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【志鸿优化设计】(教师用书)2015高考数学(文)二轮总复习专题5 函数与方程及函数的应用_图文

专题5 函数与方程及函数的应用

第二部分
能力目标解读 热点考题诠释

专题5 函数与方程及函数的应用 -2-

本部分主要考查函数的零点、方程的根、实际应用中常见函数模型等 知识. (1)对于函数的零点、方程的根,在高考中既会出现在选择题、填空题 中,也会在解答题中出现,客观题型中考查形式主要有以下几种:①找零点的 个数,②判断零点的范围,③根据零点的情况求参数;在解答题中考查较为综 合,在考查方程的根、函数的零点的基础上,又注重考查函数与方程、等价 化归、分类讨论及数形结合等数学思想方法,此类题目综合性较强. (2)对于函数实际应用问题的考查,多以实际生活、常见的自然现象为 背景,较新颖、灵活,解决此类问题所涉及的数学知识范围较广,但抽象出来 的数学模型一定是我们高中学习过的数学知识及其思想方法,解决实际应 用题的关键是对于数学问题的抽象及结论的回归.

第二部分
能力目标解读 热点考题诠释

专题5 函数与方程及函数的应用 3 -3-

(3)预测 2015 年的高考,在零点方面,重点考查函数零点、方程的根和 两函数图象交点之间的等价转化,运用导数来研究函数零点是后面所研究 的;对于实际应用题仍将凸显实际背景的常规化,重点考查学生处理问题的 能力,最后的归宿是二次函数、分段函数、指数函数、对数函数、幂函数 或结合情境本身构造的函数等数学问题.

第二部分
能力目标解读 热点考题诠释

专题5 函数与方程及函数的应用 4 -41 2 3 4
6

1.(2014 北京高考,文 6)已知函数 f(x)= -log2x.在下列区间中,包含 f(x)零 点的区间是( A.(0,1) C.(2,4) 及推理论证能力.
关闭

) B.(1,2) D.(4,+∞)

命题定位:本题主要考查对数、零点的存在性定理,考查基本运算能力

由题意知 f(1)= -log21=6>0,f(2)= -log22=3-1=2>0, f(4)= -log24= -2=- <0.故 f(2)· f(4)<0.
C

由零点存在性定理可知,包含 f(x)零点的区间为(2,4).
解析

6 4

3 2

6 1

1 2

6 2

关闭

答案

第二部分
能力目标解读 热点考题诠释

专题5 函数与方程及函数的应用 -51 2 3 4

2.(2014 陕西高考,文 10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与 两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分, 则该函数的解析式为( )

关闭

由已知图形,可知该三次函数有 0 和 2 两个零点,因此可设其解析式 为 y=ax(x-2)(x+m). 因为 y=ax(x-2)(x+m)=ax3+amx2-2ax2-2amx, 所以 y'=3ax2+2amx-4ax-2am. 1 1 1y= 1 又因为直线 和 3 x分别是该三次函数图象在点 (0,0)和(2,0) A. y= x3- x2-x y=-x B.y= x3+ x26 -3 x 2 2 2 2 处的切线 , 由导数的几何意义知 1 3 1 3 1 2 y'|x=0=-1,y'|x=2=3,于是有 1 C.y= x -x = -1, D.y= x + x -2x -4 2 4 2 = , 解得 2 所以所求三次函数的解析式为 命题定位 本题主要考查函数零点应用、三次函数、导数及导数的几 12 + 4-:8 -2 = 3, = 1. 关闭 1 1 3 2 何意义等知识 ,对运算求解能力、应用意识有一定要求 . y= x x -x. 故选 A. A
2 2

解析

答案

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能力目标解读 热点考题诠释

专题5 函数与方程及函数的应用 -61 2 3 4
关闭

分别作出函数 y=f(x)与 y=a|x|的图象,| 2 + 5x + 4|,x ≤ 0, 3.(2014 天津高考,文 14)已知函数 f(x)= 若函数 由图知,a<0 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|无交 2|-2|, > 0, 点;( a= 0 时恰有 ,函数 (x)与 y=a|x|有三个交点 , y=f x)-a|x| 4 y=f 个零点 ,则实数 a 的取值范围为 . 故 a>0. 命题定位:本题主要考查函数零点、绝对值、函数图象等知识,画图过 当 x>0,a≥2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有 程去掉绝对值符号 ,体现了分类讨论的思想方法,对问题的化归能力要求较 一个交点; 高. 当 x>0,0<a<2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有两个交点; 当 x<0 时,若 y=-ax 与 y=-x2-5x-4(-4<x<-1)相切,则由 Δ=0 得 a=1 或 a=9(舍). 因此当 x<0,a>1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有两个交点; 当 x<0,a=1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有三个交点; 当 x<0,0<a<1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有四个交点. 关闭 (1,2) 所以当且仅当 1<a<2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|恰有 4 个零点.
解析 答案

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专题5 函数与方程及函数的应用 -71 2 3 4

4.(2014 浙江高考,文 16)已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则 a 的最大值是 .
关闭

由 a+b+c=0 可得 c=-(a+b). 条件、不等式的解法等知识 ,体现了对基本运算能力、问题的化归能力、抽 又 a2+b2+c2=1,所以 a2 +b2+[-(a+b)]2=1, 象概括能力和方程思想 ,以及分析问题、 解决问题及综合运用知识的能力的 整理得 2b2+2ab+2 a2-1=0. 2 2 2 2 又由 a +b +c = 1 易知 0 ≤ b ≤1,-1≤b≤1,因此关于 b 的方程 考查. = 42 -8(22 -1) ≥ 0, 1 ≤ ≤ 1, 2 2 2 2b +2ab+2a -1=0 在[-1,1]上有解,所以 2-2 + 22 -1 ≥ 0, 2 + 2 + 22 -1 ≥ 0,
6 解得 a≤ 3

命题定位:本题主要考查方程的应用、 二次方程求解、 二次方程有解的

6 ,即 3

a 的最大值是

6 . 3

关闭

解析

答案

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能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -8能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

函数零点的判断
思考:判断函数零点个数的常见方法有哪些?

提示:(1)直接法:解方程 f(x)=0,方程有几个解,函数 f(x)就有几个零 点; (2)图象法:画出函数 f(x)的图象,函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数 即为函数 f(x)的零点个数; (3)将函数 f(x)拆成两个常见函数 h(x)和 g(x)的差,从而 f(x)=0?h(x)-g(x)=0?h(x)=g(x),则函数 f(x)的零点个数即为函数 y=h(x) 与 y=g(x)的图象的交点个数; (4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式 Δ 来判断.

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 9 -9能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

+ 1, ≤ 0, 【例 1】 若函数 f(x)= 则当 k> 0y=时,函数 y=f(f(x))+1 的零 在同一平面直角坐标系中作出函数 f(x) 及 1 的图象如下图 . ln, > 0, 当 k>0 时,f(f(x))=-1, 点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析推理本题的切入点是将函数 y=f(f(x))+1 的零点化归 为方程 f(f(x))=-1,进而转化为两函数图象的交点问题,而找准 f(f(x))对应的 解析式是准确解答的关键.

关闭

则 f(x)=t1∈ -∞,D

1

或 f(x)=t2∈(0,1),对于 f(x)=t1,存在两个零点 x1,x2;
关闭

对于 f(x)=t2 存在两个零点 x3,x4;共计存在 4 个零点. 故选 D.
解析

答案

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -10能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

点评:确定函数零点的常用方法: (1)解方程判定法,若方程易求解时用此法; (2)数形结合法,在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时,当从 正面求解难以入手时,可以转化为某一易入手的等价问题求解,如求解含有 绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟 悉的两个函数图象的交点问题处理.

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -11能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

1.函数 f(x)=(x-2)ln(x2-4x+4)-(x-2)ln4 的零点个数为( A.3 B.2 C.1 D.0

)

关闭

B

由题意知,函数 f(x)零点的个数, 即方程(x-2)ln(x2-4x+4)-(x-2)ln 4=0 的解. 因此有(x-2)ln(x-2)2=(x-2)ln 4. ∵x≠2,∴ln(x-2)2=ln 4,即(x-2)2=4, 解得 x=0 或 x=4.故选 B.
解析

关闭

答案

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -12能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

函数零点的应用
思考:函数零点中的含参类问题如何解决?

提示:解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围 问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程 或不等式求解.常见的方法和技巧总结如下: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数 范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数 的图象,然后观察求解.

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能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -13能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

【例 2】 (1)m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4, ①有且仅有一个零点? ②有两个零点且均比-1 大? (2)若函数 F(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 分析推理(1)函数 f(x)为二次函数,其有且仅有一个零点可 由判别式 Δ 来决定;其有两个大于-1 的零点可借助一元二次方程根与系数 的关系及判别式进行等价转化 ;(2)F(x)=0 即|4x-x2|=-a,可转化为两个函数的 图象交点问题求解 .

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -14能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

解:(1)①若函数 f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点, 则等价于 Δ=4m2-4(3m+4)=0,即 4m2-12m-16=0, 即 m2-3m-4=0,解得 m=4 或 m=-1. ②设两零点分别为 x1,x2,且 x1>-1,x2>-1,x1≠x2, 则 x1+x2=-2m,x1· x2=3m+4, = 42 -4(3m + 4) > 0, 故只需 (1 + 1) + (2 + 1) > 0, (1 + 1)(2 + 1) > 0 2 -3m-4 > 0, < -1 或 > 4, ? ? < 1, -2 + 2 > 0, > -5. 3 + 4 + (-2) + 1 > 0 故 m 的取值范围是{m|-5<m<-1}.

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -15能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

(2)若 F(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,即|4x-x2|+a=0 有四个根,即 |4x-x2|=-a 有四个根. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.在同一平面直角坐标系中作出这两个函数 的图象如下图,

由图象可知要使 |4x-x2|=-a 有四个根,则需 g(x)的图象与 h(x)的图象 有四个交点,故 0<-a<4,即-4<a<0.

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -16能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

点评:利用数形结合求参数值时 ,需根据零点个数合理寻找 “临界”情况, 注意边界值的取舍 .

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -17能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

log 2 (x + 1),x > 0, 2.已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则 - 2 -2x,x ≤ 0, 实数 m 的取值范围是 .
关闭

函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,转化为 f(x)-m=0 的根有 3 个,进而转 化为 y=f(x),y=m 图象的交点有 3 个.

画出函数 y=f(x)的图象,则直线 y=m 与其有 3 个公共点. (0,1) 又抛物线顶点为(-1,1),由图可知实数 m 的取值范围是(0,1).
解析

关闭

答案

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -18能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

3.已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点 (1,1),反比例函数 y=f2(x)的图象与直线 y=x 的两个交点间距离为 8,f(x)=f1(x)+f2(x). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 a>3 时,证明关于 x 的方程 f(x)=f(a)有三个实数解.

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -19能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

(1)解:由已知,设 f1(x)=ax2,由 f1(1)=1,得 a=1,于是 f1(x)=x2. 设 f2(x)= (k>0),它的图象与直线 y=x 的交点分别为 A(x1,x1),B(-x1,-x1), 由|AB|=8,得 k=8,于是 f2(x)= . 故 f(x)=x2+ .
8 8

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -20能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

(2)证明:由 f(x)=f(a),得 x 即-x2+a2+ = .
8 8

2

8 2 8 + =a + ,

在同一平面直角坐标系内作出 f2(x)= 和 f3(x)=-x +a
2 2

8

8 + 的大致图象,其中 f2(x)的图象是位

于第一、第三象限的双曲线 ,f3(x)的图象是以 0,2 +
8

为顶点,开口向下的抛物线.

因此 f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点 , 即 f(x)=f(a)有一个负数解.

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -21能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

又∵f2(2)=4,f3(2)=a2+ -4, 当 a>3 时,f3(2)-f2(2)=a2+ -8>0, ∴当 a>3 时,在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2))在 f2(x)图象 的上方. 故 f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点 ,即 f(x)=f(a)有两个正 数解. 因此,在 a>3 时,方程 f(x)=f(a)有三个实数解.
8

8

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -22能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

函数模型及其应用
思考:解函数应用题的关键是建模 ,建模的一般思路是什么?
读题 文字语言

提示:

?

建模 数学语言

?

求解 数学应用

?

反馈 检验作答

与函数有关的应用题 ,经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问 题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题 .解答这类问题的关 键是确切地建立相关函数解析式 ,然后应用函数、方程、不等式和导数 的有关知识加以综合解答 .

第二部分
能力突破点一

专题5 函数与方程及函数的应用 -23关闭

能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 解:(1)由题设知投放的药剂质量为 m=6,渔场的水质达到有效净化 > 5, 【例 3】 某地一渔场的水质受到了污染 . 渔场的工作人员对水质检测 0 < ≤ 5, ?6f(x)≥6?f(x)≥1? 或 6 ?0<x≤5 或 5<x * ≤8, ≥1 log 3 (x + 4) ≥ 1 .已知每投放质量为 后,决定往水中投放一种药剂来净化水质 m ( m ∈ N )个 -2 单位的药剂后 即 0<x≤8, ,经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y(毫克/升)满足 y=mf(x), log 3 (x + 4),0 < x ≤ 5, m=6,渔场水质达到有效净化一共可 6 其中 所以如果投放的药剂质量为 f(x)= 当药剂在水中释放的浓度不低于 6(毫克/ , x > 5 , 持续 8 天. -2 升)时称为有效净化 ;当药剂在水中释放的浓度不低于 6(毫克/升)且不高于 (2)由题设知?x ∈(0,8],6≤mf(x)≤18,m>0, log 3 (x + 4),0 < 18(毫克/升)时称为最佳净化 . x ≤ 5, 6 ∵f ( x) = (1) 如果投放的药剂质量为 ,x > 5, m=6,试问渔场的水质达到有效净化一共可 -2 持续几天? 6 ∴ ? x ∈ (0,5],6 ≤ m log ( x+ 4) ≤ 18, 且 ? x ∈ (5,8],6 ≤ ≤18. 3 (2)如果投放的药剂质量为 m,为了使在 8 天(从投放药剂算起包括第 8 -2 天)之内的渔场的水质达到最佳净化 log 3 4 ≥ 6, ≥ 6, ,试确定应该投放的药剂质量 m 的取值 ∴ 且 ?5≤m≤9,且 6≤m≤9. 范围. 2 ≤ 18, 2 ≤ 18 ∴6≤m≤9. 分析推理首先要找出实际问题中所蕴含的数学问题 ,第(1) 故投放的药剂质量 m 的取值范围为 [6,9] . 问将问题化归为不等式组的求解问题 ;第(2) 问实际上是不等式恒成立求参 问题,通常用分离参数法. 答案

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -24能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

点评:(1)解决函数的实际应用问题 ,首先要在阅读上下功夫 ,一般情况 下,应用题文字叙述比较长 ,要耐心、细心地审清题意 ,弄清各量之间的关系 , 再建立函数关系式 ,然后借助函数的知识求解 ,解答后再回到实际问题中 去;(2)对函数模型求最值的常用方法有单调性法、不等式法及导数法 .

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -25能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

4.为了净化空气,某科研单位根据实验得出 ,在一定范围内,每喷洒 1 个 单位的净化剂,空气中释放的浓度 y(单位:mg/m3)随着时间 x(单位:天)变化 的函数关系式近似为 y=
16 -1,0 ≤ x ≤ 4, 8- 1 5- x,4 < x ≤ 10. 2

若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在 相应时刻所释放的浓度之和 .由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于 4(mg/m3)时,它才能起到净化空气的作用. (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒 a(1≤a≤4)个单位的 药剂,要使接下来的 4 天中能够持续有效净化,试求 a 的最小值(精确到 0.1, 参考数据: 2取 1.4).

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -26能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

解:(1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂 , 所以浓度 f(x)=4y=
64 -4,0 8-

≤ x ≤ 4,

20-2,4 < ≤ 10.
64 -4≥4, 8-

则当 0≤x≤4 时,由

解得 x≥0,此时 0≤x≤4. 当 4<x≤10 时,由 20-2x≥4, 解得 x≤8,此时 4<x≤8. 综上得 0≤x≤8,故若一次投放 4 个单位的净化剂 ,则有效净化时间 可达 8 天.

第二部分
能力突破点一 能力突破点二

专题5 函数与方程及函数的应用 -27能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

(2)设从第一次喷洒起 ,经 x(6≤x≤10)天, 浓度 g(x)=2 =10-x+
1 5- x 2

+a

16 8-(-6)

-1

16 16 -a=(14-x)+ -a-4. 14- 14-

因为 14-x∈[4,8],而 1≤a≤4, 所以 4 ∈[4,8],故当且仅当 14-x=4 时,y 有最小值 8 -a-4. 令 8 -a-4≥4,解得 24-16 2≤a≤4, 所以 a 的最小值为 24-16 2≈1.6.

第二部分 1 2 3

专题5 函数与方程及函数的应用 -28-

1.已知 f(x)=-3-(x-a)(x-b),且 m,n 是方程 f(x)=0 的两个根,则实数 a,b,m,n 的大 小关系可能正确的是( )
关闭

A.m<a<b<n B. 方法一:设 φ(x)= (a<m<b<n x-a)· (x-b),由题意知 f(m)=-3-(m-a)(m-b)=0,即

φ (m )=(m-a)(m-b)=-3 <m<a<n<b 0, C. a<m<n<b D. 同理可得 φ(n)=-3<0,如图所示,故 a<m<n<b.故选 C. 方法二:令 g(x)=(x-a)(x-b),h(x)=-3, 则 m,n 即为方程 g(x)=h(x)的根,也即上述两函数图象的交点的横坐 标,如图所示,故选 C.

关闭

C
解析 答案

第二部分 1 2 3

专题5 函数与方程及函数的应用 -29-

2.若函数 f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1 的图象与 x 轴只有一个交点,则实数 m 的 取值的集合是 .

关闭

当 m=1 时,f(x)=4x-1,其图象和 x 轴只有一个交点 ,0 . 当 m≠1 时,依题意得 Δ=4(m+1) +4(m-1)=0, 即 m2+3m=0,解得 m=-3 或 m=0. 故 m 的取值集合为{-3,0,1}.
{-3,0,1}
解析 答案
2

1 4

关闭

第二部分 1 2 3

专题5 函数与方程及函数的应用 -30-

3.某店铺专卖某种特产,由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的 销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克,1<x≤5)满足:当 1<x≤3 时,y=a(x-3)2+
(a,b 为常数);当 3<x≤5 时,y=-70x+490.已知当销售价格为 -1

2 元/千克时,每日可售出该特产 700 千克;当销售价格为 3 元/千克时,每日可 售出 150 千克. (1)求 a,b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销 售该特产所获利润 f(x)最大.(x 精确到 0.01 元/千克)

第二部分 1 2 3

专题5 函数与方程及函数的应用 -31-

解:(1)∵x=2 时,y=700,x=3 时,y=150, ∴ + = 700,
2

= 150,

解得 a=400,b=300. 400(-3)
2

故每日的销售量 y=

300 + ,1 -1

< x ≤ 3,

-70 + 490,3 < ≤ 5.

第二部分 1 2 3

专题5 函数与方程及函数的应用 -32-

(2)由(1)知,当 1<x≤3 时, 每日销售利润 f(x)= 400(-3)2 + =400(x-3)2(x-1)+300 =400(x3-7x2+15x-9)+300(1<x≤3). ∵f'(x)=400(3x2-14x+15), 当 x= 或 x=3 时,f'(x)=0; 当 x ∈ 1, 当 x∈
5 3 5 3 300 -1

(x-1)

时 f'(x)>0,f(x)单调递增; 时 f'(x)<0,f(x)单调递减.

5 ,3 3

第二部分 1 2 3

专题5 函数与方程及函数的应用 -33-

∴x= 是函数 f(x)在区间(1,3]上的唯一极大值点, f
5 3

5 3

=400× +300>700.

32 27

当 3<x≤5 时,每日销售利润 f(x)=(-70x+490)(x-1)=-70(x2-8x+7), f(x)在 x=4 时有最大值,且 f(4)=630<f
5 3 5 3

.

综上,销售价格 x= ≈1.67 元/千克时,每日利润最大.


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