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高中数学人教A版必修4课件2.3.4《平面向量共线的坐标表示》_图文

2.3.4平面向量共线的坐标 表示 本课时通过平面向量基本定理推出平面向量共线充 要条件的两种表达形式,特别是坐标表示形式,然后通 过平面向量的坐标表示解决向量平行,三点共线和中点 坐标公式,定比分点公式等. 本课内容在高考的考察中所占的比重比较大,因此 要加以重视,在教学过程中要以讲练结合为主,为了在 解析几何中与判断两直线平行区分开来,本课要注意判 断两直线平行与两向量平行有什么异同? (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 1. 对于平面内的任一向量a,由平面向量基本定理可得,有且 只有一对实数x、y,使得a=xi+yj。我们把有序数对(x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y). y yj a xi j O i x 2. 向量的坐标运算:a ? (x1,y1 ) b ? (x2,y2 ) a ? b ? (x1 ? x2,y1 ? y2 ) a ? b ? (x1 ? x2,y1 ? y2 ) ? a ? (? x, ? y ) 若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ). ? ? ? ? ? 3.平面向量共线定理:a// b ? b ? 0 ? ? a ? ? b ? ? ? ? ? 问题: 如果向量 a ,b 共线(其中 b ≠ 0 ),那么 a , b满 足什么关系? a ? ?b 思考: 设a=(x1,y1), b=(x2,y2),若向量 a, b 共线(其中b ≠ 0), 则这两个向量的坐标应满足什么关系? 结论: 设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),(其中 b ? 0 ), 当且仅当 x1 y 2 -x2 y1 = 0 向量 a 与向量 b 共线。 即: a / /b(b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 两个非零向量平行(共线)的充要条件 设a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? (b ? 0) 当且仅当存在实数 ? ,使 a ? ?b 即a // b ? a ? ? b a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 注:(1)消去λ时不能两式相除 y1 y2 ? (2)充要条件不能写成 x1 x2 ? ? 例1 已知 a b =(6, y),且 =(4,2), ? ? a// b ,求 y. 解: a // b ? 4y ? 2? 6 ? 0 ? y?3 1. 已知向量a = (2,1), b = ( x, - 1), m = a + 2b, u = 2a - b, 且m // u , 求x的值. x= - 2 4 tan a = 3 2. 已知向量a = (3, 4), b = (cos a ,sin a ), 且a // b, 求 tan a的值. 3、与a ? (12,5)平行的单位向量是( C ) 12 12 5 (A)( , 5) (B)( ? , ? ) 13 13 13 12 5 12 5 12 5 (C)( , )或( ? , ? ) (D)( ? , ? ) 13 13 13 13 13 13 4. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向 量ka-b与a+3b平行? 并确定它们是同向还是 反向. 解:ka-b=(k-2, -1), ∵ka-b与a+3b平行 这两个向量是反向。 a+3b=(7, 3), ? ? 例2若向量 a =(-1,x)与 b=(-x, 2)共线 且方向相同,求x 解:∵ ? ? a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线 ∵ ∴(-1)×2- x?(-x)=0 ? ? a 与b方向相同 ∴x= 2 ∴x=± 2 练习: 已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) , 向量 AB 与 CD 平行吗?直线AB与平行于直线CD吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴ AB∥ CD 又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) AB =(2, 4),2×4-2×6?0 ∴ AC 与 AB 不平行 ∴ A,B,C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD → → 例3 如果向量AB=i-2j,BC=i+mj,其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量, 试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线. 【解】 → → 法一:A、B、C 三点共线,即AB、BC共线, → → ∴存在实数 λ,使得AB=λ BC.即 i-2j=λ(i+mj), ? ?λ =1, 于是? ∴m=-2, ? ?λ m=-2, 即 m=-2 时,A、B、C 三点共线. → → 例3 如果向量AB=i-2j,BC=i+mj,其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量, 试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线. 法二:依题意知 i=(1,0),j=(0,1), 【方法小结】 利用向量平行证明三点共线需分两步完 → 而AB=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), 成:(1)证明向量平行;(2)证明两个向量有公共点. → BC=(1,0)+m(0,1)=(1,m), → → 而AB、BC共线, ∴1×m-1×(-2)=0, ∴m=-2, 故当 m=-2 时,A、B、C 三点共线. 变式训练 → 设 A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当 x 为何值时,AB与 → CD共线且方向相同,此时,A,B,C,D 能否在同一条直线上? → 解:AB=(2x,2)-(x,1)=(x,1), → BC=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x

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