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人教版高中数学必修一1.3.1函数的单调性与最大最小值ppt课件_图文

------函数的单调性 一、引入课题 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相 应函数的哪些变化规律: y y y 1 1 1 -1 1 -1 x -1 1 -1 x -1 1 -1 x 问:随x的增大,y的值有什么变化? 画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f (x) = x ① 从左至右图象上升还是下______? ②在区间 ____________ 上,随着x的增大,f (x)的值随着 ________ . 2.f (x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ②在区间 ____________ 上,随着x的增大,f (x)的值随着 ________ . 3.f (x) = x 2 ①在区间 ____________ 上,f (x)的值随 着x的增大而 ________ . ② 在区间 ____________ 上,f (x)的值随 着x的增大而 ________ . 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数 一般地,设函数y=f (x)的定义域为I,如果对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,x2 ,当x1 <x2 时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区 间D上是增函数(increasing function). y y f ( x) f ( x) f ( x1 ) x1 图3 f ( x2 ) x2 f ( x1 ) x1 f ( x2 ) x2 x x 图4 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. 注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有 f(x1)<f(x2) . 2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间: 注意:⑴函数的单调区间是其定义域的子集; ⑵应是该区间内任意的两个实数,忽略需要 任意取值这个条件,就不能保证函数是增函 数(或减函数),例如,图5中,在那样的特 定位置上,虽然使得f( )>f( ),但显然此图 象表示的函数不是一个单调函数; y f ( x) f ( x1 ) x1 图5 f ( x2 ) x2 x x1 x2 ⑶几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则 为减函数. 结论1:一次函数 结论2:二次函数 的单调性,单调区间: y ? kx ? b (k ? 0) 的单调性,单调区间: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) (二)典型例题 例1 如图6是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出 y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函 数. y f ( x) -2 -5 x 1 图6 3 5 注意:函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函 数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以不存在单调性问题;对 于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单 调,因此,在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以; 例2 作出函数 y = x - 的图象并指出它的的单调区间. 4| x|+ 3 k p= V 2 例3 物理学中的玻意定律 试用函数的单调性证明之. (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V 减小时,压强 P 将增大. 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: ① 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ② 作差f(x1)-f(x2); ③ 变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 探究:P30 画出反比例函数 ①这个函数的定义域是什么? 1 的图象. y ? x ②它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论. 结论3:反比例函数 的单调性,单调区间: k y ? ( k ? 0) x 例4 证明函数 例5 讨论函数 1 y ? 在( x ? 1,+∞)上为增函数. x f(x) ? x 2 ?在 2ax ? 内的单调性 3 (-2,2) . 三、归纳小结 1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定:函数 的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证 明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间 时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。 四、作业布置 书面作业:课本P32 练习:2、3 P39习题1.3(A组) 第1- 4题. 2(选做) 证明函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函数. ------函数的最大(小)值 画出下列函数的草图,并根据图象解答下列问题: (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (2) f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 1 1.说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; 2.指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? y -1 o x y o 2 x 1.最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值 2.最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) =

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