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2.2 函数的定义域和值域学案(高考一轮复习)


红光中学教学案

高中数学一轮复习

2014 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第 2 节 函数的定义域与值域
一.学习目标: 1. 了解定义域、值域是构成函数的要素; 2.会求一些简单函数的定义域和值域. 二.学习重、难点: 1.学习重点:会求定义域、值域是构成函数的要素; 2.学习难点:会求一些简单函数的定义域和值域. 三.学习方法:讲练结合 四.自主复习: 1.常见基本初等函数的定义域

(1)分式函数中分母___________. (2)偶次根式函数被开方式____________. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (4)y=ax(a>0 且 a≠1),y=sinx,y=cosx,定义域均为 R. (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的定义域为__________. (6)y=tanx 的定义域为________________________. (7)函数 f(x)=x0 的定义域为_____________. (8)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,还要考虑实际问题对 函数自变量的制约.

2.基本初等函数的值域

(1)y=kx+b(k≠0)的值域是___. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当 a>0 时,值域为________________; 当 a<0 时,值域为_______________. k (3)y= (k≠0)的值域是___________. x
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(4)y=a (a>0 且 a≠1)的值域是___________. (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是____. (6)y=sinx,y=cosx 的值域是_________. (7)y=tanx 的值域是_____.

x

五.复习前测: 1 1.函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是( 1-x A.(-∞,-1) B.(1,+∞)

)

C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)

1 2.函数 f(x)= (x∈R)的值域是( 1+x2 A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)

)

3.已知全集 U=R,设函数 y=lg(x+1)的定义域为集合 A,函数 y= x2+2x+5的 值域为集合 B,则 A∩(?UB)=( A.(-1,2] B.[-1,2] C.(-1,2) D.[-1,2) )

4.函数 f(x)=

x-4 的定义域为__________. |x|-5

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x -x+1,x<1 ? ? 5.函数 f(x)=?1 的值域是__________. ?x,x>1 ?

2

要点点拨: 1.函数定义域的求法 第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值 集合; 第二类是实际问题或几何问题,此时除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问 题或几何问题有意义. 2.求函数值域的基本方法 (1)观察法:一些简单函数,通过观察法求值域. (2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域. (3)换元法:形如 y=ax+b± cx+d(a、b、c、d 均为常数,且 a≠0)的函数常用换元 法求值域,形如 y=ax+ a-bx2的函数用三角函数代换求值域. cx+d (4)分离常数法:形如 y= (a≠0)的函数可用此法求值域. ax+b (5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断 其增减性进而求最值和值域. (6)数形结合法:画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上 找其变化范围.

六.复习过程: 题型一:求函数的定义域 [例 1] 1 (1)求函数 f(x)= + x2-1+(x-4)0 的定义域; 2-|x| f?x2? (2)已知函数 y=f(x)的定义域是[0,2],求 g(x)= 的定义域. 1+lg?x+1?
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[思路点拨] (1) 列不等式组 → 解不等式组 → 写出定义域 (2) 0≤x≤2 → 0≤x2≤2 → g?x?的定义域

[规律总结] 若给出函数的具体解析式, 则函数的定义域就是使函数有意义的取值集 合;若给定的是抽象函数,例如已知 f(x)的定义域求 f[g(x)]的定义域,须抓住两点:①定 义域是指 x 的取值集合;②“f”后面整体的取值范围相同.

变式训练 1 (1)已知 f(x+1)=lnx,则函数 f(log1 x)的定义域为__________. 2

f?2x? (2)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] B.[0,1) D.(0,1)

)

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题型二:求函数的值域 [例 2] 求函数 y= 1 的值域; x2+2

(2)求函数 y=4x-5+ 2x-3的值域; (3)求函数 y= 3x 的值域; x2+4

1-x (4)求函数 y= 的值域. 2x+5

[规律总结] 函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的.常用的求解方法有 (1)基本不等式法,此时要注意其应用的条件; (2)配方法,主要适用于可化为二次函数的函数,此时要特别注意自变量的范围; (3)图象法,对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出; (4)换元法,用换元法时一定要注意新变量的范围; (5)单调性法,要注意函数的单调性对函数最值的影响,特别是闭区间上的函数的最 值问题; (6)导数法.
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变式训练 2 求下列函数的值域,并指出函数有无最值. 1-x2 (1)y= ; 1+x2 4 (2)y=x+ . x

题型三:函数定义域、值域的有关参数问题 [例 3] 已知函数 f(x)= ax2+bx.若至少存在一个正实数 b, 使得函数 f(x)的定义域与 值域相同,求实数 a 的值.

[规律总结] 已知函数的值域求参数的值或取值范围问题, 通常按求函数值域的方法 求出其值域,然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围.
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变式训练 3 (1)若函数 f(x)= 2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为__________.

(2)(2011· 湖南高考)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的 取值范围为( ) B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)

A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3]

创新探究——函数的性质在解题中的应用 [例题] (1)(2012· 江西)下列函数中,与函数 y= 1 lnx A.y= B.y= sinx x sinx C.y=xex D.y= x 1 3 定义域相同的函数为( )

x

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8 (2)(2012· 湖南)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y= (m>0),l1 与函数 y=|log2x|的图 2m+1 象从左至右相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D.记线段 AC b 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b.当 m 变化时, 的最小值为( a A.16 2 3 C.8 4 B.8 2 3 D.4 4 )

[思路点拨] 当函数以解析式形式给出时,求其定义域的实质就是以使函数的解析 式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集.

链接高考: 1 1.(2012· 山东)函数 f(x)= + 4-x2的定义域为( ln?x+1? A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2] )

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2.(2011· 湖南卷)设直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N, 则当|MN|达到最小时 t 的值为( 1 A.1 B. 2 C. 5 2 D. 2 2 )

3. (2011· 北京)设 A(0,0), B(4,0), C(t+4,4), D(t,4)(t∈R). 记 N(t)为平行四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N(t)的值 域为( )

A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12}

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七.反馈练习: 1.函数 f(x)=log2(3x-1)的定义域为( A.(0,+∞) C.(1,+∞)

) B.[0,+∞) D.[1,+∞)

1 2.函数 y= x?x-1?-lg 的定义域为( x A.{x|x>0} C.{x|x≥1 或 x<0}

) B.{x|x≥1} D.{x|0<x≤1}

3.(2013· 南通模拟)若函数 y=f(x)的值域是[1,3],则函数 F(x)=1-2f(x+3)的值域是 ( ) A.[-5,-1] C.[-6,-2] B.[-2,0] D.[1,3]

4.(2013· 长沙模拟)下列函数中,值域是(0,+∞)的是( A.y= x2-2x+1 1 C.y= 2 (x∈N) x +2x+1

)

x+2 B.y= (x∈(0,+∞)) x+1 1 D.y= |x+1|

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2 5.函数 y= 的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( x-1 1 A.(-∞,0)∪( ,2] 2 1 C.(-∞, )∪[2,+∞) 2 B.(-∞,2] D.(0,+∞)

)

6.已知定义域为 D 的函数 f(x),若对任意 x∈D,存在正数 M,都有|f(x)|≤M 成立, 则称函数 f(x)是定义域 D 上的“有界函数”,已知下列函数: ①f(x)=sinx· cosx+1;②f(x)= 1-x2;③f(x)=1-2x;④f(x)=lg 数”的个数是( A.1 C.3 ) B .2 D.4 1-x ,其中“有界函 1+x

7.y=

1 3

- |x|-2的定义域为__________.

3x-9

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8.函数 y= x-x(x≥0)的最大值为__________.

9.函数 y=|x+2|+ ?x-3?2的值域为__________.

10.(15 分)求下列关于 x 的函数的定义域和值域: (1)y= 1-x- x; (2)y=log2(-x2+2x); (3) x y 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7

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1 11. (2013· 宝鸡模拟)已知函数 g(x)= x+1,h(x)= ,x∈(-3,a],其中 a 为常 x+3 数且 a>0,令函数 f(x)=g(x)· h(x). (1)求函数 f(x)的表达式,并求其定义域; 1 (2)当 a= 时,求函数 f(x)的值域. 4

12.定义在正整数集上的函数 f(x)对任意 m,n∈N*,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m +n)-2,且 f(1)=1. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 m2-tm-1≤f(x)对于任意的 m∈[-1,1],x∈N*恒成立,求实数 t 的取值范围.

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八.思维总结:

九.自我评价: 1.你对本章的复习的自我评价如何? A.很好 B.一般 C. 不太好 2.你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞?

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