当前位置:首页 >> 高一数学 >>

§2 2.1 向量的加法


§2 从位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法

1.飞机从广州飞往上海,再从上海
飞往北京,这两次位移的结果与飞

北京

机从广州直接飞往北京的位移相同
吗? 相同 我们把后面这样一次位移叫作 前面两次位移的合位移.
广州 上海

2.在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处.

它的实际位移AB,可以看作水平 运动的分位移AC与竖直运动的分 位移AD的合位移.

D

B

A

C

由分位移求合位移,称为位移的合成. 在上一节课中我们知道位移是向量,因此位移合 成就是向量的加法,那么向量的加法怎么体现?

符合哪些规律呢?这就是我们今天要探究的内容.

1.掌握向量加法的概念;能熟练运用三角形法则和 平行四边形法则求几个向量的和向量.(重点) 2.能准确表述向量加法的交换律和结合律,并能熟练 运用它们进行向量计算. (重点) 3.向量加法的概念和向量加法的法则及运算律 .(难点)

探究点1

向量加法的三角形法则

既然向量的加法可以类比位移的合成,想一想,求 两个向量的和是否也可以类比前面位移的合成呢? 如下图,已知向量 a, b,如何求这两向量的和?
a b

a
b
A.

B a

b

C

a?b
类比前面的广 州至北京的飞 机位移的合成

作法:1.在平面内任取一点A.

a,

b 再作向量

uuu r AC

这种作法叫作向量求和的三角形法则.
讨论:作图的关键点在哪? 首尾顺次相连.

思考:当向量a,b是共线向量时,a+b又如何作? (1)同向
a b

(2)反向
a b b

a

A

B

C

C

A

B

a ? b ? AB ? BC=AC

a ? b ? AB ? BC=AC

(3)规定: a ? 0 ? 0 ? a ? a.

探究点2 向量加法的平行四边形法则 思考:类比位移的合成方法,作两向量的和还有 没有其他的方法呢?
a B C

b

A

D

作法:

作 AB ? a,AD ? b, 以AB,AD为邻边 作平行四边形,则 AC ? a + b

上述这种方法叫作向量求和的平行四边形法则.

思考:这种方法的作图关键点是什么呢?
提示:共起点.

提升总结:三角形法则和平行四边形法则的使用范

围.
(1)三角形法则适用于任意两个向量的加法;

(2)平行四边形法则适用于不共线的两个向量的加
法.

例1 轮船从A港沿东偏北 30°方向行驶了40 n mile
(海里)到达 B 处,再由B处沿正北方向行驶40 n mile 到达 C 处.求此时轮船与A港的相对位置.

解:如图,设 AB, BC分别 表示轮船的两次位移, 则AC表示轮船的合位移, AC ? AB ? BC.
A



C

B
30

D



在Rt△ADB中, ?ADB ? 90?, ?DAB ? 30?,| AB |? 40 n mile, 所以 | DB |? 20 n mile,| AD |? 20 3 n mile
在Rt△ADC中, ?ADC ? 90?,| DC |? 60 n mile, 所以 | AC |? | AD |2 ? | DC |2 ? (20 3) 2 ? 602 ? 40 3 (n mile).
北 C

因为
| AC |? 2 | AD |, 所以?CAD ? 60?.

B 30 A D 东

答: 轮船此时位于A港东偏北 60°,且距A港40 3 n mile 的 C处 .

探究点3 向量加法的运算律
数的加法满足交换律与结合律 ,即对任意a,b∈R,有 a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b 的加法是 D 否也满足交换律和结合律?
D C B

A

A
B

C

(a+b) +c = a+ (b+c)

向量的加法满足交换律和结合律

思考:能否将它推广至多个向量的求和?
A2 A3
A1A 3 A1A2+A2A3= _______

A1 A2 A1 A3 A4

A1A 4 A1A2+A2A3+A3A4=_______

A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+ … +An-2An-1+An-1An = A1A n

多边形法则:n个首尾顺次相接的向量的和等于折 线起点到终点的向量.

例2 两个力 F 和 F2 同时作用在一个物体上,其中 F1 的大小 1 为40 N,方向向东,F2 的大小为30 N,方向向北,求它们的合力.
ur 解:如图, , OB 表示 F2 .以OA,OB为邻边作 OA 表示 F 1

□OACB,则 OC 表示合力 F .
在Rt△OAC中, | OA |?| F1 | =40N,
| AC |?| OB |?| F2 =30N. | 由勾股定理得


F2



C
F

| F |?| OC |? | OA |2 ? | AC |2 ? 40 2 ? 30 2 ? 50(N).

θ
O
F 1

设合力 F 与力 F 的夹角为θ,则 1





答:合力大小为50N,方向为东偏北37°.

| AC | | F2 | 3 tanθ ? ? ? ? 0.75. 所以θ≈37°. | OA | | F1 | 4

例3 在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度 为v1=3.46 km/h,河水流动的速度v2=2.0 km/h.试求

小船过河实际航行速度的大小和方向.
解:如图,设 OA 表示小船垂直于河 岸行驶的速度, OB 表示水流的速度,
A C

以OA,OB为邻边作□OABC,则 OC 就
是小船实际航行的速度.

v1

O

v2

B

在Rt△OBC中, BC =v1 ? 3.46 km / h, OB =v 2 ? 2.0 km / h, 所以 OC ? OB ? BC ? 3.462 ? 2.02 ? 4.0(km / h).
2 2

v1 因为tan?BOC= ? 1.73, 所以?BOC ? 60 . v2 答: 小船实际的航行速度的大小约为4.0 km / h, 方向与水流方向约成60 角.

1.如图,在正六边形ABCDEF中, BA ? CD ? EF ? (D ) A. 0 B. BE
D

C. AD
E

D. CF

F C

B

A

2.下列非零向量的运算结果为零向量的是( D ) A. BC +AB B. PM+MN+MP C. BC +CA+AB +CD D. MP+GM+PQ+QG

3.试用向量方法证明:对角线互相平分的四 边形必是平行四边形. 证明 因为 AM ? MC
D

BM ? MD

? b

? a
M
B

C

A

所以 AD ? AM ? MD ? MC ? BM ? BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.

1.向量加法的三角形法则(首尾相接). 2.向量加法的平行四边形法则(起点相同). 3.向量加法运算律.

4.三角形法则推广为多边形法则

长期的心灰意懒以及烦恼足以致人于贫病

枯萎.
——布朗


赞助商链接
相关文章:
新人教版必修4高中数学2.2.1《向量的加法及其几何意义...
新人教版必修4高中数学2.2.1向量的加法及其几何意义》练习题 - 单元练习 §2.2.1 向量的加法及其几何意义 【学习目标、细解考纲】 1 通过实际例子, 掌握...
高中数学人教A版必修四第二章 2.1向量的加法 训练案知...
高中数学人教A版必修四第二章 2.1向量的加法 训练案知能提升 Word练习题含...=2|AC|=2 |AB | +|BC| 答案:4 →→→ 8. 在平行四边形 ABCD 中, 若...
人教A版高中数学《向量的加法运算及其几何意义》教学设计
酞峰盈掂§2 .2.1 向量 的加法运算 及其几何意义 教学 设计 根据 新课标的要求 : 培养数学 的应用意识 是当今数学教 育的主题, 本节课的内 容与实际问题...
2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案
2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案_数学_高中教育_教育专区。2.2.2向量...2.2.2 向量减法运算及其几何意义 学习目标 1.了解相反向量. 2.理解向量减法...
选修2-1_3.1空间向量及其运算
选修2-1_3.1空间向量及其运算 - 第课时: §3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算 教学要求:理解空间向量的概念,掌握其表示方法;会用图形说明空间向量加法减法...
15.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有|a...
15.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|,则a·b的最大值是 .考察知识点向量的减法及其几何意义 ...
2011届高考总复习天津101中学精品教学案:平面向量单元(教师版全套...
2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律. 3.掌握实数与向量的积的运算法则...只有个实数 λ 使得 4.⑴ 平面向量基本定理:如果 e1 、 e 2 是同一平面...
更多相关标签: