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高中数学人教A版选修2-2课件3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义ppt版本_图文

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
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1.掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

重难聚焦
1.如何理解复数代数形式的加、减运算法则的合理性? 剖析:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆 运算,其合理性可以从以下几点理解: (1)当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致. (2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立. (3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数. (4)可以推广到多个复数进行加、减运算.

重难聚焦
2.进一步理解复数减法运算的几何意义. 剖析:复数的减法用向量来进行运算时也可实施平行四边形法 则. 设与复数a+bi 对应, 1与复数c+di 对应, 如图所示,以 为一条对角线, 1为一边作平行四边形,那么这个平行四边形的另 一边2所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i 对应.

典例透析

题型一

题型二

题型三

复数的加、减运算 【例1】 计算:

(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);

(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i). 分析:根据复数的加法、减法法则进行计算. 解:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)

=(3-4-3)+(-5-1-4)i =-4-10i. (2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)

=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i. 反思复数的加法、减法法则的记忆: 方法一:复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. 方法二:把i看作一个字母,类比多项式加减运算中的合并同类项.

题型一

题型二

题型三

典例透析

【变式训练1】 计算:(1)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); (2)(i2+i)+|i|+(1+i); (3)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i); (4)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]. 解:(1)原式=(-1+3i)+(-2-i)+(1-2i)=(-3+2i)+(1-2i)=-2.
(2)原式=(-1+i)+ 0 + 12 + (1 + i) = ?1 + i + 1 + (1 + i) = 1 + 2i.
(3)原式=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i. (4)原式=5i-(4+i)=-4+4i.

典例透析

题型一

题型二

题型三

复数加、减运算的几何意义
【例2】 在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以 AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的 长.
分析: =+→z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1)→z4→|z4-z1| 解:如图, 对应复数z3-z1, 对应复数z2-z1, 对应复数z4-z1. 由复数加、减运算的几何意义,得 = + ,
∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1). ∴z4=z2+z3-z1
=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i. 故 AD 的长为|| = |4 ? 1|
=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2 10.

题型一

题型二

题型三

典例透析

反思1.根据复数加、减运算的几何意义可以把复数的加、减运算 与向量的运算联系起来.
2.利用向量进行复数的加、减运算时,同样满足平行四边形法则 和三角形法则.
3.复数加、减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问 题提供了可能.

题型一

题型二

题型三

典例透析

【变式训练 2】 已知复平面内平行四边形 ABCD,点 A 对应的
复数为 2+i,向量对应的复数为 1 + 2i, 向量对应的复数为 3 ?
i, 求: (1)点 C,D 对应的复数; (2)平行四边形 ABCD 的面积.

典例透析

题型一

题型二

题型三

解:(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,

所以向量 对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.

又 = + ,

所以点 C 对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.

因为 = , 所以向量对应的复数为3-i,即 = (3, ?1).

设 D(x,y),则 = ( ? 2, ? 1) = (3, ?1).

所以

-2 = 3, 解得 -1 = -1,



= =

50,,所以点

D

对应的复数为

5.

(2)因为 · = ||||cos B,

所以

cos

B=

· | || |

=

3-2 5× 10

=

1 52

=

102.

所以

sin

B=

7 52

=

7102.

所以 S=||||sin B=



10

×

72 10

=

7.

故平行四边形 ABCD 的面积为 7.

典例透析

题型一

题型二

题型三

综合应用

【例 3】 设 z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2, 求|1 ? 2|.

分析:方法一:设出z1,z2的代数形式,利用模的定义求解. 方法二:利用复数加、减运算的几何意义求解.

解:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). 由题意知a2+b2=1,c2+d2=1,

(a+c)2+(b+d)2=2,∴2ac+2bd=0.

∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2
=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,
∴|z1-z2|= 2.
方法二:设复数 z1,z2,z1+z2 分别对应向量1, 2, .
∵|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2, ∴平行四边形 OZ1ZZ2 为正方形. ∴|z1-z2|=|21| = || = 2.

题型一

题型二

题型三

典例透析

反思1.解决复数问题时,设出复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R),利用 复数相等或模的概念,列方程求实部、虚部可把复数问题实数化.
2.利用复数加、减运算及模的几何意义,应用数形结合的思想,可 以直观简便地解决复数问题.
3.掌握以下常用结论: 在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标 原点,有 (1)四边形OACB为平行四边形; (2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形; (3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形; (4)若|z1|=|z2|,且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.

典例透析

题型一

题型二

题型三

【变式训练3】 若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值.

解:方法一:设复数-i,i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3, 如图.
∵|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2, ∴复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,由图易知 当点Z与Z1重合时,|ZZ3|最小,且最小值为1.

典例透析

题型一

题型二

题型三

方法二:设 z=x+yi(x,y∈R).
∵|z+i|+|z-i|=2,

∴ 2 + ( + 1)2 + 2 + (-1)2 = 2.

又 2 + ( + 1)2 = 2 ? 2 + (-1)2≥0,

∴0≤1-y= 2 + (-1)2≤2,
即(1-y)2=x2+(y-1)2,且 0≤1-y≤2.
∴x=0,且-1≤y≤1,则 z=yi(-1≤y≤1).
∴|z+i+1|=|1+(y+1)i|= 12 + ( + 1)2≥1,等号在 y=-1,
即 z=-i 时成立.
∴|z+i+1|的最小值为 1.

再见
2019/11/21