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河南省驻马店市确山二中2014-2015学年高二第一学期期中数学试卷


2014-2015 学年河南省驻马店市确山二中高二(上)期中数学试 卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题: “任意 x∈R,x ﹣x+2<0”的否定是( ) 2 2 A. 任意 x∈R,x ﹣x+2≥0 B.存在 x∈R,x ﹣x+2≥0 2 2 C. 存在 x∈R,x ﹣x+2<0 D.任意 x∈R,x ﹣x+2<0 2.某市有大型超市 100 家、中型超市 200 家、小型超市 700 家.为掌握各类超市的营业情 况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 80 的样本,应抽取中型超市家数为( ) A. 15 B. 16 C. 13 D. 18 3.如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别( )
2

A. 23 与 26 B. 26 与 30 C. 31 与 26 D. 31 与 30 4.命题“设 a、b、c∈R,若 ac >bc ,则 a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共 有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 5.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
2 2

A.

B.

C.

D.

6.集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数,则这两个数之和等于 5 的概 率为( )

A.

B.

C.

D.

7.已知 x、y 取值如下表: x y 0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 ) 8 9.3

从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且 =0.95x+a,则 a=( A. 1.30 B. 1.45 C. 1.65 D. 1.80
2 2

8.在区域 A. B.

内任意取一点 P(x,y) ,则 x +y >1 的概率是( C. D.



9.一组样本数据,容量为 150,按从小到大的顺序分成 5 个组,其频数如下表: 组号 频数 1 28 2 32 3 28 4 32 5 x

那么,第 5 组的频率为( ) A. 120 B. 30 C. 0.8 D. 0.2

10.已知 A=(2,﹣4,﹣1) ,B=(﹣1,5,1) ,C=(3,﹣4,1) ,若



,则

对应的点为( ) A. (5,﹣9,2) B. (﹣5,9,﹣2) C. (5,9,﹣2) D. (5,﹣9,﹣2)

11. 已知向量

与向量

平行, 则 x, y 的值分别是 (



A. 6 和 10 B. ﹣6 和 10 C. ﹣6 和﹣10 D. 6 和﹣10 12.已知平面α,β是两个不重合的平面,其法向量分别为 n1,n2,给出下列结论: ①若 n1∥n2,则α∥β; ②若 n1∥n2,则α⊥β; ③若 n1? n2=0,则α⊥β; ④若 n1? n2=0,则α∥β. 其中正确的是( ) A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ②④

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.数据 5,7,7,8,10,11 的标准差是 .

14.某市派出男子、女子两支球队参加全省足球冠军赛,男、女两队夺取冠军的概率分别是 和 .则该市足球队夺得全省冠军的概率是 .

15. 已知 A (1, 1, 0) , B (1, 2, 1) , C (0, 0, 2) , 则原点 O 到平面 ABC 的距离为 16.在下列四个结论中,正确的序号是
2





①“x=1”是“x =x”的充分不必要条件; 2 2 ②“k=1”是“函数 y=cos kx﹣sin kx 的最小正周期为π”的充要条件; 2 ③“x≠1”是“x ≠1”的充分不必要条件; ④“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的必要不充分条件.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知 p:{x|x ﹣8x﹣20≤0};q:{x|x ﹣2x﹣(m ﹣1)≤0,m>0},若非 p 是非 q 的 必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 18.一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个,这些球除颜色外都相 同. (1)求搅匀后从中任意摸出 1 个球,恰好是红球的概率; (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个 球,求至少有一次摸出的球是红球的概率. 19.若点(p,q) ,在|p|≤3,|q|≤3 中按均匀分布出现. (1)点 M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确定,第一次确定横坐标,第二次确定纵坐标, 则点 M(x,y)落在上述区域的概率? (2)试求方程 x +2px﹣q +1=0 有两个实数根的概率. 20.为选拔选手参加“中国谜语大会” ,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本 次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为 样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90, 100]的分组作出频率分布直方图, 并作出样本分数的茎叶图 (图中仅列出了得分在[50, 60) , [90,100]的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参 加“中国谜语大会” ,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率.
2 2 2 2 2

21. 如图, 在△ABC 中, ∠ABC=60°, ∠BAC=90°, AD 是高, 沿 AD 把△ABD 折起, 使∠BDC=90°.

(Ⅰ)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (Ⅱ)设 E 为 BC 的中点,求 与 夹角的余弦值.

22.如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,设 AC 与 BD 相交于点 O,若∠DAB=∠DBF=60°, 且 FA=FC. (1)求证:FC∥平面 EAD; (2)求二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值.

2014-2015 学年河南省驻马店市确山二中高二 (上) 期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题: “任意 x∈R,x ﹣x+2<0”的否定是( ) 2 2 A. 任意 x∈R,x ﹣x+2≥0 B.存在 x∈R,x ﹣x+2≥0 2 2 C. 存在 x∈R,x ﹣x+2<0 D.任意 x∈R,x ﹣x+2<0 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题: “任意 x∈R,x ﹣x+2<0”的否定 2 是存在 x∈R,x ﹣x+2≥0. 故选:B. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 2.某市有大型超市 100 家、中型超市 200 家、小型超市 700 家.为掌握各类超市的营业情 况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 80 的样本,应抽取中型超市家数为( ) A. 15 B. 16 C. 13 D. 18 考点: 专题: 分析: 解答: 分层抽样方法. 概率与统计. 根据分层抽样的定义,建立比例关系即可得到结论. 解:∵大型超市 100 家、中型超市 200 家、小型超市 700 家,
2 2

∴按分层抽样方法抽取一个容量为 80 的样本, 应抽取中型超市为: (家) , 故选:B. 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键.比较基 础. 3.如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别( )

A. 23 与 26 B. 26 与 30 C. 31 与 26 D. 31 与 30 考点: 茎叶图.

专题: 图表型. 分析: 由茎叶图写出所有的数据从小到大排起,找出出现次数最多的数即为众数;找出中 间的数即为中位数. 解答: 解:由茎叶图得到所有的数据从小到大排为: 12,14,20,23,25,26,30,31,31,41,42. ∴众数为 31,中位数为 26. 故选 C. 点评: 解决茎叶图问题,关键是将图中的数列出;求数据的中位数时,中间若是两个数时, 要求其平均数. 4.命题“设 a、b、c∈R,若 ac >bc ,则 a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共 有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;四种命题的真假关系;不等关系与不等式. 专题: 阅读型. 分析: 先看原命题,∵若 ac >bc ,则 c≠0,∴a>b,由于等价命题同真同假,只要判断 原命题和逆命题即可. 解答: 解:原命题: ,∵若 ac >bc ,则 c≠0,∴a>b,成立,由等价命题同真同假知其 逆否命题也为真; 逆命题:若 a>b,则 ac >bc ,不正确,∵a>b,∴关键是 c 是否为 0,∴逆命题为假,由 等价命题同真同假知否命题也为假, ∴命题“设 a、b、c∈R,若 ac >bc ,则 a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中有 1 个真 命题. 故选 B 点评: 本题考查不等式的基本性质和等价命题.属于基础题. 5.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型.

分析: 分析程序中各变量、 各语句的作用, 分析可知: 该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值,并输出. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值 ∵S= + + = .

故选 D. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)? ②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 6.集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数,则这两个数之和等于 5 的概 率为( ) A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数,取法总数为 6,这两个 数之和等于 5 的情况有 2 种,由此能求出这两个数之和等于 5 的概率. 解答: 解:集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数, 取法总数为:2×3=6, 这两个数之和等于 5 的情况有 2 种:2+3 和 3+2, ∴这两个数之和等于 5 的概率:p= = . 故选:B. 点评: 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要注意古典概型概率计算公式的合理运用. 7.已知 x、y 取值如下表: x y 0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 ) 8 9.3

从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且 =0.95x+a,则 a=( A. 1.30 B. 1.45 C. 1.65 D. 1.80

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 计算平均数,可得样本中心点,代入线性回归方程,即可求得 a 的值. 解答: 解:由题意, =4, =5.25

∵y 与 x 线性相关,且 =0.95x+a, ∴5.25=0.95×4+a, ∴a=1.45 故选 B. 点评: 本题考查线性回归方程,利用线性回归方程恒过样本中心点是关键.
2 2

8.在区域 A. B.

内任意取一点 P(x,y) ,则 x +y >1 的概率是( C. D.



考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得,区域
2 2

表示的是以 1 为边长的正方形 OABC,其面积为 1,而

则 x +y >1 以 1 为半径,以原点为圆心的圆的外部且在正方形内的区域,求出其面积,代 入几何概率公式可求 解答: 解:由题意可得,区域 记“在区域 表示的是以 1 为边长的正方形 ABCD,其面积为 1
2 2

内任意取一点 P(x,y) ,则 x +y >1”事件为 A,则 A 包含的区域

为正方形内除去阴影部分,其面积为 1﹣

P(A)= 故选:C

=

点评: 本题主要考查了与面积有关的几何概率的概率公式的应用,解题的关键是准确判断 出各区域所对应的图象并求出面积.

9.一组样本数据,容量为 150,按从小到大的顺序分成 5 个组,其频数如下表: 组号 频数 1 28 2 32 3 28 4 32 5 x

那么,第 5 组的频率为( ) A. 120 B. 30 C. 0.8 D. 0.2 考点: 频率分布表. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布表,求出频数与频率即可. 解答: 解:根据频率分布表,得; 第 5 组的频数为 150﹣28﹣32﹣28﹣32=30 ∴第 5 组的频率为
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=0.2. 故选:D. 点评: 本题考查了样本容量与频数、频率关系的应用问题,解题时应用频率= 行解答,是基础题. 进

10.已知 A=(2,﹣4,﹣1) ,B=(﹣1,5,1) ,C=(3,﹣4,1) ,若



,则

对应的点为( ) A. (5,﹣9,2) B. (﹣5,9,﹣2) C. (5,9,﹣2) D. (5,﹣9,﹣2) 考点: 空间向量运算的坐标表示. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的坐标运算,求出 的终点的坐标相同,解出结果. 解答: 解: ∴ ∴ =(﹣1,0,﹣2) , =(﹣4,9,0) ; 的坐标.再根据向量坐标与以 O 为起点的有向线段

=(﹣5,9,﹣2) 对应的点(﹣5,9,﹣2)

故选 B. 点评: 本题考查向量的坐标运算.以及向量与坐标平面内点得对应关系.

11. 已知向量

与向量

平行, 则 x, y 的值分别是 (



A. 6 和 10 B. ﹣6 和 10 C. ﹣6 和﹣10 D. 6 和﹣10 考点: 向量的共线定理;平面向量共线(平行)的坐标表示.

专题: 计算题. 分析: 根据两个向量平行,写出向量平行的向量形式的充要条件 式关系,解之即可求出所求. 解答: 解:设 则(﹣4,x,y)=λ(2,﹣3,5) ( ) ,建立等

∴λ=﹣2,x=6,y=﹣10 故选 D. 点评: 本题主要考查了向量平行的向量形式的充要条件 属于中档题. 12.已知平面α,β是两个不重合的平面,其法向量分别为 n1,n2,给出下列结论: ①若 n1∥n2,则α∥β; ②若 n1∥n2,则α⊥β; ③若 n1? n2=0,则α⊥β; ④若 n1? n2=0,则α∥β. 其中正确的是( ) A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ②④ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 直接利用平面的法向量垂直于平面逐一分析四个命题得答案. 解答: 解:已知平面α,β是两个不重合的平面,其法向量分别为 ①若 ②若 ③若 ④若 ,则α∥β,命题①正确; ,则α∥β,∴α⊥β不正确,命题②错误; ,则 ,则 ,则α⊥β,命题③正确; ,∴α∥β不正确,命题④错误. , , ( ) ,是解题的关键,

∴正确的命题是①②. 故选:A. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了利用平面法向量判断判断两个平面间的 位置关系,是基础题. 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.数据 5,7,7,8,10,11 的标准差是 2 . 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 计算题.

分析: 首先做出这组数据的平均数,再利用方差的公式,代入数据做出这组数据的方差, 最后把方差开方做出这组数据的标准差. 解答: 解:∵5,7,7,8,10,11 的平均数是 ∴这组数据的方差是 =4, =8,

∴这组数据的标准差是 =2, 故答案为:2 点评: 本题考查一组数据的标准差,我们需要先求平均数,在求方差,最后开方做出标准 差,这是一个基础题,这种题目若出现是一个送分题目. 14.某市派出男子、女子两支球队参加全省足球冠军赛,男、女两队夺取冠军的概率分别是 和 .则该市足球队夺得全省冠军的概率是 .

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 求得仅男队获得冠军的概率、仅男队获得冠军的概率、男女两个队都获得冠军的概 率,相加即得所求. 解答: 解:由题意可得,只要男子、女子两支球队中有一个获得冠军,则该市足球队夺得 全省冠军. 仅男队获得冠军的概率为 ×(1﹣ )= 两个队都获得冠军的概率为 × = , + + = . ,仅男队获得冠军的概率为 (1﹣ )× = ,

∴该市足球队夺得全省冠军的概率为 故答案为: .

点评: 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,体现了分类讨论、转化的数学 思想,属于中档题.

15.已知 A(1,1,0) ,B(1,2,1) ,C(0,0,2) ,则原点 O 到平面 ABC 的距离为



考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知得 =(1,1,﹣2) , =(1,2,﹣1) , =(1,1,0) ,设平面 ABC 的法

向量 =(x,y,z) ,则

,由此利用向量法能求出原点 O 到平面 ABC 的

距离. 解答: 解:∵A(1,1,0) ,B(1,2,1) ,C(0,0,2) ,



=(1,1,﹣2) ,

=(1,2,﹣1) ,

=(1,1,0) ,

设平面 ABC 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,

取 x=3,得 =(3,﹣1,1) , ∴原点 O 到平面 ABC 的距离 d= = = .

故答案为:



点评: 本题考查点到平面的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合 理运用. 16.在下列四个结论中,正确的序号是 ①④ . ①“x=1”是“x =x”的充分不必要条件; 2 2 ②“k=1”是“函数 y=cos kx﹣sin kx 的最小正周期为π”的充要条件; 2 ③“x≠1”是“x ≠1”的充分不必要条件; ④“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的必要不充分条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 本题考察知识点为充要条件的判定,先将命题化简,然后判定. 解答: 解:①“x =x”?“x=0 或 x=1” ,则“x=1”是“x =x”的充分不必要条件,正确; ②由二倍角公式得函数 y=cos kx﹣sin kx=cos2kx, 周期 T=|
2 2 2 2 2 2 2

|, 则 “k=1” ? “函数 y=cos kx
2

2

﹣sin kx 的最小正周期为π”但当 k=﹣1,函数 y=cos (﹣x)﹣sin (﹣x)=cos2x,最小 2 2 正周期也为π,所以②“k=1”是“函数 y=cos kx﹣sin kx 的最小正周期为π”的充分不必 要条件,错误; ③“x ≠1”?“x±1” ,所以“x≠1”是“x ≠1”的必要不充分条件; ④同向不等式可以相加,所以“a>b 且 c>d”? “a+c>b+d” ,必要性满足,但是若 a+c> b+d 时,则可能有 a>d 且 c>b 则“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的必要不充分条件,正确. 故答案为:①④ 点评: ④考查不等式的基本性质,解题时要认真审题,仔细解答 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知 p:{x|x ﹣8x﹣20≤0};q:{x|x ﹣2x﹣(m ﹣1)≤0,m>0},若非 p 是非 q 的 必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
2 2 2 2 2

专题: 简易逻辑. 分析: 结合¬P 和¬q 的关系,得到不等式组,解出即可. 解答: 解:解法一:非 p:A={x|x<﹣2 或 x>10}, 非 q:B={x|x<1﹣m 或 x>1+m,m>0}. ∵非 p 是非 q 的必要不充分条件,∴非 p 推不出 非 q,非 q? 非 p, ∴B ? A,结合数轴分析知,B ? A 的充要条件是:



,解得 m≥9,

即 m 的取值范围是 m≥9. 解法二:∵非 p 是非 q 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件.而 p:M={x|﹣2≤ x≤10}, q:N={x|1﹣m≤x≤1+m,m>0}, ∴M ? N,结合数轴分析知,M ? N 的充要条件是:



,解得 m≥9,

∴m 的取值范围是 m≥9. 点评: 本题考查了充分必要条件,是一道基础题. 18.一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个,这些球除颜色外都相 同. (1)求搅匀后从中任意摸出 1 个球,恰好是红球的概率; (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个 球,求至少有一次摸出的球是红球的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)列举出所有的可能结果,找到恰是红球的结果,根据概率公式计算即可, (2)列举出所有可能出现的结果,找到至少有一次是红球的结果,根据概率公式计算即可. 解答: 解: (1)搅匀后从中任意摸出 1 个球,所有可能出现的结果有:红、黄、蓝、白, 共有 4 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“恰好是红球” (记为事件 A)的 结果只有 1 种,所以 P(A)= . (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个 球,所有可能出现的结果有: (红,红) 、 (红,黄) 、 (红,蓝) 、 (红,白) 、 (黄,红) 、 (黄, 黄) 、 (黄,蓝) 、 (黄,白) 、 (蓝,红) 、 (蓝,黄) 、 (蓝,蓝) 、 (蓝,白) 、 (白,红) 、 (白, 黄) 、 (白,蓝) 、 (白,白) ,共有 16 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“至 少有一次是红球” (记为事件 B)的结果只有 7 种,所以 P(B)= .

点评: 本题主要考查了古典概型的概率的计算,关键是一一列举出所有的基本事件,属于 基础题.

19.若点(p,q) ,在|p|≤3,|q|≤3 中按均匀分布出现. (1)点 M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确定,第一次确定横坐标,第二次确定纵坐标, 则点 M(x,y)落在上述区域的概率? (2)试求方程 x +2px﹣q +1=0 有两个实数根的概率. 考点: 几何概型;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题. 分析: (1)是古典概型,首先分析可得|p|≤3,|q|≤3 整点的个数,进而分析可得点 M 的纵横坐标的范围,可得 M 的个数,由古典概型公式,计算可得答案; (2)是几何概型,首先可得|p|≤3,|q|≤3 表示正方形区域,易得其面积,进而根据方程 x +2px﹣q +1=0 有两个实数根,则有△=(2p) ﹣4(﹣q +1)≥0,变形可得 p +q ≥1,分 析可得其表示的区域即面积,由几何概型公式,计算可得答案. 解答: 解: (1)根据题意,点(p,q) ,在|p|≤3,|q|≤3 中,即在如图的正方形区域, 其中 p、q 都是整数的点有 6×6=36 个, 点 M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确定,即 x、y 都是整数,且 1≤x≤3,1≤y≤3, 点 M(x,y)落在上述区域有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3,3) ,有 9 个点, 所以点 M(x,y)落在上述区域的概率 P1= ;
2 2 2 2 2 2 2 2

(2)|p|≤3,|q|≤3 表示如图的正方形区域,易得其面积为 36; 若方程 x +2px﹣q +1=0 有两个实数根,则有△=(2p) ﹣4(﹣q +1)>0, 2 2 解可得 p +q ≥1,为如图所示正方形中圆以外的区域,其面积为 36﹣π, 即方程 x +2px﹣q +1=0 有两个实数根的概率,P2=
2 2 2 2 2 2



点评: 本题考查几何概型、古典概型的计算,解题时注意区分两种概率的异同点. 20.为选拔选手参加“中国谜语大会” ,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本 次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为 样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90, 100]的分组作出频率分布直方图, 并作出样本分数的茎叶图 (图中仅列出了得分在[50, 60) , [90,100]的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参 加“中国谜语大会” ,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由样本容量和频数频率的关系易得答案; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5, 分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2,列举法易得. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 ﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5, 分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2.抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种, 分别为: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,a4) , (a1,a5) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a2,a3) , (a2,a4) , (a2,a5) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a3,a4) , (a3,a5) , (a3,b1) , (a3,b2) , (a4,a5) , (a4,b1) , (a4,b2) , (a5,b1) , (a5,b2) , (b1,b2) . 其中 2 名同学的分数都不在[90,100]内的情况有 10 种,分别为: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,a4) , (a1,a5) , (a2,a3) , (a2,a4) , (a2,a5) , (a3,a4) , (a3,a5) , (a4,a5) . ∴所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率 . , ,x=0.100

点评: 本题考查列举法求古典概型的概率,涉及频率分布直方图,属基础题. 21. 如图, 在△ABC 中, ∠ABC=60°, ∠BAC=90°, AD 是高, 沿 AD 把△ABD 折起, 使∠BDC=90°.

(Ⅰ)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (Ⅱ)设 E 为 BC 的中点,求 与 夹角的余弦值.

考点: 平面与平面垂直的判定;用空间向量求直线间的夹角、距离. 专题: 计算题.

分析: (Ⅰ)翻折后,直线 AD 与直线 DC、DB 都垂直,可得直线与平面 BDC 垂直,再结合 AD 是平面 ADB 内的直线,可得平面 ADB 与平面垂直; (Ⅱ)以 D 为原点,建立空间直角坐标系,分别求出 D、B、C、A、E 的坐标,从而得出向量 、 的坐标,最后根据空间向量夹角余弦公式,计算出 与 夹角的余弦值.

解答: 解: (Ⅰ)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB∩DC=D, ∴AD⊥平面 BDC, ∵AD? 平面 ADB ∴平面 ADB⊥平面 BDC (Ⅱ)由∠BDC=90°及(Ⅰ)知 DA,DB,DC 两两垂直, 不防设|DB|=1,以 D 为坐标原点, 分别以 、 、 所在直线 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

易得 D(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,3,0) , A(0,0, ∴ = =(1,0,0) , ∴ 与 夹角的余弦值为 ) ,E( , ,0) , ,

cos<



>=

=



点评: 图中 DA、DB、DC 三条线两两垂直,以 D 为坐标原点建立坐标系,将空间的几何关系 的求解化为代数计算问题,使立体几何的计算变得简单. 22.如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,设 AC 与 BD 相交于点 O,若∠DAB=∠DBF=60°, 且 FA=FC.

(1)求证:FC∥平面 EAD; (2)求二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,所以 AD∥BC,DE∥BF,可得平面 FBC∥平 面 EAD,由此能够证明 FC∥平面 EAD; (2) 证明 FO⊥平面 ABCD. 由 OA, OB, OF 两两垂直, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz. 设 AB=2. 因 为四边形 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,则 BD=2,求得平面 BFC、平面 AFC 的法向量,由此能 求出二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值. 解答: (1)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD∥BC,DE∥BF. 因为 AD? 平面 FBC,DE? 平面 FBC, 所以 AD∥平面 FBC,DE∥平面 FBC…(2 分) 又 AD∩DE=D,AD? 平面 EAD,DE? 平面 EAD, 所以平面 FBC∥平面 EAD 又 FC? 平面 FBC, 所以 FC∥平面 EAD…(4 分) (2)解:连接 FO、FD,则 因为四边形 BDEF 为菱形,且∠DBF=60°, 所以△DBF 为等边三角形, 因为 O 为 BD 中点.所以 FO⊥BD, 又因为 O 为 AC 中点,且 FA=FC, 所以 AC⊥FO 又 AC∩BD=O,所以 FO⊥平面 ABCD…. (6 分) 由 OA,OB,OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 设 AB=2,因为四边形 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,则 BD=2,OB=1, , 所以 …..(8 分) 所以 =( ,0, ) , =( ,1,0) ,

设平面 BFC 的一个法向量为 =(x,y,z) , 则有 ,令 x=1,则 =(1,﹣ ,1)

因为 BD⊥平面 AFC,所以平面 AFC 的一个法向量为

=(0,1,0)…. (10 分)

因为二面角 A﹣FC﹣B 为锐二面角,设二面角的平面角为θ 则 cosθ=| |= ,

所以二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值为

…(12 分)

点评: 本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法, 考查学生分析解决问题的能力,注意向量法的合理运用.


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