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2任意角的三角函数及三角函数线(教师版)


任意角的三角函数及三角函数线
考点回顾: 1、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) ,P 与 原点的距离为 r, 则
sin ? ?

y r y; r . x x csc? ? . cos ? ? ; tan ? ? ; cot? ? ; sec ? ? ; x r x r y y

2、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ o x - 正弦、余割

+

- + o - + x
余弦、正割

y

- + o x + 正切、余切

3、三角函数线 正弦线: MP ;
y P T
P _

余弦线: OM ;

正切线: AT .

y _

O

M

Ax

M _

O _

A _ _ x T _

例 1:角 ? 终边上一点 P(2a,?3a)(a ? 0) ,求 sin ? , cos? , tan? , cot? , sec? , csc? 解:由题意 x ? 2a , y ? ?3a , r ? ∴ sin ? ?

x 2 ? y 2 ? ? 13a

y 3 x 2 13 y ? 3a 3 13 , cos? ? ? ? , tan ? ? ? ? ? ? x 2 r 13 r ? 13a 13

c o? t ?

x 2 r 13 r 13 ? ? , sec? ? ? ? , csc? ? ? y 3 x 2 y 3

os 变式: 已知角 ? 的终边经过点 P( x,? 2 ) ( x ? 0) , 且c
解:∵ P( x,? 2 ) ,∴ r ? ∴ cos ? ?

??

3 i n ? ?c o t ? 的值。 x, 求s 6

x2 ? 2
? 3 x ,解得 x ? ? 10 ,∴ r ? 2 3 6
?? 6 10 , cot ? ? ?? 5, 6 ? 2

x ? r

x x2 ? 2

当 x ? 10 时, sin ? ?

? 2 2 3

第 1 页 共 8 页

∴ sin ? ? cot ? ?

? 6 ?6 5 6

当 x ? ? 10 时, sin ? ?

? 2 2 3

??

6 ? 10 , cot ? ? ? 5, 6 ? 2

∴ sin ? ? cot ? ?

? 6 ?6 5 6
C、等于 0 D、不存在

例 2: sin 2 ? cos 3 ? tan 4 的值 A、小于 0 B、大于 0 解:

3? ,所以 2、3 为第二象限角,4 为第三象限角, 2 2 cos 3 ? 0, tan 4 ? 0 ,∴ sin 2 ? cos 3 ? tan 4 ? 0 ∴ sin 2 ? 0, ? 2?3?? ? 4? 37 sin 4 ?; (3) ; (4)sin 2 ? cos 2 , 12 cot 4

?

答案:A 变式 1:下列各三角函数值: (1)sin 1125 ? ; (2)tan 其中负值的个数为( A、1 个 B、2 个 ) C、3 个

D、4 个

? ? sin(3 ? 360? ? 45?) ? sin 45? ? 0 , 解: sin 1125
tan 37 ? ? ? ? tan( 3? ? ) ? tan ? 0 12 12 12

sin 4 ?0 cot 4 2 为第二象限角,∴ sin 2 ? 0 , cos 2 ? 0 ,∴ sin 2 ? cos 2 ? 0
4 为第三象限角,∴ sin 4 ? 0 , cot 4 ? 0 ,∴ 答案:A 变式 2:已知 ? 为第四象限角,判断 sin(cos? ) ? cos(sin? ) 的符号。 解:∵ ? 为第四象限角,∴ 0 ? cos ? ? 1 ? ∴ sin(cos? ) ? 0 , cos(sin? ) ? 0 ∴ sin(cos? ) ? cos(sin? ) ? 0 变式 3:若 解:∵

?
2

,?

?
2

? ?1 ? sin ? ? 0

5? ? x ? 3? ,∴ tan x ? 0 ,∴ 2 tan x ? 2 0 ? 1 2

5? ? x ? 3? ,求 3tan x?log3 2 ? 4 tan x ? 21?tan x ? 1 的值。 2

∴ 3tan x?log3 2 ? 4 tan x ? 21? tan x ? 1 ? 2 tan x ? | 2 tan x ? 1 |? 2 tan x ? 2 tan x ? 1 ? 1 说明:本例主要考查三角函数的符号 例 3:在单位圆中画出适合下列条件的角 ? 的终边的范围,并由此写出角 ? 的集合:

第 2 页 共 8 页

(1) sin ? ? 解:

1 3 ; (2) cos ? ? ? 2 2
y
3 2

x??

1 2

y

y?

O

x

O

x

满足 sin ? ?

3 ? 2? ? ? 的角 ? 的集合为 ? x | 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,k ? Z? 2 3 3 ? ?
1 2? 4? ? ? 的角 ? 的集合为 ? x | 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,k ? Z? 2 3 3 ? ?

满足 cos ? ? ?

变式: (1)如果角 ? 的正弦线长度大于余弦线长度,则 ? 的范围为_______________ (2)若 sin ? ? cos ? ,则 ? 的范围为_______________ 解: (1)利用三角函数线, ? 的范围为 ?? | k? ?

? ?

?
4 ? ?

? ? ? k? ?

3? ? ,k ? Z? 4 ? ? ? ? 2k? ? 5? ? ,k ? Z? 4 ?

(2) 利用三角函数线或三角函数图像, ? 的范围为 ?? | 2k? ? 说明:本例主要考查三角函数线。 例 4:已知 x ? ? 0,

?
4

? ?? ? ,求证: sin x ? x ? tan x 。 ? 2?
y P T

证明:在单位圆中,设有向线段 MP , AT 分别是角 x 的正 弦线和正切线。连结 AP ,设弧 AP 的长为 l ,则 l ? x . ∵ S ?AOP ? S扇形AOP ? S ?AOT

1 1 1 即 OA ? MP ? OA ? l ? OA ? AT 2 2 2 ∴ MP ? l ? AT ∴ sin x ? x ? tan x

O

M

A

x

说明: (1)本题还可以利用导数证明函数的单调性。 (2) 在同一直角坐标系内画正弦函数和正切函数图像时, 要注意两个函数图像的位置关系, 其中 y ? x 是两个函数的公切线。 变式:利用三角函数线证明:若 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则有 ? ? ? ? sin ? ? sin ?

第 3 页 共 8 页

证明:设单位圆与 x 轴正半轴交于点 A ,与角 ?、? 的 终边分别交于点 Q、P ,过 Q、P 分别作 OA 的垂线, 垂足为 N、M , 则 sin ? ? NQ, sin ? ? MP , 过点 Q 作 O H

P Q N A

M

QH ? MP于H ,则 HP ? MP ? NQ ? sin ? ? sin ? ,
由图可知, HP ? PQ ? AP ? AQ ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? sin ? ? sin ? 说明:本题还可以通过证明 f ( x) ? x ? sin x 在 ? 0,

? ?? ? 上单调递增得到。 ? 2?

例 5:已知长方形的四个顶点 A(0,0) 、B(2,0) 、C(2,1)和 D(0,1) ,一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的 点 P2、P3 和 P4(入射角等于反射角).设 P4 的坐标为(x4,0).若 1<x4<2,求 tanθ 的取值 范围.

D (0,1) P2 P3 A P0 P 4

C(2,1) P 1 B(2,0)

解:设 P1B=x,∠P1P0B=θ ,则 CP1=1-x, ∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3 均为θ ,∴tanθ =

P1 B =x. P0 B

又 tanθ =

CP 1? x 1 = =x, CP2 CP2

1? x 1 = -1. x x PD DP3 DP3 而 tanθ = 3 = = =x, 1 1 P2 D 2 ? ( ? 1) 3 ? x x 1 ∴DP3=x(3- )=3x-1. x
∴CP2= 又 tanθ =

AP3 1 ? (3 x ? 1) 2 ? 3 x = = =x, AP4 AP4 AP4

∴AP4=

2 ? 3x 2 = -3. x x
第 4 页 共 8 页

依题设 1<AP4<2,即 1<

2 -3<2, x

2 1 x 1 <5, < < x 5 2 4 2 1 ∴ <tanθ < . 5 2
∴4< 实战训练 1、已知角α 的终边过点 P(-1,2),cosα 的值为 A.- ( ) D.

5 5

B.- 5

C.

2 5 5

5 2


2.已知角 ? 的终边在函数 y ? ? | x | 的图象上,则 sin ? 的值为 (

A.

2 2 B.- 2 2

C.

2 2 或- 2 2

D.

1 2
( )

3、已知角α 的终边过点 P(4a,-3a) (a<0),则 2sinα +cos α 的值是 2 A. 5 2 B.- 5 C.0 D.与 a 的取值有关

4、若角 ? 的终边过点 (3cos ? , ?4cos ? )(? 为第二象限角) ,则 sin ? ? ( A.



4 4 3 3 B. ? C. D. ? 5 5 5 5

? ) cot(sin? ) ? 0 ,则 ? 所在象限为( ) 5、已知 tan(cos
A.第一象限或第三象限 C.第二象限或第三象限 B.第一象限或第四象限 D.第二象限或第四象限 ( B. [2k? ? )

6、函数 y ? sin x ? ? cos x 的定义域是 A. (2k? , (2k ? 1)? ) , k ? Z C. [ k? ?

?
2

, (2k ? 1)? ] , k ? Z

?
2

, ( k ? 1)? ] , k ? Z

D.[2kπ , (2k+1)π ], k ? Z

7、若θ 是第三象限角,且 cos

?
2

? 0 ,则

? 是 2

( D.第四象限角 ( ) D.第四象限



A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 8、已知点 P( tan ? , cos ? )在第三象限,则角 ? 在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

9.若 ? 是第一象限角,则 sin 2? , sin A.0 个 B.1 个

?
2

, cos

?
2

, tan

?
2

, cos 2? 中能确定为正值的有(
D.2 个以上



C.2 个
第 5 页 共 8 页

10.下列函数中与函数 y ? tan ? 有相同定义域的个数是( ) (1) y ? A.1

1 1 ? sin ? (2) y ? sec ? (3) y ? cs c ? (4) y ? cot ? cos ?
B.2 C .3 D.4 ( B. sin 1 ? tan 1 ? cos 1 D. tan 1 ? cos 1 ? sin 1 )

11、 sin 1 、 cos 1 、 tan 1 的大小关系为 A. sin 1 ? cos 1 ? tan 1 C. tan 1 ? sin 1 ? cos 1

12.已知 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ?

2 ,那么这个三角形的形状( 3



A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形 13.已知 ? 的终边在第二象限,则下式子中可能成立的是 ① cos ③ sin

?
2 2

? sin ? cos

?
2

? tan ? tan

?
2

② tan ④ sin

?
2

? cos ? tan

?
2 2

? sin ? cos

?
2

?

?
2

?
2

?
2

?

?
2

A. ①② B. ①③ C. ②③ 14、已知 sinα tanα ≥0,则α 的取值集合为 15、已知角θ 的终边在直线 y =

D. ③④ . ; tan ? = .

3 x 上,则 sinθ = 3

16.函数 y ? 36 ? x 2 ? lg cos x 的定义域是_________. 17、函数 y ?

sin x cos x tan x cot x 的值域为_____________ ? ? ? sin x cos x tan x cot x
7π 正弦线、余弦线、正切线. 6

18、试作出角α =

19、(1)已知角 ? 的终边经过点P(4,-3),求2sin ? +cos ? 的值; (2)已知角 ? 的终边经过点 P(4a,-3a)(a≠0),求 2sin ? +cos ? 的值; (3)已知角 ? 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶4(且均不为零) , 求 2sin ? +cos ? 的值. 20.角 ? 的终边上的点 P 和点 A( a , b )关于 x 轴对称( ab ? 0 )角 ? 的终边上的点 Q 与 A 关于直线 y ? x 对称. 求 sin ? ? sec ? ? tan? ? cot ? ? sec? ? csc ? 的值.

答案:

1—5
? ?

ABAAA

6—10

BBBCB

11—13

CBB

14、 ?? | ?

?
2

? 2k? ? ? ?

?

? ? 2k? , k ? Z ? ; 2 ?

第 6 页 共 8 页

15、 sin ? ? ?

1 3 ; tan? ? . 2 3

16、 ?? 6,?

? ?

3? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? , ? ? ? ,6 2 ? ? 2 2? ? 2 ? ?
18、略

17、 ??2,0, 4?

19、 (1)∵ x ? 4, y ? ?3 ,∴ r ? 5 ,于是: 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? (2)∵ x ? 4a, y ? ?3a ,∴ r ? 5 a ,于是:

?3 4 2 ? ?? . 5 5 5

?3 4 2 ? ?? 5 5 5 3 ?4 2 ? 当 a ? 0 时, 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? ? 5 5 5
当 a ? 0 时, 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? (3)若角 ? 终边过点 P?4,3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ?

20、解:由已知 P( a,?b), Q(b, a) ,
sin ? ? ?b a2 ? b2 , sec ? ?

3 4 ? ? 2; 5 5 3 ?4 2 ? ; 若角 ? 终边过点 P?? 4,3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? ? 5 5 5 ?3 ?4 ? ? ?2 ; 若角 ? 终边过点 P?? 4,?3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? 5 5 ?3 4 2 ? ?? . 若角 ? 终边过点 P?4,?3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? 5 5 5
a2 ? b2 b b , tan ? ? ? , cot ? ? b a a



sec ? ?

a2 ? b2 a2 ? b2 , , csc ? ? a a
a a

2 2 2 故原式=-1- b ? a ? b ? 0 . 2 2

直击高考: 1.(2009 全国卷Ⅱ)已知△ABC 中, cot A ? ? (A)

12 13

(B)

5 13

12 ,则 cos A ? 5 5 12 (C) ? (D) ? 13 13

答案:D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? 选 D 和 B,再由 cot A ? sin A 5 13 ? 1 (k Z ?) ”是“ cos 2? ? ”的 2.(2009 北京) “ ? ? ? 2 k? ( ) 6 2
解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?
第 7 页 共 8 页

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 本题主要考查三角函数的基本概念、 简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基本运算的考查. 当? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? , 6 3? 3 2 ?
1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

反之,当 cos 2? ?

或 2? ? 2k? ?

?

3

? ? ? k? ?

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.

第 8 页 共 8 页


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