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微积分 3.2-3.3 函数的求导法则与公式


微积分(Calculus ) 第三章 导数与微分
§3.2-§3.2 函数的求导法则与公式

§3.2-§3.2 函数的求导法则与公式

一. 导数的四则运算法则

二. 反函数的求导法则

三. 复合函数的求导法则

四. 基本求导法则与导数公 式

教学要求:
1. 掌握导数的四则运算法则; 2. 掌握复合函数的求导法; 3. 了解反函数的求导法;

4. 掌握基本初等函数的导数公式.
难点:复合函数的求导法

一.导数的四则运算

定理1: 设函数u ? u( x ), v ? v( x )都在x处可导, 则 ? (1)?u( x ) ? v( x )? ? u?( x ) ? v?( x ) ? ( 2)?u( x ) ? v( x )? ? u?( x )v( x ) ? u( x )v?( x )

特别地 : ?Cu ( x)? ? Cu ?( x)

?

? u ( x) ? u?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) (3) ? ? ( v( x) ? 0) ? 2 v ( x) ? v( x) ? ? ? 1 ? v?( x) 特别地 : ? ?? 2 ( v( x) ? 0). ? v ( x) ? v( x) ?

?

函数的乘积的求导法则的推广:

?u ( x)v( x) w( x)?

?

? u?( x)v( x) w( x) ? u ( x)v?( x) w( x) ? u ( x)v( x) w?( x),
例 1.设f ( x) ? x sin x, 求f ?( x).
Solution. f ?( x ) ? ( x )? sin x ?
? 1 2 x

x (sin x )?

sin x ? x cos x .

例2. 设 f ( x) ? cot x, 求 f ?( x).
cos x , Solution. ? f ( x ) ? sin x
(cos x )? sin x ? cos x (sin x )? f ?( x ) ? sin2 x

参考教材P91例3

? sin x sin x ? cos x cos x ? sin2 x ?1 2 ? ? ? csc x. 2 sin x

? (cot x )? ? ? csc 2 x .

同理 (tan x )? ? sec 2 x .

x cos x 例3. 设 f ( x) ? , 求f ?( x). 1 ? sin x
Solution.
( x cos x )?(1 ? sin x ) ? x cos x (1 ? sin x )? f ?( x ) ? (1 ? sin x )2 (cos x ? x sin x )(1 ? sin x ) ? x cos x cos x ? (1 ? sin x )2 cos x ? cos x sin x ? x (sin x ? 1) ? (1 ? sin x )2

cos x ? x ? . 1 ? sin x

二.反函数的求导法则
如果函数 x ? f ( y )在某区间 I y内单调可导, 且f ?( y ) ? 0 , 定理2: 则它的反函数 y ? f ?1 ( x)在对应区间 I x内也可导 , 且有 1 [ f ( x)]? ? f ?( y )
?1 y ? f ?1 ( x )

.

dy 1 或 ? . dx dx dy

例4.设y ? arcsin x, 求y?.
Solution. ? y ? arcsin x,
则它是 x ? sin y, y ? [ ?

教材P 6 92例

? ?

, ]的反函数. 2 2

dx ? (sin y )? ? cos y ? 1 ? sin2 y ? 1 ? x 2 . dy
dy 1 1 ? ? ? . 2 dx dx 1? x dy

即 (arcsin x )? ? 1 1 ? x2

1 1? x .
2

.

(arccos x )? ? (

?

2

? arcsin x )? ? ?

例5.设y ? loga x, 求y?.
Proof. ? y ? log a x 是 x ? a y 的反函数,
由反函数的求导法则得,

参考教材 P 5 92例

1 1 1 y? ? (log a x )? ? y ? y ? ( a )? a ln a x ln a

1 ? (log a x )? ? x ln a 1 (ln x )? ? x

三.复合函数的求导法则 定理3: 如果 (1)函数 u ? g ( x)在点 x可导,

(2) y ? f (u )在对应的点 u ? g ( x)可导, 则复合函数 y ? f [ g ( x)]在点x可导, 且 dy dy dy du ? ? ? f (u ) ? g ( x). 或 ? ? . dx du dx dx
注意: 定理3也称为链式法则, 可加以推广.
即若y ? f ( u), u ? g(v ), v ? h( x )可导, 则y ? f { g[h( x )]} dy dy du dv dy 可导, 且 ? ? ? . ? f ?( u) g ?( v ) h?( x ). dx du dv dx dx

1 例6.设y ? arctan , 求y?. x

类似教材P 100例4

1 Solution. 设 y ? arctan u, u ? , x

dy du 1 1 1? ? ? ?? ? ? y? ? ? ? u 2 1? ? x? du dx 1 ? u2 ? 1? ? ?
? 1 ? ? ? 2? 2? ?1? ? x ? 1? ? ? ? x? 1 ?? . 2 1? x 1

?

? x?

2 x Solution. 设 y ? cos u, u ? , 2 1? x dy du 2x 2x ? y? ? ? ( ) ? ? sin u ? u? ? ? sin 2 2 du dx 1? x 1? x
2 x 2(1 ? x 2 ) ? 2 x ? 2 x ? ? sin ? 2 2 2 1? x (1 ? x )

2x 例7.设y ? cos , 求y?. 2 1? x

2( x 2 ? 1) 2x ? ? sin . 2 2 2 (1 ? x ) 1? x

类似教材 P 7 94例

例8.设y ? ln cose , 求y?.
x

Solution.

x ? y ? (ln cos e )?

1 x ? ? (cos e ) x cos e
1 x x ? ? ( ? sin e )( e ) cos e x

? ?e tan e

x

x

例9.设y ? e
? Solution. y? ? ? e ?

sin 2

1 x

, 求y?.
1 sin ? 2 x ? sin
2

类似教材 P 7 94例

1 ?? sin x?
2

? 1? ?e ? x? ? ? ? 21 1? 1? sin ? e x ? 2 sin ? sin ? x? x?
1 1 1? sin x ? 2 sin cos ?
2

? 1? ?e ? x x? x? 1 1 1? 1 ? sin 2 ? e x ? 2 sin cos ? ? 2 ? x x? x ? 1 sin 2 1 2 ? ? 2 e x sin x x

类似教材P 3 100例

例 10.设y ? f (e )e
x

g ( x)

, f ( x)、g ( x)可导, 求y?.

Solution.
x g ( x) ? y ? [ f (e )e ]?

? [ f (e )]?x ? e
x

g ( x)

? f (e ) ? [e
x

g ( x)

]?x

x x g ( x) x g ( x) ? ? ? fex (e ) ? (e ) x ? e ? f (e ) ? e ? g? x ( x)

? fe?x (e ) ? e ? e
x x

g ( x)

? f (e ) ? e
x

g ( x)

? g? x ( x)

四.熟记基本初等函数的导数公式 1.基本初等函数的导数公式

(1)(C )? ? 0 ( 3)(sin x )? ? cos x
(5)(tan x )? ? sec2 x
(7)(sec x )? ? sec x tan x

( 2)( x ? )? ? ?x ? ?1
(4)(cos x )? ? ? sin x
(6)(cot x )? ? ? csc2 x
(8)(csc x )? ? ? csc x cot x

(9)( a x )? ? a x ln a 1 (11)(log a x )? ? x ln a 1 (13)(arcsin x )? ? 1 ? x2

(10)( e x )? ? e x
1 (12)(ln x )? ? x

(14)(arccos x )? ? ?

1 1 ? x2

1 (15)(arctan x )? ? 1 ? x2 1 (17)( x )? ? 2 x
2 导 数 的 运 算 法 则

? (1)?u( x ) ? v ( x )? ? u?( x ) ? v?( x ) ? ( 2)?u( x ) ? v ( x )? ? u?( x )v ( x ) ? u( x )v?( x ) ? ( 3)?Cu( x )? ? Cu?( x ) ? ? u( x ) ? u?( x )v ( x ) ? u( x )v?( x ) ( 4) ? ? ( v ( x ) ? 0) ? 2 v ( x) ? v( x ) ? ? dy dy du ( 5) ? , ? f ( g( x ))? ? f ?( g( x )) ? g?( x ) dx du dx dy 1 ? 1 ? ?1 ( 6) f ( x ) ? , dx dx f ?( y ) dy

1 (16)( arc cot x )? ? ? 2 1 ? x ? 1 ?1? (18)? ? ? ? 2 ? x? x

.

?

?

Solution.

1? x 例11.设y ? x , 求y?. 1? x
? ? 1? x ? 1? x ? ? 1? x ? y? ? ? x ? x? ? ? ? 1? x ? 1? x? ? 1? x?

? 1? x 1 1? x ?1 ? x ? ? ? x? ?? ? 1? x 2 1 ? x ?1 ? x ?

1? x 1 1 ? x ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? x? ? 1? x 2 1? x (1 ? x )2 1? x x 1? x ? ? . 2 1 ? x (1 ? x ) 1 ? x

类似教材P 11 96例

Solution.

( x ? 1)(x ? 2) dy 例12.设y ? ln ,求 . ( x ? 3)(x ? 4) dx
? y ? ln( x ? 1) ? ln( x ? 2) ? ln( x ? 3) ? ln( x ? 4),

dy 1 1 1 1 ? ? ? ? ? . dx x ? 1 x ? 2 x ? 3 x ? 4
练习
x2 ? 1 求函数 y ? ln 3 ( x ? 2) 的导数. x?2

dy 例13 .设y ? x , 求 . dx
x

类似教材P 11 96例

Solution.

?y ?e

ln x

x

?e

x ln x

N ?e
,

ln N

dy x ln x ? ? e ? ( x ln x)? dx
?e
x ln x

1? ? ? ? ln x ? x ? ? x? ?

?e
练习

x ln x

? (ln x ? 1).

设y ? x

sin x

, 求y?.

dy 例14.设y ? x ? 3 ? 3 ? x , 求 . dx Solution. ? y ? x 3 ? 3 x ? 33 ? x ln x , e
3 x 3 x

dy x ln x 2 x ? ? 3 x ? 3 ln 3 ? 0 ? e ? ( x ln x )? dx

? 3 x ? 3 ln 3 ? e
2 x

2

x

x ln x

1? ? ? ? ln x ? x ? ? x? ?

? 3 x ? 3 ln 3 ? e

x ln x

? (ln x ? 1).

练习: 教材P92?96例5 ? 例7, 例9 ? 例 11. 教材P98例 1(1),例3, 例4.

自选练习: P , 28 ? 31. 116 ?118 19, 21? 25

作业 : P116?11819(7)(11), 22(1), 23(5)(7)(13)(15)(22)(25), 24(1)(4).


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