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高三新课标理科数学一轮复习课件 第六章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式_图文

第5 讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式 考纲研读 向量是沟通代数、几何与三角函数 的一种工具,利用向量推导公式 时,要结合图形,将所求的角用已 知角表示出来,并借助诱导公式求 解.研究不同三角函数值之间的关 系时,常以角为切入点,并以此为 依据进行公式的选择,同时还要关 注式子的结构特征,通过对式子进 行恒等变形,将问题得到简化. 考纲要求 1.会用向量的数量积推导出两 角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导 出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导 出两角和的正弦、余弦、正切 公式,导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式,了解它们的内 在联系. 1.两角和与差的三角函数 cosαcosβ-sinαsinβ cos(α+β)=______________________( Cα+β); cosαcosβ+sinαsinβ cos(α-β)=_____________________( C ); α-β sinαcosβ+cosαsinβ sin(α+β)=_______________________( Sα+β); sin(α-β)=_______________________( Sα-β); sinαcosβ-cosαsinβ tanα+tanβ 1-tanαtanβ tan(α+β)=____________( Tα+β); tanα-tanβ tan(α-β)=____________( Tα-β). 1+tanαtanβ 2.二倍角的三角函数 cos2α=_____________ cos2α-sin2α =_____________ 2cos2α-1 =____________ 1-2sin2α ; 2sinαcosα ; sin2α=___________ 2tanα tan2α=___________. 1-tan2α 3.降次公式 1+cos2α 1-cos2α 2 2 cos2α=_________ ;sin2α=_________. 4.辅助角公式 asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ). a b 其中 cosφ= 2 2,sinφ= 2 2, a +b a +b b tanφ=a,角 φ 称为辅助角. 1.在△ABC 中,sinA· sinB<cosA· cosB,则这个三角形的形状 是( B ) A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.等腰三角形 ? 3?π 1 2.若sinα=5?2<α<π?,tanβ=2,则tan(α-β)的值是( B ) ? ? A.2 B.-2 2 C.11 1 D.5 3 θ 1 θ 3.若cos 2 = 2 ,sin 2 =- 2 ,则角θ的终边所在的象限是 第三象限 . __________ 7 -25 4.已知角α的终边过点(3,-4),则 cos2α=______. 3 5.(2010 年全国)已知 α 为第二象限的角,sinα=5,则 tan2α 24 - =______. 7 考点1 两角和与差的正弦和余弦 ?π ? 4 5 例 1:已知 sinα=5,α∈?2,π?,cosβ=-13,β 是第三象限 ? ? 角,求 cos(α-β)的值. ?π ? 4 ? ? 解析:∵α∈ 2,π ,sinα=5, ? ? ∴cosα=- 1-sin α=- 2 ?4?2 3 ? ? 1- 5 =-5. ? ? 5 ∵cosβ=-13,β 是第三象限角, ∴sinβ=- 1-cos β=- 2 ? 5 ?2 12 ? ? - 1- 13 =-13. ? ? ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ? 3? ? 5 ? 4 ? 12? 33 ? ? ? ? ? ? = -5 × -13 +5× -13 =-65. ? ? ? ? ? ? cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.已知sinα求cosα, 已知cosβ求sinβ,都要用到公式sin2α+cos2α=1,要注意角α,β 的象限,也就是符号问题. 【互动探究】 1.已知 ? ?π 5π? π? 4 sin?α-3?=5,α∈?2, 6 ?,求 ? ? ? ? cosα. ? ?π 5π? π? 4 ? ? 解:由 sin α-3 =5,α∈?2, 6 ?,得 ? ? ? ? ? π? 3 π ?π π? ? ? ? α-3∈ 6,2 ,cos α-3?=5, ? ? ? ? ? π? π ? 而由 α= α-3?+3得 ? ? ?? ? ? π ? π? π? π π? π ? ? ? ? ? ? ? cosα=cos α-3 +3 =cos α-3 cos3-sin α-3?sin3 ? ? ? ? ? ?? ? 3 1 4 3 3- 4 3 =5×2-5× 2 = 10 . 考点2 例2:化简或求值: 两角和与差的正切 tan42° +tan18° 1+tan15° (1)tan15° ;(2) ;(3) . 1-tan42° tan18° 1-tan15° 解析:(1)tan15° =tan(60° -45° ) tan60° -tan45° 3-1 = = =2- 3. 1+tan60° tan45° 1+ 3 tan42° +tan18° (2) =tan(42° +18° )=tan60° = 3. 1-tan42° tan18° (3)因为 1=tan45° , 1+tan15° tan45° +tan15° 所以 = =tan(45° +15° )= 3. 1-tan15° 1-tan45° tan15° 本题(1)体会正用(直接)公式;(2)体会逆(反)用公 式;(3)创造条件(变形)逆用公式. 【互动探究】 3 2.计算:tan20° +tan40° + 3tan20° tan40° =____.

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