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2019精选教育1.1.2 集合间的基本关系.ppt_图文

1.1.2 集合间的基本关系

课标要求:1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集, 真子集,并能判断给定集合的关系.3.在具体情境中,了解空集的含义并会 应用.

自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】
导入一 已知任意两个实数a,b,则它们的大小关系可能是a<b或a=b或a>b,那么对 任意的两个集合A,B,它们之间有什么关系?今天我们就来研究这个问题. 导入二 问题1:已知集合A和元素a,那么a与A之间是怎样的关系?如何表示? 答案:a与A之间的关系是元素与集合之间的关系只有两种,可表示为a∈A,或a?A. 问题2:若a∈A,b∈A,则集合{a,b}与集合A之间的关系能否用“∈”表示?应如何表 示? 答案:{a,b}与A之间的关系是两个集合之间的关系,不能用“∈”来表示,而应利用 两集合之间的关系符号表示.

知识探究

1.Venn图 在数学中,经常用平面上 封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. 2.子集

文字语言

符号语言

图形语言

对于两个集合A,B,如果集合A 中 任意一个 元素都是集合
B中的元素,我们就说这两个 集合有 包含 关系,称集合A为
集合B的子集

对任意元素x∈A,必 有x∈B,则A?B(或 B?A),读作“A含于 B”或“B包含A”

由子集定义可知①A?A;②如果A?B且B?C那么A?C.

探究1:符号“∈”与“?”有何区别?

答案:“?”只用于集合与集合之间,如{0}?N.而不能写成{0}∈N,“∈”只

能用于元素与集合之间.如0∈N,而不能写成0?N.

3.集合相等 如果集合A是集合B的 子集 (A?B),且集合B是集合A的 子集 (B?A),此时,

集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B. 4.真子集

文字语言 如果集合 A 是集合 B 的子集,且
在集合 B 中 至少存在一个元
素不是集合 A 的元素,我们称集 合 A 是集合 B 的真子集

符号语言 若集合 A? B,但存在 x∈B,且 x?A, 则 A B(或 B A)(读作“A 真 包含于 B”或“B 真包含 A”)

图形语言

5.空集

(1)定义:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作 ? .

(2)规定:空集是任何集合的 子集 ,即 ? ? A,空集是任何 非空集合 的真 子集,即 ? A(A≠ ? ).

探究 2:(1) ? 与 0,{0},{ ? }有何区别?
答案:

相同点 不同点
关系

?与 0 都表示 无的意思
? 是集合; 0 是实数
0? ?

? 与{0} 都是集合
? 不含任何元素; {0}含一个元素 0
? {0}

? 与{ ? }
都是集合
? 不含任何元素; { ? }含一个元素, 该元素是空集 ?
? {?} 或 ? ∈{ ? }

(2)两个集合之间的关系有哪几种?

?

答案:已知两集合

M

,N,则它们的关系为:

?M ?

?

N

?M ??M

?N

N

??M ? N

自我检测

1.(子集)若集合M={x∈Z|-1≤x≤1},P={y|y=x2,x∈M},则集合M与P的关系 是( C )

(A)M=P

(B)M P

(C)P M

(D)M∈P

2.(集合相等)下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是( D )

(A)M={3,6},N={(3,6)}

(B)M={π },N={3.141 592 6}

(C)M={x|1<x<3,x∈R},N={2}

(D)M={1, 5 ,π },N={1,π ,|- 5 |}

3.(空集)下列四个集合中,空集是( A )

(A){x∈R|x2+2=0} (B){0} (C){x|x>8 或 x<4} (D){ ? }

4.(子集)已知M={x|x>2},N={x|x>a},若M?N,则a的取值范围是

.

答案:{a|a≤2}

5.(真子集)集合M={x|x<3且x∈N*}的真子集个数为

.

答案:3

课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 子集的确定问题 【例1】 已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5},写出集合M所有可能情况.
解:因为{1,2}?M,所以1∈M,2∈M, 又因为M?{1,2,3,4,5}, 所以M是含有1,2的{1,2,3,4,5}的子集, 故M的所有可能情况是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4}, {1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共8个.

题后反思 写集合的子集时,要依据集合中元素的个数进行分类讨论,避免 漏解或增解.如该题中,由已知M中必含1,2这两个元素,所以该题可转化为3, 4,5这三个元素的选取问题,可选0个,1个,2个,3个共4种情况,然后逐个写出 即可.

即时训练1-1:求满足{x|x2+3=0,x∈R} M?{x|x2-4=0,x∈R}的集合M的个数.
解:因为{x|x2+3=0,x∈R}= ? ,{x|x2-4=0,x∈R}={2,-2}, 根据题意,有 ? M? {2,-2}, 因此,M 可以是{2},{-2},{2,-2}. 故满足题意的集合 M 共有 3 个.

【备用例1】 (2017·普宁市高一期末)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},

若集合A有且仅有2个子集,则a的取值是( )

(A)1

(B)-1

(C)0,1

(D)-1,0,1

解析:由题意可得,集合 A 为单元素集, (1)当 a=0 时,A={x|2x=0}={0},此时集合 A 的两个子集是{0}, ? .
(2)当 a≠0 时,则Δ=4-4a2=0,解得 a=±1, 当 a=1 时,集合 A 的两个子集是{-1}, ? , 当 a=-1 时,集合 A 的两个子集是{1}, ? . 综上所述,a 的取值为 0,-1,1.故选 D.

题型二 集合间关系的判断
【例2】 判断下列集合之间的关系 (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z}.
解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故 A B. (3)集合 B={x|x<5},用数轴表示集合 A,B 如图所示,由图可知 A B.
(4)当 k,n 取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…}. B={…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…}.故 A B.

题后反思 判断两个集合间的关系时,主要是根据这两个集合中元素的 特征,结合有关定义来判断.对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素 即可知道它们之间的关系;对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特 征来分析;而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地 进行判断,但要注意端点值的取舍.

即时训练2-1:判断下列每组中两个集合的关系: (1)A={x|-3≤x<5},B={x|-1<x<2};
(2)A={x|x=k+ 1 ,k∈Z},B={x|x=2k+ 1 ,k∈Z};
(3)A={x|x=22n-1,n∈N*},B={x|x2 =2n+1,n∈N*}.
解:(1)将两个集合在数轴上表示出来,如图所示,显然有 B A. (2)在集合 A 中,x=k+ 1 = 2k ? 1 ,k∈Z.
22 当 k∈Z 时,2k+1 是奇数,所以集合 A 中的元素是所有的奇数除以 2 所得的数.
在集合 B 中,x=2k+ 1 = 4k ? 1 ,k∈Z.当 k∈Z 时,4k+1 只表示了部分奇数.故 B A. 22
(3)当 n∈N*时,由 x=2n-1 知 x=1,3,5,7,9,…. 由 x=2n+1 知 x=3,5,7,9,….故 A={1,3,5,7,9,…},B={3,5,7,9,…},因此 B A.

【备用例2】 用适当的符号填空:

(1)2

{x|x2=2x},

(2){3,4,8}

Z;

(3)1

{x|x2=x};

(4) ?

{x|x2-1=0}.

解析:(1)2∈{x|x2=2x}={0,2}; (2){3,4,8}?Z; (3)1∈{x|x2=x}={0,1};
(4) ? {x|x2-1=0}={1,-1}.
答案:(1)∈ (2)? (3)∈ (4)

题型三 集合相等
【例3】 已知集合M中含有三个元素2,a,b,集合N中含有三个元素2a,2,b2,且M=N,求 a,b的值.

规范解答:法一 根据集合中元素的互异性,当 M=N 时,



??a ? ??b

? ?

2a, b2



??a ? ??b

? ?

b2, 2a

…………………

……………2





??a ? ??b

? ?

2a, b2,

解得

?a ??b

? ?

0, 1



?a ??b

? ?

0, 0

(舍去).

…………5





??a ? ??b

? ?

b2, 2a

解得

???a ? ???b

? ?

1 4 1 2

,



?a ??b

? ?

0, 0

(舍去)… ………8





?a ??b

? 0, ?1



???a ? ???b

? ?

1 4 1 2

, .

…………………

……………10



法二 因为两个集合相等,则其中的对应元素相同.

所以

??a ? ??a

? b ? 2a ? b ? 2a ?

?b b2,

2

,



??a ?

? ??ab

?

b?b ? 2b

? ?

1? 1?

? ?

0, 0,

① ②

………………

………………2



因为集合中的元素互异,所以 a,b 不能同时为零.

当 b≠0 时,由②得 a=0,或 b= 1 .…………………………………………6 分 2
当 a=0 时,由①得 b=1,或 b=0(舍去).

当 b= 1 时,由①得 a= 1 .……………………………………………………8 分

2

4



b=0

时,a=0

(舍去).所以

?a ??b

? ?

0, 1



???a ? ???b

? ?

1 4 1 2

, .

……………………………

…10



方法技巧 (1)求解含参数的集合相等问题,要注意验证所求参数是否 满足集合中元素的互异性. (2)本题中的解法二利用了两集合相等的性质,即两集合相等时,两集合 中所有元素的积相等,两集合中所有元素的和相等.

即时训练3-1:已知A={1,1+d,1+2d},B={1,q,q2},当A=B时,求d,q的值.

解:由集合互异性可知 d≠0,q≠1,-1,0,由 A=B 可推得,



??1 ? ? ??1 ?

d ? q, 2d ? q2

或②

??1 ? ? ??1 ?

d ? q2, 2d ? q.

由①得 1-q=-d,1-q2=-2d,

相除得 1+q=2,得 q=1,不合题意; 由②得(2q+1) (q-1)=0,

因为 q≠1,所以 q=- 1 ,代入得 d=- 3 .

2

4

所以 d 值为- 3 ,q 值为- 1 .

4

2

题型四 根据集合的包含关系求参数范围 【例4】 已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求实数a的 取值范围.
解:(1)当 B= ? 时,2a>a+3,即 a>3.显然满足题意. (2)当 B≠ ? 时,根据题意作出如图所示的数轴,

可得

?a ??a

? ?

3 3

? ?

2a, ?1



?a ? 3 ??2a ?

? 4,

2a,

解得 a<-4 或 2<a≤3.

综上可得,实数 a 的取值范围为{a|a<-4,或 a>2}.

变式探究:本题若将A变为A={x|x≤-1或x≥4},B不变,当B?A,求a的范围.
解:当 B= ? 时,2a>a+3,即 a>3,满足题意. 当 B≠ ? 时,根据题意作出如图所示的数轴.

可得

?a ??a

? ?

3 3

? ?

2a, ?1



?a ? 3 ? ??2a ? 4.

2a,

解之得 a≤-4 或 2≤a≤3.

综上可得,实数 a 的取值范围是{a|a≤-4 或 a≥2}.

方法技巧 已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素, 对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解. 一般地,(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程 (组)求解,此时注意集合中元素的互异性;(2)若集合表示的是不等式的 解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.

即时训练4-1:若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},且B?A,求实数a的 取值范围.
解:A={-3,2}.对于 x2+x+a=0,

(1)当Δ=1-4a<0,即 a> 1 时,B= ? ,B? A 成立; 4

(2)当Δ=1-4a=0,即 a= 1 时,B={- 1 },B? A 不成立;

4

2

(3)当Δ=1-4a>0,即 a< 1 时,若 B? A 成立, 4

则 B={-3,2},

所以 a=-3×2=-6.

综上,a 的取值范围为{a|a> 1 或 a=-6}. 4