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人教版高中数学必修一1.3.1函数的单调性与最大最小值 (2)ppt课件_图文

------函数的单调性 复习提问 (一)函数单调性定义 1.增函数 2. 减函数 复习提问 y f(x2) f(x1) y f(x1) f(x2) x1 O x2 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. x ? 如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有f(x1 ) f(x 2 ) , < x1 O 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D 如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, x2 I. ? x 当x1<x2时,都有 f (x1 ) f(x2> ), 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数, D称为f(x)的单调增区间. 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数,D称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间 注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有 f(x1)<f(x2) . 练习 ( A) y ? ?2 x ? 1 2 (C ) y ? x ( B) y ? ?3x ? 1 2 ( D) y ? 2x2 ? x ? 1 例2 物理学中的玻意定律 (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V 减小时,压强 P 将增 大.试用函数的单调性证明之. k p= V 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: ① 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ② 作差f(x1)-f(x2); ③ 变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 思考(1)反比例函数 k y ? (k ? 0) 的单调性,单调区间: x (2)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的单调性及单调区间 例1若二次函数 f ( x) ? ? x2 ? ax 在区间 ?4 范围。 上单调递增,求 ? ??,1 a的取值 ? 变式1 若二次函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 的单调增区间是 2 ? ??,1? a?2 则a的取值情况是 ( A. a ? ?2 B. ) a ?C. 2 a D. ? ?2 ??, ?1? 的二次函数 ? 变式2 请你说出一个单调减区间是 变式3 请你说出一个在 , ?1? 上单调递减的函数 ? ?? 例2 函数 f(x) ? x ? 2在 ax ? 3内具有单调性求a的范围 (-2,2) 2 . 例3 -1,1)上的单调增函数, f ( x是定义在( ) 解不等式 f (2 x) ? f (1 ? x) x 思考与讨论 F(x)和G(x)都是区间D上的单调函数, 那么F(x)和G(x)四则运算后在该 区间D内还具备单调性吗?情况如何? 你能证明吗?能举例吗? ------函数的最大(小)值 画出下列函数的草图,并根据图象解答下列问题: ?? 1,3? f(1) ( x ) ? ?2 x ? 3, x ?(2) f ( x) ? ? x ? 2 x ? 1 2 1.说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; 2.指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? y -1 o y o 2 x x 1.最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值 注 意: 1.函数最大(小)值首先应该是某一个函数值, 即存在x0∈I,使得f (x0) = M; 2.函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小) 的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f (x)≥M). 例3 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点 时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 , 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻?这时 距地面的高度是多少(精确 到1m) 例3 求函数 2 y ? 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1 解析: 解析: 设 x1、x2 是区间[2,6]上的任意两个实数,且 x1 <x2, 2 2 则 f(x1)-f(x2)= - x1-1 x2-1 2?x2-1?-2?x1-1? = ?x1-1??x2-1? 2?x2-x1? = . ?x1-1??x2-1? 由 2≤x1<x2≤6,得 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1) >0,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 思考与讨论 函数F(x)在区间D上的单调性, 函数F(x)在该区间D上的值域 函数F(x)该区间D上的的最值, 三者彼此有什么关系? 课堂练习 1.函数f(x)=y2+4ax+2在区间(-∞,6]内递减,则a的取值 范围是( )D A.a≥3 C.a≥-3 B.a≤3 D.a≤-3 2.在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上递减,在[-2,+∞) 上递增,则f(x)在[1,2]上的值_________. [21,39] 谢谢观看! (二)利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在x=a处有最小值 f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增

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