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高中数学第二章平面向量2_2平面向量的线性运算第1课时课堂探究学案新人教A版必修4

2.2 平面向量的线性运算(第 1 课时) 课堂探究 探究一 向量加法法则的应用 求向量和的方法及步骤 【典型例题 1】 如图,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,F 为线段 DE 延长线上 一点,DE∥BC,AB∥CF,连接 CD,那么(在横线上只填上一个向量): (1) AB + DF =________; (2) AD + FC =________; (3) AD + BC + FC =________. 思路分析:平移向量,运用平行四边形法则和三角形法则求解. 解析:由已知可得四边形 DFCB 为平行四边形. (1)易知 DF = BC . 由三角形法则得 AB + DF = AB + BC = AC ; (2)易知 FC = DB ,所以 AD + FC = AD + DB = AB ; (3) AD + BC + FC = AD + DF + FC = AC . 答案:(1) AC ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? (2) AB ??? ? (3) AC ???? 探究二 向量加法运算律的应用 向量运算中化简的两种方法 1.代数法:借助向量加法的交换律和结合律,将向量转化为“首尾相接”,向量的和 即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量. 有时也需将一个向量拆分成两个或多 个向量. 2.几何法:通过作图,根据三角形法则或平行四边形法则化简. 【典型例题 2】 化简下列各式: (1) AB + DF + CD + BC + FA ; (2)( AB + MB )+ BO + OM . 思路分析: 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连, 然后利用向量加法的结合 律求和. 解: (1) AB + DF + CD + BC + FA = AB + BC + CD + DF + FA = AC + CD + DF + FA = AD + DA =0. (2)( AB + MB ) + BO + OM = ( AB + BO ) + ( OM + MB ) = AO + OB = ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ??? ? ??? ? AB . 提醒利用平行四边形法则时, 要注意向量必须在同一起点, 否则要通过平移将它们变为 有相同起点的向量,然后作平行四边形. 探究三 向量加法的实际应用 向量加法应用的关键及技巧 1.三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相 等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量. 2.应用技巧:(1)准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;(2)将所求问题 转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解. 【典型例题 3】 在某地抗震救灾中,一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员,然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院,求 这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 思路分析:解答本题首先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求解. 解:如图所示,设 AB , BC 分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km, 从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km. 则飞机飞行的路程指的是| AB |+| BC |;两次飞行的位移的和指的是 AB + BC = ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? AC . 依题意,有| AB |+| BC |=800+800=1 600(km). 又 α =35°,β =55°,∠ABC=35°+55°=90°. 所以| AC |= | AB | ? | BC | 2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 2 = 8002 ? 8002 =800 2 (km). 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东 35°+45°=80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km,两次飞行的位移和的大小为 800 2 km,方向为北偏 东 80°. 探究四 易错辨析 易错点:用平行四边形法则作平行向量的和 【典型例题 4】 如图,已知平行向量 a,b,求作 a+b. 错解: ??? ? ??? ? → 作OA=a, OB =b,则 AB =a+b 就是求作的向量. 错因分析:由于 a∥b,所以不适合用平行四边形法则,应该用三角形法则. 正解: 作 OA =a, AB =b,则 OB =a+b 就是求作的向量. 方法技巧(1)当 a 与 b 同向共线时,a+b 与 a,b 同向,且|a+b|=|a|+|b|. (2)当 a 与 b 反向共线时,若|a|>|b|,则 a+b 与 a 的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|; 若|a|<|b|,则 a+b 与 b 的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|;若|a|=|b|,则 a+b=0. ??? ? ??? ? ??? ?

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