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第一章 第五讲 1.2.1 函数的概念


1.2 函数及其表示
1.2.1 课前自主预习 温故知新 1.在初中,同学们已经学习了变量与函数的概念:在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,如果给 定了一个 x 值,相应地就确定唯一的一个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因 变量. 新课引入 某人到一个水果店去买西瓜,价格表上写的是:6 斤以下,每斤 0.4 元,6 斤以上 9 斤以下,每 斤 0.5 元;9 斤以上,每斤 0.6 元.此人挑了一个西瓜,称重后店主说 5 元 1 角,1 角就不要了,给 5 元吧.可这位聪明的顾客马上说,你不仅没少要,反而多收了我的钱.当顾客讲出理由,店主只好承 认了错误,照实收了钱.同学们,你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗? [答案] 如果西瓜不超过 9 斤,则价钱不会超过 0.5×9=4.5(元);如果西瓜超过 9 斤,则价钱不 函数的概念

会低于 0.6×9=5.4(元),不会出现 5 元 1 角的情况.故该顾客认定店主骗人. 2.在初中我们还学习了几个特殊的函数;一次函数 ,二次函数 数 自主预习 1.设在一个变化过程中有两个变量 x,y,如果对于 x 的每一个值,y 都有 对应,那么就说 y 是 x 的函数,x 叫做自变量. 2.我们已经学习了正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数等具体的函数. 思考:(1)y=1(x∈R)是函数吗? x2 (2)y=x 与 y= x 是同一个函数吗? [答案] (1)是 (2)不是 3.下面我们用集合与对应的观点来研究函数,先阅读教材 P15~P16,再回答问题. 设 A、B 是 在集合 B 中都有 确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数.记作 中 x 叫做 叫做函数的值域. 4.对函数 y=f(x)涵义的理解,应明确以下几点: ①“A,B 是非空数集”,若求得自变量取值范围为?,则此函数不存在. ②定义域、对应法则和值域是函数的三要素,实际上,值域是由定义域和对应法则决定的,所以 , 叫做函数的定义域,与 x 的值相对应的 y 值叫做 ,其 ,函数值的集合 ,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 , 确定的值与它 ,正比例函数 和反比例函

,并且知道了它们的图象和性质.(在练习本上画出它们的图象,写出它的性质)

看两个函数是否相等,只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同. ④函数符号“y=f(x)”是“y 是 x 的函数”的数学表示,仅仅是函数符号,不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积”,f(x)也不一定是解析式.符号 f(a)与 f(x)既有区别又有联系,f(a)表示当自变量 x=a 时 函数 f(x)的值,而 f(x)是自变量 x 的函数.一般情况下,f(x)是一个变量,f(a)是 f(x)的一个特殊值. ③y=f(x)中 f 为对应法则,当情况比较简单时,对应法则 f 可用一个解析式来表示.但在有些问 题中,对应法则 f 也可能不便用或不能用一个解析式来表示,这时就必须采用其他方式,如数表或图 象等. (4)要使函数 y= 2x-1有意义,应有__________,∴此函数的定义域为________. (5)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义; 一种练习本的单价为 0.6 元,买本子的个数 x 与应付钱数 y 之间的函数关系为________,其中 x 的允许取值范围是________. 4ac-b2 4a }

[ 答案 ]

(1)R

R

(2){x ∈ R|x≠0} 1 {x|x≥2}

{y ∈ R|y≠0} (5)y=0.6x

(3)R

a>0 时, {y|y≥

a<0 时,

4ac-b2 {y|y≤ 4a }

(4)2x-1≥0

x∈N*

通过以上所学,完成下列练习. (1)一次函数 y=kx+b(k≠0)的定义域为________;值域为________. k (2)反比例函数 y=x(k≠0)的定义域为________;值域为________. (3)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为________;值域为__________________. (2)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个集合,其结 果必须用集合或区间来表示. 5.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么就称这两个函数相等. (1)只要两个函数的定义域相同,对应法则相同,其值域就 时,一看定义域,二看对应法则. x 如 y=1 与 y=x不是相等函数,因为 6.阅读教材 P17 填表. 区间 [a,b] (a,b) 不等式 a≤x≤b 数轴表示 y=3t+4 与 y=3x+4 是相等函数. 故判断两个函数是否相等

[a,b)

a≤x<b a<x≤b

(-∞,b) x>a -∞<x<+∞ 数轴上的所有点

区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合,如{x|a<x≤b}=(a,b], {x|x≤b}=(-∞,b]. 一、函数概念的理解 学法指导:判断一个对应关系是否是函数,要从以下三个方面去判断:(1)A、B 必须是非空数集; (2)A 中任一个元素在 B 中必须有元素与其对应;(3)A 中任一元素在 B 中必须有唯一元素与其对应. [例 1] 下列对应是否为 A 到 B 的函数:

(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2; (3)A=Z,B=Z,f:x→y= x; (4)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0. [分析] 解答本题要充分利用函数的定义: 对于集合 A 中的元素通过对应关系在集合 B 中有唯一

元素与之对应. [解析] (1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素,故不是 A 到 B 的函数; (2)对于集合 A 中的任意一个整数 x,按照对应关系 f:x→y=x2,在集合 B 中都有唯一一 个确定的整数 x2 与之对应,故是集合 A 到集合 B 的函数; (3)A 中元素负整数没有平方根, 故在 B 中没有对应的元素, 故此对应不是 A 到 B 的函数; (4)对于集合 A 中一个实数 x,按照对应关系 f:x→y=0,在集合 B 中都有唯一一个确定 的数 0 与之对应故是集合 A 到集合 B 的函数. 在下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中不可以确定 y 是 x 的函数的是( x ①A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应法则 f:x→y=3; ②A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应法则 f:x→y2=3x; ③A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应法则 f:x→y:x2+y2=25; ④A=R,B=R,对应法则 f:x→y=x2; ⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应法则 f:(x,y)→S=x+y; )

⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应法则 f:x→y=0. A.①⑤⑥ C.②③④ B.②④⑤⑥ D.①②③⑤

如图中,哪些是以 x 为自变量的函数的图象,为什么?

二、相等函数的判断 学法指导:确定两个函数是否相等,要紧紧抓住函数的定义域和对应法则.根据函数的定义可知,定 义域中的每一个 x 都有唯一的 y 与它对应,所以值域实际上是由定义域和对应法则确定,因此,两个 函数只要定义域和对应法则分别相同,它们就是相等函数. [分析] 解决此类问题,要充分理解相等函数的概念,准确求出函数的定义域,认准对应关系,按判 断相等函数的步骤求解. [例 2] 下列各对函数中,是相等函数的序号是________. ①f(x)=x+1 与 g(x)=x+x0 ②f(x)= ?2x+1?2与 g(x)=|2x+1| ③f(n)=2n+1(n∈Z)与 g(n)=2n-1(n∈Z) ④f(x)=3x+2 与 g(t)=3t+2 [解析] ①中 f(x)=x+1,x∈R,而 y=x+x0 中 x≠0,它们的定义域不相同,所以不是相等函数.

②中两个函数的定义域都是 R,并且 f(x)= ?2x+1?2=|2x+1|,所以它们是相等函数. ③中 f(n)=2n+1(n∈Z)与 g(n)=2n-1(n∈Z)的定义域都是 Z,值域也相同(都是奇数集),但对应 法则不同,所以不是相等函数. ④中 f(x)=3x+2 与 g(t)=3t+2 的定义域都是 R,尽管它们表示自变量的字母不同,但是,对应 法则都是“乘 3 加 2”,是相同的对应法则,所以是相等函数. 规律总结:从函数的概念可知,函数有定义域、值域、对应法则三要素,其中,定义域是前提, 对应法则是核心,值域是由定义域和对应法则确定的.因此, (1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同,它们就不是同一个函数.只有当定义域和对应法则都 相同时它们才是相等函数. (2)对应法则 f 是函数关系的本质特征, 要深刻理解, 准确把握, 它的核心是“法则”. 通俗地说, 就是给出了一个自变量后的一种“算法”,至于这个自变量是用 x 还是用 t 或者别的符号表示,那不 是“法则”的本质,因此,对应法则与自变量所用的符号无关. (3)从本题我们也得到这样的启示:在对函数关系变形或化简时,一定要注意使函数的定义域保持不 变, 否则, 就变成了不同的函数. 这也正说明了函数的定义域是函数不可忽视的一个重要组成部分. 例 2 2 2 如 f(x)=x -x (x≥1),f(3)=3 -3=6,但 f(-1)是无意义的,不能得出 f(-1)=(-1) -(-1)=2,

因为只有当 x 取定义域[1,+∞)内的值时,才能按这个法则 x2-x 进行计算.

下列各组式子是否表示相等函数?为什么? (1)f(x)=|x|,φ(t)= t2; (2)y= x2,y=( x)2; (3)y= x+1· x-1,y= x2-1; (4)y= 1+x· 1-x,y= 1-x2. 三、求函数的定义域 学法指导:求函数的定义域: (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么, 函数有意义的准则一般有: ①公式的分母不为 0; ②偶次根式的被开方数非负;③y=x0 要求 x≠0. (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子 都有意义的公共部分的集合. (3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用 “或”连接,而应该 用并集符号“∪”连接. [例 3] 求下列函数的定义域: 1 ; x+1 x+1 . x2-1

(1)y=2x+3;(2)f(x)=

(3)y= x-1+ 1-x;(4)y= [分析]

求函数的定义域,即是求使函数有意义的那些自变量 x 的取值集合. x+1 有意义,所以原函数的定义域是{x|x≠± 1,x∈R}. x2-1 x+1 1 = ,使 2 x -1 x-1

(4)因为当 x2-1≠0,即 x≠± 1 时,

[易错警示]

求函数的定义域时,不能对解析式变形.题(4)易出现这样的错误:y=

得函数有意义的 x 满足 x-1≠0,即 x≠1,故函数的定义域为{x|x≠1,x∈R}. [解析] (1)函数 y=2x+3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义,即分式有意义,则 x+1≠0,x≠-1.故函数的定义域为{x|x≠-1}. ?x-1≥0 ?x≥1 (3)要使函数有意义,则? ,即? ,所以 x=1,从而函数的定义域为{x|x=1}. ?1-x≥0 ?x≤1

求下列函数的定义域: (1)f(x)= 1 ; x+2

(2)f(x)= 3x+2; (3)f(x)= x+1+ 1 . 3-x

四、区间 学法指导:对于区间的理解应注意: (1)区间的左端点必须小于右端点,有时我们将 b-a 称之为区间长度,对于只有一个元素的集合 我们仍然用集合来表示,如{a}. (2)注意开区间(a,b)与点(a,b)在具体情景中的区别. 若表示点(a,b)的集合,应为{(a,b)}. (3)用数轴来表示区间时,要特别注意实心点与空心圈的区别. (4)对于一个不等式的解集,我们既可以用集合形式来表示,也可以用区间形式来表示. (5)区间是实数集的另一种表示方法,要注意区间表示实数集的几条原则,数集是连续的,左小, 右大,开或闭不能混淆. [解析] (1){x|5≤x<6}=[5,6).

(2){x|x≥9}=[9,+∞). (3){x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}={x|-5≤x≤-1}=[-5,-1]. (4){x|x<-9}∪{x|9<x<20}=(-∞,-9)∪(9,20).

把下列实数集转化为用区间表示的形式. (1){x|-1≤x≤2}; (2){x|0<x≤10}; (3){x|-1≤x≤5}; (4){x|x≥-3}; [例 4] 试用区间表示下列实数集:

(1){x|5≤x<6}; (2){x|x≥9}; (3){x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}; (4){x|x<-9}∪{x|9<x<20}. [分析] [解析] 注意区间的开与闭,能取端点值时为闭,不能取端点值时为开. (1){x|-1≤x≤2}=[-1,2].

(2){x|0<x≤10}=(0,10]. (3){x|-1≤x≤5}=[-1,5]. (4){x|x≥-3}=[-3,+∞). (5){x|x≤9}=(-∞,9].

(6){x|x≥2}∪{x|x<0}=(-∞,0)∪[2,+∞). (7){x|-1<x≤5}∩{x|-1≤x<5}=(-1,5). 五、据解析式求函数值 [例 5] (2011-2012 学年郑州一中高一月考)

x2 已知 f(x)= ,x∈R. 1+x2 1 (1)计算 f(a)+f(a)的值; 1 1 1 (2)计算 f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+f(4)+f(4)的值. [分析] 1 1 1 (1)将函数的自变量代入计算即可,(2)可以分别将 f(1),f(2),f(2),f(3),f(3),f(4),f(4)

的函数值算出再相加,也可以根据待求式中数据的特征,结合(1)中所得结果求解. [解析] (1)由于 f(a)= a2 1 1 1 2,f( )= 2,所以 f(a)+f( )=1. a 1+a a 1+a
2 2

1 1 ?2?2 ?3?2 2 1 1 2 4 1 1 3 9 1 (2)方法一: 因为 f(1)= f (2) = f ( ) = = , f (3) = f ( )= 2= , 2= , 2= , 12 5 1 1+1 2 1+2 5 2 1+3 10 3 1+?2? 1+?3?2 1 =10,f(4)= 1 ?4?2 4 16 1 1 1 1 1 1 4 1 9 1 16 = ,f(4)= 1 2=17,所以 f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+f(4)+f(4)=2+5+5+10+10+17+ 1+42 17 1+?4?
2

1 7 17=2. 1 1 1 1 1 1 方法二:因为 f(a)+f(a)=1,从而 f(2)+f(2)=f(3)+f(3)=f(4)+f(4)=1,即[f(2)+f(2)]+[f(3)+f(3)] 1 1 1 1 1 7 +[f(4)+f(4)]=3,而 f(1)=2,所以 f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+f(4)+f(4)=2. [点评] 1 1 方法二相比方法一的求解更为简捷,关键在于发现 x× x=1 这一特征,并利用 f(a)+f(a)

=1 求解,要注意体会从一般到特殊的思维方式. 规律总结:此类求值问题,一般要求的式子较多,不能逐个求解,求解时,注意观察所要求的式 子,发掘它们之间的关联,进而去验证,从而得到问题的解决方法.

x2-1 f?2? f?10? 已知函数 f(x)= 2 ,则 f(1)+ 1 +?+ 1 =____-9____ x +1 f?2? f?10?

名师辩误做答 1.判别函数是否相等时,只注意对应关系,忽视定义域 [例 6] [错解] 函数 f(x)= x-2· x+2与 g(x)= x2-4是否表示同一函数?

由题意,得 f(x)= x+2· x-2= x2-4=g(x),∴f(x)与 g(x)是同一函数. 该解法中只注意到对应法则可化为相同,而忽视了定义域.在变形过程中,f(x)的定

[错因分析]

义域发生了变化,在 f(x)= x-2· x+2中,f(x)的定义域是{x|x≥2},变形为 x2-4时,定义域扩大 为{x|x≥2 或 x≤-2}. [思路分析] 要解决这类问题, 首先要判断两个函数的定义域是否相同, 在定义域相同的条件下,

再看表达式能否化为相同.如果这两者都满足,那么就是两个相等的函数,只要有一个不相同,就是 两个不同的函数. [正解] 或 x≤-2}. ∵两个函数的定义域互不相同,∴f(x)与 g(x)是两个不相等的函数. 2.忽视区间中的隐含条件 [例 7] [错解] 集合 B={x|m-1≤x≤2m}可以用区间 A[m-1,2m]表示吗? 由区间的定义,可知 B=A,即两集合表示的是同一意义. 该解法中忽视了区间[a,b]中的隐含条件 a<b.因此区间 A 中有 2m>m-1,即 m>-1 由题意,得 f(x)= x-2· x+2的定义域是{x|x≥2},而 g(x)= x2-4的定义域为{x|x≥2

[错因分析]

这个隐含条件;而集合 B={x|m-1≤x≤2m}中的 m 没有这个隐含条件. [思路分析] 用区间表示含字母的集合时,字母就有了隐含条件,但用集合表示时,却没有这个

限制.因此在面对 B={x|m-1≤x≤2m}这样的集合时,就要注意讨论 m 的范围,B 可能为空集或只 有一个元素的集合. [正解] 当 m>-1 时,A=B,但 m≤-1 时集合 B 不能用区间 A 表示.

基础巩固训练 2.下列对应: 2 ①x→x ,x≠0,x∈R; ②x→y,这里 y2=x,x∈N,y∈R; ③A={(x,y)|x,y∈R},B=R,对任意的(x,y)∈A,(x,y)→x+y. 能成为函数的有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

3.设函数 f(x)=3x2-1,则 f(a)-f(-a)的值是( A.0 C.6a2-2 B.3a2-1 D.6a2

)

4.(河南南阳一中 2012~2013 高一月考试题)y= 1-x+ x的定义域为( A.{x|x≤1} C.{x|x≥1 或 x≤0} B.{x|x≥0} D.{x|0≤x≤1}

)

6.(2012· 高考数学理科试题安徽卷)下列函数中,不满足:f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 7.已知函数 f(x)= 1 ,g(x)=x2+2. 1+x B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

)

(1)求 f(2),g(a-1)的值; (2)求 f(g(2)),g(f(2))的值. 8.求下列函数的定义域,并用区间表示结果. (1)y=2+ 3 ; x-2

(2)y= 3-x· x-1; (3)y=(x-1)0+ 2 . x+1


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