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6.4第一型曲线积分的计算


§6.4

第一型曲线积分的计算

一、第一型曲线积分的概念

1.曲线形物体的质量
设曲线形物体在xoy 平面上占有可求长曲线 L, 其线密度为连续函数 f ( x, y) ,求该物体的质量 m。

y
M1

M2

M i?1

(?i ,?i )

Mi

L
M n?1

A

B

o

x

(1)分割 在 L上 任取点列 M1 , M 2 ,?M n?1 ,把 L 分为 n 小 段

?si (i ?1, 2, ?, n) ,同时也以 ?si 表示第 i 小段弧长。 (2)近似
?(?i , ?i )??si ,则第 i 小段的质量?m ? f (?i , ?i )?si 。
(3)求和
m ? ? f (? i , ?i )?si 。
i ?1 n

(4)取极限 令 d ? max{?si } ,则 m ? lim ? f (? i , ?i )?si 。
1?i?n
d ?0 i ?1 n

2.第一型曲线积分的定义
设L 为 xoy 面内的一条光滑(或分段光滑)曲线弧,
f ( x, y ) 在 L上 有界。任取点列 M 1 , M 2 ,? M n ?1 ,把 L 分
?s i 为 n 小 段 ? s i (i ? 1, 2, ?, n ) , 同时也以
n

i小 表示第

段弧长。任取 (? i , ? i ) ? ?S i ,作和式? f (? i , ?i )?si ,
i ?1

设 d ? max{?S i } ,如果当d ? 0 时,和式的极限总存在,
1?i ?n

则称此极限为 f ( x, y ) 在曲线弧L上 的第一型曲线积分

或对弧长的曲线积分,记作 ? f ( x, y )ds ,即
L

f (?i ,?i )?si ? ?L f ( x, y )ds ? dlim ?0
i?1

n



其中 f ( x, y ) 称为被积函数, L 称 为积分弧段。
注: (1)当 f ( x, y) 在光滑曲线L上 连续时, ? f ( x, y )ds 存在。
L

(2)将上述定义推广,可得空间曲线L上 的第一型曲线 积分:
f (?i ,?i ,? i )?si ? ?L f ( x, y, z )ds ? dlim ?0
i?1 n



二、第一型曲线积分的性质
(1) ?[ f ( x, y ) ?g ( x, y )]ds ? ? f ( x, y )ds ? ? g ( x, y )ds ;
L L L

(2) ? kf ( x, y )ds ? k ? f ( x, y )ds (k为常数 ) ;
L L

(3) ? f ( x, y)ds ? ? f ( x, y)ds? ? f ( x, y)ds, ( L ? L1 ? L2 ) 。
L L1 L2

若L 是闭曲线,则函数 f ( x, y) 在L上 的第一型曲线 积分记为

?L f ( x, y)ds 。

三、第一型曲线积分的计算法
设曲线弧L光滑或分段光滑, f ( x, y)在L上连续, 由第一型曲线积分的定 义,利用弧微分公式, 可 把 第一型曲线积分化成定 积分计算

弧微分公式:

ds ? (dx)2 ? (dy)2
b 2 ? f ( x, y( x)) 1 ? y dx

(1) 若曲线L的方程为 y ? y( x), a ? x ? b, 则

?

L

f ( x, y)ds ? ?

a

?x ? x(t ) (2) 若曲线L的方程为? ,? ? t ? ? , 则 ? y ? y(t )

?

f ( x, y)ds ?

L

?

?

?

f ( x(t ), y(t )) x?2 (t ) ? y?2 (t ) dt

? x ? ? (? )cos? 3.若 L由 方程 ? ? ? (? ) 或? (? ?? ? ? ) 给出,则 ? ? y ? ? (? )sin
取 ? 为参数, ds ? ? 2 (? ) ? ? ? 2 (? )d? ,

?L

f ( x , y )ds ?

??

?

f [ ? (? ) cos ? , ? (? ) sin ? ] ? 2 (? ) ? ? ? 2 (? )d?

4. 若空间光滑曲线 L的 参数方程为
x ? x( t ) , y ? y( t ) , z ? z(t ) (? ? t ? ? ) ,则

ds ?

x ? 2 ( t ) ? y ? 2 ( t ) ? z ? 2 ( t )dt ,

?L

f ( x , y , z )ds ?

??

?

f [ x( t ), y( t ), z( t )] x ? 2 ( t ) ? y ? 2 ( t ) ? z ? 2 ( t )dt

注:
(1)第一型曲线积分与曲线的方向无关,化为关 于参数的定积分计算时,上限必须大于下限.
(2)对

?L f ( x, y)ds 来说, f ( x, y) 是定义在 L 上的,

被积函数中的 x,y 应满足 L 的方程,故可利 用 L 的方程化简被积函数.

例1 求

?

L

x ds

L : x 2 ? y 2 ? R 2 , y ? 0.
R2 ? x2 ,
2 2

解 (法一) : L : y ?

?R? x? R R R ?x
2

ds ? 1 ? y? ( x) dx ?

dx

? xds ? ?
L

R

xR R ?x
2 2

?R

dx ? 0
,0 ? ? ? ?
2 2

? x ? R cos? (法二) : L : ? ? y ? R sin ? ds ?
2 2

R sin ? ? R cos ? d?
2 2

? xds ? ?
L

?

0

R cos?d? ? R sin ?

?
0

?0

例2

? ( x ? y)ds, L : 连接三点 O(0,0), A(1,0), B(0,1)的折线.
L

y?0 ? 解 OA : ? ?0 ? x ? 1 ? y ? 1? x AB : ? ?0 ? x ? 1 ?x ? 0 OB : ? ?0 ? y ? 1

ds ? dx ds ? 2dx

y
B

ds ? dy
1

o

A

x

? ? ( x ? y )ds ?
L

?

1

0

xdx ? ?
1 0

0

2dx ? ? ydy
0

1

1 2 ? x 2

?

1 2 2? y 2

1 0

? 1?

2

例 3.计算 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )ds ,其中 L 为球面
L

?

1 2 ? 9 ? 2 2 2 ( x? ) 2 ? y ? x ? y ?z ? 2 ? ?1, ? 解: L : ? ? 2 2 4 ? ? x ? z ? 1 ? ? z ? 1? x . 1 ? ? x ? 2 ? 2 cost , ? (0 ? t ? 2? ) , 其参数方程为: ? y ? 2sint , ? 1 ? z ? 2 ? 2 cost . ?

x ? y ? z ? 与平面 x ? z ?1 的交线. 2

2

2

2 9

ds ? ( ? 2 sint ) 2 ? ( 2 cos t ) 2 ? ( 2 sint ) 2 dt ? 2dt ,
2? 9 9 故 ( x ? y ? z )ds ? ds ? ? 2dt ?18? . L L 2 0 2

?

2

2

2

?

?

x2 y2 例 4.设 L 为椭圆 ? ?1 ,其周长为 a, 4 3



?L

(3 x 2 ? 4 y 2 ? 2 xy)ds 的值.

x2 y2 ? ?1 ,∴ 3 x 2 ? 4 y 2 ?12 , 解:∵ 4 3


?L (3 x ? 4 y ? 2 xy)ds (代入L的方程) ? ? (12 ? 2 xy)ds L ? 12? ds ? 2 ? xy ds ?12 a ? 0 ?12 a . L L
2 2

L关于y轴对称,被积函数xy关于x为奇函数

例 5.设 L 为球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2 与平面 x ? y ? z ? 0 的 交线,求

?L

( z ? y 2 )ds .

解:∵ L 为球面x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 与平面x ? y ? z ? 0 的交线,

而平面 x ? y ? z ? 0 通过原点,
∴ L 为平面x ? y ? z ? 0 上半径为 R 的圆,其周长为 2?R .

∵曲 线 L 的 方程对 x,y,z 具有轮换对称性,
1 yds ? ( x ? y ? z )ds ? 0 , ∴ zds ? xds ? L L L 3 L

?

?

?

?

?

1 y ds ? x ds ? z ds ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )ds L L L 3 L
2

?

2

?

2

?

?

1 2 1 2 R ds ? R 2 ? 2?R ? ?R 3 , L 3 3 3

?

2 3 y ds ? ?R . ∴ ( z ? y )ds ? zds ? L L L 3

?

2

?

?

2

第一型曲线积分的几何意义
??( x, y ) ? 0 设 L 为 xoy 面上的光滑曲线,其方程为 ? , ?z ?0

在 L上 定义连续函数 f ( x, y ) ? 0 ,它的图形是空间曲线
z ? f ( x, y ) ? :? ,在柱面?( x, y ) ? 0 上介于L与? 之间的 ? ? ?( x , y ) ? 0

曲面的面积就是 ? f ( x, y )ds 。
L

z
?
f ( x, y )ds

o

y
L

x
L

当 f ( x, y) ? 0 时, ? f ( x, y )ds 表示以L为 准线, 母线平行于 z 轴 ,高为 f ( x, y) 的柱面面积。

例 6.求圆柱面 x 2 ? y 2 ?1 位于平面 z ? 0 上方与
z ? y 下方那部分的侧面积。

?x ? cost 解:L : x ? y ?1, y ? 0 ,? , 0??? ? , ? y ? sin t
2 2

S ? ? yds? ? sin tdt ?2 。
L 0

?

作 业
习 题6.4( P 1 1 0) 1( 4 )(6 )(7 ); 2; 3


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