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上海版(第03期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题05 数列、数学归纳法与极限


一.基础题组 1. 【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试(即一模)数学(理)试题】已知数列 ?a n ?
是公差为 2 的等差数列,若 a6 是 a7 和 a8 的等比中项,则 an =________.

2. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】已知数列
,则 a8 的值是__________. {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ( n ? N * )

3. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】若
? r ? lim? ? 存在,则实数 r 的取值范围是_____________. n?? 2r ? 1 ? ?
n

4.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在

?An Bn Cn 中,记角 An 、 Bn 、 C n 所对的边分别为 an 、 bn 、 cn ,且这三角形的三边长
是公差为 1 的等差数列,若最小边 an ? n ? 1 ,则 lim C n ? (
n??

) .

A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

5.
lim

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】

n2 ? 1 ? ___________. n?? 2n 2 ? n

2 2 6.【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学 (理) 试题】 若圆 x ? ( y ? 1) ? 1
* 的圆心到直线 l n : x ? ny ? 0 ( n ? N )的距离为 d n ,则 lim d n ?
n??

.

7.
lim
n ??

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】计算:

(n ? 1)(1 ? 3n) ? ________. (2 ? n)(n 2 ? n ? 1)

8. 【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】已
知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3,(n ? 2, n ? N * ) ,则 an =___________.

9.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】设正项数列 {a n } 的前 n 项

和是 S n ,若 {a n } 和 { S n } 都是等差数列,且公差相等,则 a1 =_______________.

10.
n ???

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】计算:

2 1 1 lim [n 2 ( ? ? )] =_________. n n ?1 n ? 2

11. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】设正数数列 ?an ? 的前 n 项和是
S n ,若 ?an ? 和{ S n }都是等差数列,且公差相等,则 a1 ? d ? __
_.

12.
lim

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】计算: .

2n ? 10 = x ?? 3n ? 23

13.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】如果 项.

1 1 1 1 1 f ?n? ? 1? ? ?? ? ? ? ? ? n ( n ? N * )那么 f ? k ? 1? ? f ?k ? 共有 2 3 n n ?1 2

14. 【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷 (理科) 】
计算: lim
n ??

3n ? 3n ? 1



15.【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】已知数列

?an ?, ?bn ?都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 , b1 ,且 a1 ? b1 ? 5,
设 cn ? abn (n ? N ), 则数列 ?cn ? 的前 10 项和等于______.

a1 , b1 ? N ,

二.能力题组 1. 【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试(即一模)数学(理)试题】已知数列 ?a ?
n

满足 an?1

? ?? 1? an ? n, ?n ? N ? ? ,则数列 ?a ?的前 2016 项的和 S2016 的值是___________.
n
n

2. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】某种平面
分形图如下图所示,一级分形图是一个边长为 1 的等边三角形(图(1) ) ;二级分形图是将 一级分形图的每条线段三等分, 并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形, 然后 去掉底边(图(2) ) ;将二级分形图的每条线段三等边,重复上述的作图方法,得到三级分 形图(图(3) ) ;?;重复上述作图方法,依次得到四级、五级、?、 n 级分形图.则 n 级

分形图的周长为__________.

3.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数

f (n) ? n 2 sin

n? ,且 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2014 ? 2



4. 【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知 ?an ?
是各项均为正数的等比数列,且 a1 与 a5 的等比中项为 2,则 a 2 ? a 4 的最小值等 于 .

5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】数列 ?an ? 满


1 1 1 a1 ? 2 a 2 ? ... ? n a n ? 2n ? 5, n ? N * ,则 an ? 2 2 2

.

6.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】

x2 ,则 已知函数 f ( x) ? 2 x ?1

?1? f ?1? ? f ? 2 ? ? K ? f (2013) ? f ? 2014 ? ? f ? ? ? ?2?
( )

?1? ? 1 ? f ? ? ?L ? f ? ?? ? 3? ? 2013 ?

? 1 ? f? ?? ? 2014 ?

(A) 2010

1 2

(B) 2011

1 2

(C) 2012

1 2

(D) 2013

1 2

7.【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学 (理) 试题】 数列 {an } 中, 若 a1 ? 1 ,
a n ? a n ?1 ? 1 * (n? N ) ,则 lim( a1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ) ? n n ?? 2
.

8. 【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】数列 {an } 的前 n 项

和为 S n ,若 a n ? 1 ? n cos

n? * (n? N ) ,则 S 2014 ? 2

.

9.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】若数列 {an } 满足: .(用数字作答)

a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则前 6 项的和 S6 ?

10.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】等差数列 ?an ? 中,

a1 ? 2, S10 ? 15 ,记 Bn ? a2 ? a4 ? a8 ? ?? a2n ,则当 n ? ____时, Bn 取得最大值.

11.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】已知函数
*

2 ? ? x ? 3tx ? 18, x ? 3 f ? x? ? ? ,记 an ? f ?n ? ?n ?N t ? 13 x ? 3, x ? 3 ? ? ? ?

? ,若 ?a ? 是递减数列,则实数 t 的
n

取值范围是______________.

12. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】已知无穷数列 ?an ? 具有如下性
质:① a1 为正整数;②对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数时, an ?1 ? 时, an ?1 ?

an ? 1 .在数列 ?an ? 中,若当 n ? k 时, an ? 1 ,当 1 ? n ? k 时, an ? 1( k ? 2 , 2
(用 k 表示)

an ;当 an 为奇数 2

k ? N* ) ,则首项 a1 可取数值的个数为

三.拔高题组 1.
【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列 ?an ?

是递增的等差数列,且 a1 ? a6 ? ?6 , a3 ? a4 ? 8 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 的最小值; (3)求数列 an 的前 n 项和 Tn .

? ?

2.【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】已知数列 ?an ? 中,
a1 ? 3 , an?1 ? an ? 3 ? 2n , n ? N * .
n (1)证明数列 an ? 2 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

?

?

(2)在数列 ?an ? 中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若

不存在,请说明理由; (3)若 1 ? r 线上.

? s 且 r , s ? N * ,求证:使得 a1 , a r , a s 成等差数列的点列 ? r , s ? 在某一直

3.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】已知无穷数列 ?an ? 的前 n 项和

2 为 Sn ,且满足 Sn ? Aan ? Ban ? C ,其中 A 、 B 、 C 是常数.

(1)若 A ? 0 , B ? 3 , C ? ?2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 A ? 1 , B ?

1 1 ,C ? ,且 an ? 0 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; 16 2

(3)试探究 A 、 B 、 C 满足什么条件时,数列 ?an ? 是公比不为 ?1 的等比数列.

4.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】称满足以下两

个条件的有穷数列 a1 , a2 ,?, an 为 n ? n ? 2,3, 4,?? 阶“期待数列” : ① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1. (1)若等比数列 ?an ? 为 2k ? k ? N *? 阶“期待数列” ,求公比 q 及 ?an ? 的通项公式; (2)若一个等差数列 ?an ? 既是 2k ? k ? N *? 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通 项公式; (3)记 n 阶“期待数列” (i)求证: Sk ?

?ai ? 的前 k 项和为 Sk ? k ? 1,2,3,?, n? :
1 ,试问数列 ?Sk ? 能否为 n 阶“期待数列”? 2

1 ; 2

(ii)若存在 m ??1,2,3,?, n? 使 S m ?

若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

5. 【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试 (即一模) 数学 (理) 试题】 已知数列 ? a n ?,
满足 a 2 ? 6 ,
a n ?1 ? a n ? 1 1 ? n? N? , a n ?1 ? a n ? 1 n

?

?

(1)已知 b1 ? 1, bn ?1 ?

an?1 (n ? N *) ,求数列 {bn } 所满足的通项公式; n(n ? 1)

(2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)己知 lim
n??

n 2
n

? 0 ,设 cn =

an (n ? N *) ,常数 c ? 0, c ? R ,若数列 {cn } 是等差数列, n?c



Sn Sn ? c1c ? c2c2 ? c3c3 ? ?? cncn ,求 lim n ?? .

6. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】由函数
y ? f ( x) 确定数列 ?an ? , an ? f (n) .若函数 y ? f ?1 ( x) 能确定数列 ?bn ? , bn ? f ?1 (n) ,
则称数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“反数列”. (1)若函数 f ( x) ? 2 x 确定数列 ?an ? 的反数列为 ?bn ? ,求 bn . ; (2)对(1)中的 ?bn ? ,不等式

1 bn ?1

?

1 bn ? 2

?? ?

1 1 ? log a (1 ? 2a ) 对任意的正 b2 n 2

整数 n 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 c n ?

数列 ?t n ?的前 n 项和 S n .

1 ? (?1) ? n 1 ? (?1) ? ?3 ? ? (2n ? 1) ( ? 为正整数) ,若数列 ?cn ? 的反数列为 2 2 ,求 ?d n ?,?cn ?与 ?d n ?的公共项组成的数列为 ?t n ?(公共项 t k ? c p ? d q , k , p, q 为正整数)

7. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】数列 {an }
的首项为 a ( a ? 0 ) ,前 n 项和为 S n ,且 S n?1 ? t ? S n ? a ( t ? 0 ) .设 bn ? S n ? 1, . cn ? k ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( k ? R ? ) (1)求数列 {an } 的通项公式;
* (2)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N , | bn |?| b3 | 恒成立,求 a 的取值范围;

(3)当 t ? 1 时,试求三个正数 a , t , k 的一组值,使得 {cn } 为等比数列,且 a , t ,

k 成等差数列.

8. 【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】设
项数均为 k ( k ? 2, k ? N )的数列 {an } 、{bn } 、{cn } 前 n 项的和分别为 Sn 、Tn 、U n . 已
*

知集合 {a1 , a2 , ?, ak , b1 , b2 , ?, bk } = {2, 4, 6, ?, 4k ? 2, 4k} . (1)已知 U n ? 2n ? 2 ,求数列 {cn } 的通项公式;
n

(2)若 Sn ? Tn ? 2n ? 2

n

(1 ? n ? k, n ? N *) ,试研究 k ? 4 和 k ? 6 时是否存在符合

条件的数列对( {an } , {bn } ) ,并说明理由; (3)若 an ? bn ? 2n (1 ? n ? k , n ? N ) ,对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对
*

( {an } , {bn } )有偶数对.

9. 【2013 学年第一学期十二校联考高三数学 (理) 考试试卷】 已知数列 ?an ? 具有性质: ① a1
为整数;② 对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数时,

an ?1 ?

an a ?1 ;当 an 为奇数时, an ?1 ? n . 2 2

(1)若 a1 为偶数,且 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (2)设 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 且 m ?N),数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证:Sn ? 2m?1 ? 3 ; (3)若 a1 为正整数,求证:当 n ? 1 ? log2 a1 ( n ?N)时,都有 an ? 0 .

10. 【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷 (理科) 】
设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N* 都有 2S n ? ?kn ? b??a1 ? an ? ? p 成立, (其 中 k 、 b 、 p 是常数) . (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 S n ; (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, ①若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; ②设数列 ?an ? 中任意 (不同) 两项之和仍是该数列中的一项, 则称该数列是 “ ? 数列” . 如果 a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在数列 ?an ? 为“ ? 数列” ,使得对任意 n ? N* ,都有

Sn ? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所 ? ? ? ? ?? ? 12 S1 S2 S3 S n 18

有取值构成的集合;若不存在,说明理由.


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