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两角和差正弦余弦正切练习题标准题


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3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式
1.sin
25 π 11π 11π 5π cos -cos sin 的值是( ) 6 12 6 12
2 2

A.- 答案:B

B.

2 2

C.-sin

π 12

D.sin

π 12

2.若 sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则 sin(α+2β)+sin(α-2β)等于( ) A.1 答案:C B.-1 C.0 D.± 1

第 1 题. 已知 sin ? ?

15 ? π? , ? 是第二象限角,求 cos ? ? ? ? 的值( 3? 17 ?

) .

答案:

15 3 ? 8 . 34

第2题. 已知 sin ? ? ? 的值( 答案: ) .

2 3 ? 3? ? ? 3? ? , ? ? ? ?, ? , cos ? ? , ? ? ? , 2? ? ,求 cos ? ? ? ? ? 3 4 ? 2 ? ? 2 ?

2 7 ?3 5 . 12

3 2

第3题.化简 sin119? sin181? ? sin 91? sin 29? 等于(
1 2 答案:B

A.

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

第4题. tan15? ? cos15? 等于( A.2 答案:C B. 2 ? 3

) C.4 D.
4 3 3

第5题.化简 2 1 ? sin 8? ? 2 ? 2cos8? 的结果是( A. 2sin 4? C. ?2sin 4? 答案:D B. 2sin 4? ? 4cos 4? D. 4cos 4? ? 2sin 4?



?? ? ? ?π ?? 第6题.化简 ? sin ? cos ? ? 2sin 2 ? ? ? 的结果为( 2 2? ? ?4 2?
2


π? ? D.2 ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?

A. 2 ? sin ? 答案:C

B. 2 ? 2 sin ?

C.2

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第 7 题.化简 tan10· tan 20 ? tan 20· tan 60 ? tan 60· tan10 的值等于(
? ? ? ? ? ?



A. 3 tan 20? 答案:D

B. tan10?

C.2

D.1

第 8 题.设 ? 是三角形的最小内角,且 a cos2 值范围是( A. a ? ?3 答案:B ) B. a ≤ ?3

?
2

? sin 2

?
2

? cos2

?
2

? a sin 2

?
2

? a ? 1 ,则 a 的取

C. a ? ?1

D. a ≤ ?1

6.已知 sin(α+β)=

tan? 2 3 ,sin(α-β)= ,求 的值. tan ? 3 4

答案: .分析:当题中有异角、异名时,常需化角、化名,有时将单角转化为复角(和 或差) .本题是将复角化成单角,正(余)切和正(余)弦常常互化. 欲求
tan ? tan? sin ? cos ? 的值,需化切为弦,即 ,可再求 sinαcosβ、cosαsinβ 的值. ? tan ? tan ? cos? sin ?

解:∵sin(α+β)= ∵sin(α-β)=

2 2 ,∴sinαcosβ+cosαsinβ= . 3 3

① ②

3 3 ,∴sinαcosβ-cosαsinβ= . 4 4
tan? =-17. tan ?

由(①+②)÷ (①-②)得

? 第 9 题.若 a ? (tan 25? ? tan 35?,3) , b ? (1 tan 25· tan 35? ) ,则 a b ? ( , ·

) .

答案: 3 第 10 题.已知 tan ? ? 3 ,求 tan ? ? ? 答案: ?2 . 第 11 题. 已知 sin ? ? ?

? ?

π? ? 的值( 4?

) .

12 ?π ? , ? 是第三象限角,求 cos ? ? ? ? 的值 13 ?6 ?



答案:

12 ? 5 3 . 26
1 ? tan15? ? 1 ? tan165?

第 12 题. 答案: 3



第 13 题.若 A,B 是锐角三角形 ABC 的内角,则 tan A tan B 的值 “小于”“等于”. 、 ) 答案:大于

1. (填“大于” 、

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第 14 题.若 sin ? cos ? ?
? 1 1? 答案: ? ? , ? ? 2 2?

1 ,则 cos ? sin ? 的取值范围是 2



第 15 题. 已知 sin ? ? ? ,? 是第四象限角, sin ? 求 的值. 答案:解:由 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,得

3 5

π? ?π ? ?π ? ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? ,tan ? ? ? ? 4? ?4 ? ?4 ? ?

3 5

4 ? 3? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? , 5 ? 5?
2

2

3 ? sin ? 3 所以 tan ? ? ? 5 ?? . 4 cos ? 4 5
于是有 sin ?

π π ?π ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? 4 4 ?4 ?
? 2 4 2 ? 3? ? ? ??? ? 2 5 2 ? 5?

?

7 2 ; 10

π π ?π ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? 4 4 ?4 ?
? 2 4 2 ? 3? ? ? ??? ? 2 5 2 ? 5?

?

7 2 ; 10

π tan ? ? tan π? ? 4 ? tan ? ? 1 tan ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? tan ? tanπ 1 ? tan ? ? 4
3 ? ?1 4 ? ? ?7 . ? 3? 1? ? ? ? ? 4?
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第 16 题.已知 tan ?, ? 是一元二次方程 2mx2 ? (4m ? 2) x ? 2m ? 3 ? 0 的两个不等实根,求 tan 函数 f (m) ? 5m2 ? 3m tan(? ? ? ) ? 4 的值域. 解:由已知,有 tan ? ? tan ? ?
? tan(? ? ? ) ? 1 ? 2m 2m ? 3 , tan ? tan ? ? , · m 2m

2 ? 4m . 3 ? 1 ? 又由 ? ? 0 ,知 m ? ? ? ,? ? (0, ∞) , 0 ? ? 2 ? ? f (m) ? 5m2 ? 3m · 2 ? 4m ? 4 ? (m ? 1)2 ? 3 . 3

? 1 ? 0 ? ?当 m ? ? ? ,? ? (0, ∞) 时 f (m) 在两个区间上都为单调递增, ? 2 ? ? 13 ? 故所求值域为 ? ,? ? (4, ∞) . 4 ? ?4 ?

15. 已知函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2, (1)若 x∈R,求函数的最大值和最小值; (2)若 x∈[0,
π ] ,求函数的最大值和最小值. 2 π )∈[- 2 , 2 ] , 4

答案 15.解: (1)设 t=sinx+cosx= 2 sin(x+ 则 t2=1+2sinxcosx. ∴2sinxcosx=t2-1. ∴y=t2+t+1=(t+
1 2 3 3 ) + ∈[ ,3+ 2 ] 2 4 4 3 . 4

∴ymax=3+ 2 ,ymin= (2)若 x∈[0,

π ] ,则 t∈[1, 2 ] . 2

∴y∈[3,3+ 2 ] , 即 ymax=3+ 2 ymin=3.

7.已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角且 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2.试判断此三角形 的形状特征. 答案.分析:从角与角的关系探究三角函数间的关系;反之,利用三角函数间的关系去 判断角的大小及关系, 这是常用的基本方法. 可以先化去对数符号, 将对数式转化为有理式, 然后再考察 A、B、C 的关系及大小,据此判明形状特征. 解:由于 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2,

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可得 lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC, 即 lgsinA=lg2sinBcosC, sinA=2sinBcosC. 根据内角和定理,A+B+C=π, ∴A=π-(B+C) . ∴sin(B+C)=2sinBcosC, 即 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC. 移项化为 sinCcosB-sinBcosC=0, 即 sin(B-C)=0. ∴在△ABC 中,C=B. ∴△ABC 为等腰三角形.

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