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2.1离散型随机变量的分布律_图文

Chapter
( distributi on of random

2
var iable )

随机变量的分布

§2.1一维离散型随机变量的分布律
1. 随机变量 2. 一维离散型随机变量的分布律 3. 一维离散型随机变量常用的分布 4. 一维随机变量的分布函数

一.随机变量( random variable, R.V .)

基本思想是什么?
将样本空间数量化,即用数值表示试验的结果。
随机变量:由试验结果 决定的变量 .

eg
(1)抛硬币试验。若为正面,令 X ? 1 ; 若为反面,令 X ? 0
( 2)一盒中有 5 黄 3白共 8 个球,有放回地每次 取一个,取到黄球后不 再取,取的次数为

?1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ? n ? ?
( 3 ) 一均匀陀螺上一半均匀 刻 [ 0, , 另一半是 1, 1)

旋转后停下时,接触桌

面的刻度为

?0,? 1

Def 1
随机变量:由试验结果 决定的变量 .
本质上为单值实函数 X
(4) (5) 身高,体重 .( X , Y ) 身高,体重,血压 ( X, Y, Z) .
? X (? ) : ? ? R

二维(两个一维,有序 数组)

三维

随机变量的分类:
按维数分类:一维、二维、三维、· ··

?离 散 型 ?连 续 型 ? ?非 离 散 型 ? ?非 离 散 非 连 续 型

二、一维离散型随机变 量的分布律

Def 2 可以取有限多个或无限 可数多个数值

的一维 r .v .,称为 一维离散型随机变量。

Def 3


P{ X ? ai } ? pi ( i ? 1, 2 ,3 , ? )
X
P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

称为 X 的 分布律 (概率分布、概率函数

) .

p

概率分布图
x1 x2

p2 p1 p3

x3

x

Pr o

1)0 ? p i ? 1

2) p i ? 1 ?

设 r . v . X 的分布律为

P ? X ? k ? ? ka , k ? 1,,, 4 ,5 23 1 求常数 a . a ? . 15

eg1
(1 )

盒中有 5 黄 3白共 8 个球, 求下列 r .v . 分布律 . 无放回每次取一个,共 取四次,取得

黄球个数为 X , X 的分布律 . 求

解: X ? {1, , , } 2 3 4
P { X ? 1} ?
P { X ? 3} ?

C C
C
4 8
3 5

1 5

3 3

?
?

1 14

P { X ? 2} ? P { X ? 4} ?
2 3 4

C C C C C
4 8 4 5 4 8

2 5

2 3

?

3 7

C C C
4 8

1 3

3

?

1 14

X 的分布律 :

7 X 1
P

1 14

3 7

3 7

1 14

( 2 ) 有放回每次取一个

, 取四次, 取得黄球

个数为 X , X 的分布律 . 求 5 3 解: X ? { 0 , 1, , , } 黄: 白 : 2 3 4
5 3 3 P { X ? 1} ? C ( ) 8 8 8 5 2 3 2 2 5 3 3 P { X ? 2}? C ( ) ) ( 3 4 P { X ? 3 }? C ( ) 8 8 4 5 4 8 8 P { X ? 4 } ?( ) 8
P { X ? 0 } ?( )
4

3

8

8

1 4

3 4 3 4 15 3 3 2 5 2 3 2 3 5 33 5 4 P( ) C ( ) C( ) ) C( ) ( ) ( 4 4 4 8 8 8 8 8 8 8 8

X

0

1

2

(3)无放回地每次

取一个 , 取到黄球为止,

取的次数为

X ? {1 2,, } , 3 4
X
P

X , X 的分布律 . 求
3 4

1 5

2

3 8

8

?

5 7

3 8

?

2 7

?

5 6

3 8

?

2 7

?

1 6

?

5 5

(4)
X
P

( 3 )中改为有放回
1 2

. X ? {1 2,, ,?, n,?} , 3 4
n ?

3?

5 8

3 8

?

( ) ? ? 8 8 8
2

5

3

5

( ) 8

3

n ?1

?

5 8

?

三、一维d .r .v .的几个重要分布
X (1) 两点分布若 r.v. X 的概率分布为
P
或 P { X ? k } ? (1 ? p )
1? k

0

1

1? p p

p ,

k

k ? 0, 1

则称 X 服从参数为 记为 X ~ B ( 1 , p )

p 的两点分布,

例 从 一 大 批 种 子 中 任 取 一 粒 种 子 作 发 芽 试 验 , 以 X=1 表 示 种 子 发 芽 , 以 X=0 表 示 种 子 不 发 芽 , 若 发 芽 率 为
9 0 % , 则 X ~ B ( 1 ,0 .9 ). 分 布 律 为

(伯努里分布) (2) 二项分布
P{ X ? k} ? C
k n

X ~ B (n, p)

p (1 ? p )
k

n?k

( k ? 0 ,1, ? n )

意义:n重贝努利试验中事件发生的次数.
若 X ~ B ( n, p) ,则 P ( X ? k ) 的值先增后减; 其最大值在 k ? ?( n ? 1) p ? 处取得。

例 一大批种子发芽率为90%,从中任取10粒,求
(1)恰有8粒发芽的概率; (2)不小于8粒发芽的概率。 解:设这10粒种子中有X粒发芽. 则:X~B(10, 0.9) 8 8 2 C 10 0 . 9 ? 0 . 1 ? 0 . 1937 (1) P{X = 8}=
( 2 ) P ( X ? 8)=
8 8

P{X= 8}+P{X= 9}+P{X= 10}
2 9 9 10 10

? C 1 0 0 .9 ? 0 .1 ? C 1 0 0 .9 ? 0 .1 ? C 1 0 0 .9 ? 0 .9 2 9 8

(3 ) 泊松分布 X ~ P ( ? )
P{X ? k} ?

?

k

e

??

k!

( k ? 0 ,1, ? n ? )

例 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X

服从?=4的泊松分布,分别求
(1)每分钟内恰好接到3次呼唤的概率;

(2)每分钟不超过4次的概率.
解:由泊松公式 P ( X
P ( X ? 3) ? 4
3

? k) ?

?

k

e

??

得:

k!

e

?4

? 0 .1 9 5 6 3

3! P ( X ? 4 ) ? P ( X ? 0 ) ? P ( X ? 1) ? P ( X ? 2 )
? P ( X ? 3) ? P ( X ? 4)

? 0 . 628838

(4) 几何分布 X ~ G ( p )
P { X ? k } ? p (1 ? p )
k ?1

( k ? 1, ? n ? )

意义:贝努利试验中事件首次发生时 所需试验的次数.

(5) 超几何分布 X ~ H ( n , M , N )
P{X ? m } ? C
m M

C C

n?m N ?M n N

当 N 较大,n 较小时,
C
m M

C C

n?m N ?M n N

? C

m n

M ? ? M ? ? ? ? ?1 ? ? N ? ? N ? ?

m

n?m

eg 2

有 2500 名从事某种职业的职工

参加人寿保险,
0 .002 . 亡,其

据资料统计,这类人在 参保者当年付

一年中死亡率为

12 元保险费,若参保者死

家属可获 2000 元补偿,求下列事件的概率:
(1) 一年中保险公司亏本; ( 2 ) 一年中保险公司获利不 ( 3 ) 一年中保险公司获利不 少于 1 万元; 超过 2 万元 .

四、一维随机变量的分布函数
Def 1
设 X 为一维随机变量, x 是任意实数,

则函数 F ( x ) ? P { X ? x }, 称为一维 r . v . X 的

分布函数 (或累计概率分布函数

) .

Pr o

P ( a< X ? b ) ? F (b)-F (a)

eg1
X
P

已知随机变量 X 的分布律: ? 1 0 2 3
0 .1 0 .2 0 .3 0 .4

求 X 的分布函数

, 并画图 .
x ? ?1 ?1 ? x ? 0

? 0 .1 ? 0? x ? 2 ? P { X ? x } ? ? 0 .1 ? 0 .2 ? 0 .3 ? 0 .1 ? 0 .2 ? 0 .3 ? 0 .6 2 ? x ? 3 ? 3? x ? 1 ? ?

解: F ( x ) ? 0

F ( x)

-1

1

2

3

x

ex

已知随机变量 X 的分布律: ? 1 1 X ? 2
P
0 .1 0 .3 0 .6

求 X 的分布函数 .

对于离散型随机变量, 特别地, ( F(x) P { X ? x } ? P ? ?
互斥

其分布函数为

?

xk ? x

?

P ? X ? xk ?

xk ? x

?X

? xk ? )

写成分段函数

0
F(x) ?

p1

p1 ? p 2
p1 ? p 2 ? ? ? p n ? 1 p1 ? p 2 ? ? ? p n ? 1

x ? x1 x1 ? x ? x 2 x2 ? x ? x3
x n ?1 ? x ? x n

?

?

xn ? x.

F ( x)

1
pn?1

pn

?
p4

p3
p2 p1

x1 x 2

x3 x4

0

x5

?x

n?1

xn

x

Pr o
(1) (2) ? ? ? x ? ?? 是任意实数,0 ? F ( x ) ? 1; 当 x 1 ? x 2 时, F ( x 1 ) ? F ( x 2 ), 即 F ( x )为 x 的单调非减函数;
(3) F ( ? ? ) ? lim F ( x ) ? 0,
x ? ??

F ( ? ? ) ? lim F ( x ) ? 1;
x ? ??

( 4 ) lim F ( x ) ? F ( x 0 ),即 F(x)处处右连续
x ? x0 ?

作业
P46 习题2.1
2, 5, 9,11, 12, 13, 16