 号 的 机 器 , A 型 机 器 需 2 人 操 作 , 每 天 耗 电

30 KW ? h, 能生产出价值 4 万元的产品 ; B 型机器需 3 人操作 , 每天耗电 20 KW ? h, 能生产
出价值 3 万元的产品现每天供应车间的电能不多于 130 KW ? h, 问该车间小组应如何配置 两种型号的机器 , 才能使每天的产值最大 ? 最大值是多少 ? 21. (本小题满分 12 分) 2 已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn=(an+1) . (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=

1 ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn a n a n ?1

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? x .
2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? ?

?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值; ?2 ?

(Ⅲ)若正实数 x1 , x2 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x12 ? x2 2 ? x1 x2 ? 0 ,证明 x1 ? x2 ?

?

?

5 ?1 2

参考答案
1.BABC 13.2 17.10 分 证 明 : BCDC 14. 3 DDCA 15.121/29

121 16.①②③ 29
(a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? 0

? a 2 ? b 2 ? (2a ? 2b ? 1)

=

? a 2 ? b 2 ? (2a ? 2b ? 1) ? 0
即 a 2 ? b 2 ? 2a ? 2b ? 1 (2)基本不等式略(没指出“=”不成立扣 18.12 分(1) ? ; (2)当 x ?

2 分)

5? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 . 8
.2 分 ...4 分

f ( x) ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? 2sin x ? cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x

? 2 sin(2 x ? ) 4
(1)由最小正周期公式得: T ? (2) x ? [

?

5分

2? ?? 2
3? 7? , ] 4 4

6分

? 3?
,

4 4 4 ? 3? 5? 令 2x ? ? ,则 x ? , .8 分 4 2 8 ? 5? 5? 3? 从而 f ( x) 在 [ , .10 分 ] 单调递减,在 [ , ] 单调递增 4 8 8 4 5? 即当 x ? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 12 分 8
考点: y ? A sin ?? x ? ? ? 的图象及性质. 19.12 分. (1)不存在这样的 m 使得不等式恒成立(2) {x (1)当 m ? 0 时, 1 ? 2 x ? 0 ,即当 x ?
2

] ,则 2 x ?

?

?[

7分

?1? 7 1? 3 ?x? } 2 2

1 时不等式不恒成立,不满足条件 2

当 m ? 0 时,设 f ( x) ? mx ? 2 x ? m ? 1 ,由于 f ( x) ? 0 恒成立,则有 解得 m ? ?

m?0 4 ? 4m(1 ? m) ? 0

综上所述,不存在这样的 m 使得不等式恒成立。 (2)由题意 ? 2 ? m ? 2 ,设 g ( x) ? ( x ? 1)m ? (1 ? 2 x) ,则有
2

g (?2) ? 0 g (2) ? 0



? 2 x 2 ?2 x ? 3 ? 0 2x ? 2x ? 1 ? 0
2

,解得

?1? 7 1? 3 ?x? 2 2

所以 x 的取值范围为 {x 20.10 分.

?1? 7 1? 3 ?x? } 2 2

先根据题意设需分配给车间小组 A 型、 B 型两种机器分别为 x 台、 y 台 , 则得到

? x ? 0, y ? 0, x, y ? N , ? 线性约束条件,然后作图, ?2 x ? 3 y ? 12, ?30 x ? 20 y ? 130, ?
平移法得到 z=4x+3y 过点 M(3,2)时取最大值 18 答 A 型号机器 3 台,B 型号机器机器 2 台每天产值最大,最大值为 18 万元

(注:没作答扣 2 分,没作图扣扣 4 分,作图不准扣 2 分)
21. a n ? 2n ? 1 ; (2) Tn ?

1 1 . ? 2 2?2n ? 1?
2

试题解析: (1)因为(an+1) =4Sn, 所以 Sn=

?a n ? 1?2 ,S
4

n+1



?a n?1 ? 1?2
4



所以 Sn+1-Sn=an+1

2 2 ? a n ?1 ? 1? - ?a n ? 1? = ,

4

即 4an+1= a 2 n ?1 ? a 2 n +2an+1-2an, ∴2(an+1+an)=(an+1+an) (an+1-an) . (4 分) 因为 an+1+an≠0, 所以 an+1-an=2, 即{an}为公差等于 2 的等差数列. 2 由(a1+1) =4a1,解得 a1=1, 所以 an=2n-1. (6 分) (2)由(1)知 bn= ∴Tn=b1+b2+?+bn

1 1? 1 1 ? ? ? ? ?, ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?



1? 1 1 1 1 1 ? ? ?1 - ? - ? ...... ? ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? ?1 ? 2 ? 2n ? 1 ?





1 1 2 2?2n ? 1?

22.14 分(1) (1, ??) ; (2)2; (3)证明详见解析.

f ?( x) ?
(Ⅰ)

1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ( x ? 0) x x ,

2 ? 由 f ( x) ? 0 ,得 2 x ? x ? 1 ? 0 ,

又 x ? 0 ,所以 x ? 1 .所以 f ( x) 的单调减区间为 (1, ??) .

4分

a 1 g ( x ) ? f ( x ) ? [( ? 1) x 2 ? ax ? 1] ? ln x ? ax 2 ? (1 ? a ) x ? 1 2 2 (Ⅱ)令 ,

g ?( x) ?
所以

1 ?ax 2 ? (1 ? a ) x ? 1 ? ax ? (1 ? a ) ? x x .

? 当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 .
所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数,

1 3 g (1) ? ln1 ? a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 2 2 又因为 ,
a ( ? 1) x 2 ? ax ? 1 f ( x ) 所以关于 x 的不等式 ≤ 2 不能恒成立.

6分

?ax 2 ? (1 ? a ) x ? 1 g ?( x) ? ?? x 当 a ? 0 时,

1 a ( x ? )( x ? 1) a x ,

? 令 g ( x) ? 0 ,得

x?

1 a.

1 1 x ? (0, ) x ? ( , ??) ? ? a 时, g ( x) ? 0 ;当 a 所以当 时, g ( x) ? 0 ,

1 1 x ? (0, ) x ? ( , ??) a 是增函数,在 a 因此函数 g ( x) 在 是减函数.
故 函 数 g ( x) 的 最 大 值 为 8分

1 1 1 1 1 1 g ( ) ? ln ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a a a 2 a a 2a .

h( a ) ?


1 ? ln a 2a , 1 1 ? 0 h(2) ? ? ln 2 ? 0 2 4 , ,又因为 h(a ) 在 a ? (0, ??) 是减函数.

h(1) ?
因为

所以当 a ≥ 2 时, h(a ) ? 0 . 所以整数 a 的最小值为 2. ( Ⅲ ) 由 10 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2( x12 ? x2 2 ) ? x1 x2 ? 0





ln x1 ? x12 ? x1 ? ln x2 ? x2 2 ? x2 ? x1 x2 ? 0 ,
从而

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 )

t ?1 ? ?(t ) ? t ? x ? x ? ( t ) ? t ? ln t 1 2 ,则由 t , 令 得,
可知, ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增. 所以 ? (t ) ≥ ? (1) ? 1 , 所以

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) ≥ 1 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,
5 ?1 成立. 2
14 分

因此 x1 ? x2 ?


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