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2014届高三年漳州八校第三次联考理数


2014 届高三年漳州八校第三次联考 理科数学试题
(考试时间:120 分钟 总分: 150 分)

一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确答 案填入答题卷中。 ) 1.若集合 A ? ?? 1,1?, B ? ?0,2? ,则集合 z z ? x ? y, x ? A, y ? B 中的元素的个数为( (A) 5 (B) 4 ) (C) 3 (D) 2

?

?

2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的 值为-25 时,输出 x 的值为( (A) -1 (B) 1 ) (C) 3 (D) 9

3.下面是关于复数 z ?

2 p : z ?2 的四个命题: 1 , ?1? i

p2 : z 2 ? 2i , p3 : z 的共轭复数为 1 ? i , p4:z 的虚
部为 ?1 .其中的真命题为( (A) ) (C)

p2 , p3

(B)

p1 , p2

p2 , p4

(D)

p3 , p4


4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图,则该几何体的左视图为(

(A) 5. 在 ? 2 x 2 ? (A) 10

(B)
5

(C)

(D) )

? ?

1? ? 的二项展开式中, x 的系数为( x?
(B) -10 (C) 40

(D) -40

6.函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为( 6

)

(A)[ -2 ,2]

(B)[- 3 , 3 ]

(C)[-1,1 ]

(D)[-

3 3 , ] 2 2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 7. 若直线 y ? 2 x 上存在点 ? x, y ? 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为( ?x ? m ?
(A) -1 (B) 1 (C)



3 2

(D) 2 )

8. 若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的最大值为( (A) 2 ? 1 (B) 1 (C) 2 (D) 2

9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线的 a 2 b2
)

右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为(

x2 y 2 ? ?1 (A) 5 4

x2 y 2 ? ?1 (B) 4 5

x2 y 2 ? ?1 (C) 3 6

x2 y 2 ? ?1 (D) 6 3

10. 定义在 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) 上的函数 f (x) , 如果对于任意给定的等比数列 ?an ? , 有 ? f ?an ?? 仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的
x 2 如下函数: ①f(x)= x ; ②f(x)= 2 ; ③ f ?x ? ?

x ; ④f(x)=ln|x|,

则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( (A) ①② (B) ③④ (C) ①③



(D) ②④

二、填空题(本题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 请将正确答案填入答题卷中。 ) 11.计算定积分

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ? ___________。

x P(ε=x)

1 ?

2 !

3 ?

12.数学老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列

如下表,请小牛同学计算其数学期望,尽管“! ”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊, 但能肯定这两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案 E? ? 。

13.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? ?11 , a4

? a6 ? ?6 ,当 Sn 取最小值时,n 等于

.

14. △ABC 中,sinB 既是 sinA,smC 的等差中项,又是 sinA,sinC 的等比中项,则∠B=________ 15.平面直角坐标系中,若 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下列命题正确的是_______ ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

三、解答题(本题 6 小题,共 80 分, 请将正确答案填入答题卷中。 ) 16.(13 分) 甲,乙,丙三个同学同时报名参加某重点高校 2014 年自主招生,高考前自主招生的程 序为审核材料和文化测试,只有审核过关后才能参加文化测试,文化测试合格者即可获得自主招 生入选资格. 因为甲, 乙, 丙三人各有优势, 甲, 乙, 丙三人审核材料过关的概率分别为 0. 5, 0. 6, 0.4,审核过关后,甲,乙,丙三人文化测试合格的概率分别为 0.6,0.5,0.75. (I)求甲,乙,丙三人中只有一人通过审核材料的概率; (Ⅱ)求甲,乙,丙三人中至少两人获得自主招生入选资格的概率

17.(13 分) 设函数 f ( x) ? A cos?x ( A ? 0 , ? ? 0 )的部分图象如图所示,其中△PQR 为 等腰直角三角形,∠PQR= (I)函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)函数 y ? f ( x) ?

? ,PR=1. 求: 2

1 在 x ? [0,10] 时的所有零点之和。 4

18.(13 分) 如图直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? CC1 ? 2, 且 AD ? 平面 A 1BC . (I)求证: BC ? 平面 ABB1 A 1; (Ⅱ)在棱 BB1 是否存在一点 E ,使平面 AEC 与平面 ABB1 A 1

AB ? BC , D 是 BA1 上一点,

B1 C1 A1

的夹角等于 60 ,若存在,试确定 E 点的位置,若不存在, 请说明理由.

D

B
A

C

19.(13 分) 已知抛物线 x2 ? 4 y , 过点 A(0, a )(其中 a 为正常数) 任意作一条直线 l 交抛物线 C 于 M , N 两点, O 为坐标原点. (I)求 OM ? ON 的值; (Ⅱ)过 M , N 分别作抛物线 C 的切线 l1 , l2 ,探求 l1 与 l2 的交点是否在定直线上,证明你的结论.

20.(14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x .
2

(I)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围;
3x x (Ⅱ)在(1)的条件下,若 a ? 1 , h( x) ? e ? 3ae , x ?[0,ln 2] ,求 h( x) 的极小值;

(Ⅲ)设 F ( x) ? 2 f ( x) ? 3x ? kx(k ? R) ,若函数 F ( x) 存在两个零点 m, n(0 ? m ? n) ,
2

且满足 2 x0 ? m ? n ,问:函数 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能, 求出该切线方程,若不能,请说明理由.

21.本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,在答题卡上把所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

? 2 ? 0 ?

0 ? ? ? ,绕原点逆时针旋转 的变换所对应的矩阵为 N . 4 2? ?

(Ⅰ)求矩阵 N ; (Ⅱ)若曲线 C : xy ? 1 在矩阵 MN 对应变换作用下得到曲线 C ? ,求曲线 C ' 的方程.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 求过椭圆 ?

? x ? 5cos ? ? x ? 4 ? 2t ( ? 为参数)的右焦点且与直线 ? ( t 为参数)平行的直线 l ? y ? 3sin ? ?y ? 3?t

的极坐标方程。

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x-4|+ x ? 3 , (Ⅰ)求 f(x)的最小值 m
2 2 2 (Ⅱ)当 a ? 2b ? 3c ? m (a,b,c∈R)时,求 a ? b ? c 的最小值.

2014 届高三年漳州八校第三次联考理科数学答案
一、选择题 C C C D D B B B A C

二、填空题 11.

2 3

12.

__2__

13. 6

14.

? 3

15. __①③⑤__

15. ①③⑤ 解析:①正确,令 y ? x ?

1 满足①; 2

②错误,若 k ? 2, b ? 2 , y ? 2 x ? 2 过整点(-1,0) ; ③正确, 设 y ? kx 是过原点的直线, 若此直线过两个整点 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) , 则有 y1 ? kx1 , 两式相减得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) , 则点 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 也在直线 y ? kx 上, y2 ? kx2 , 通过这种方法可以得到直线 l 经过无穷多个整点,通过上下平移 y ? kx 得对于

y ? kx ? b 也成立;
④错误,当 k 与 b 都是有理数时,令 y ? x ? ⑤正确. 如:直线 y ? 2 x 恰过一个整点

1 显然不过任何整点; 2

三、解答题 16. 解: (I)分别记甲,乙,丙通过审核材料为事件 A1 , A2 , A3 , 记甲,乙,丙三人中只有一人通过审核材料为事件 B。 则 P(B) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

1 2 3 1 3 3 1 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 5 5 2 5 5 2 5 5 19 = ??6 分 50
=

(Ⅱ)甲,乙,丙三人获得自主招生入选资格概率均为

3 ??9 分 10

记甲,乙,丙三人中至少两人获得自主招生入选资格为事件 C。 则 P(C)= C 3 (
2

3 2 7 3 27 ) ? ( )3 ? ??13 分 10 10 10 125

17. 解: (I)由已知 A ?

1 1 , ? ? ? ,所以 f ( x ) ? cos ?x ???6 分 2 2 1 1 (Ⅱ)由 f ( x) ? ? 0 ,得 cos ?x ? , 4 2 1 5 故 x ? 2 k ? 或 x ? 2 k ? ( k ? Z) ,?9 分 3 3
所以当 x ? [0,10] 时的所有零点之和 为S ? ( ? )?( ?

1 3

5 3

7 3

11 25 29 ) ? ? ? ( ? ) ? 50 。??13 分 3 3 3

18. 解: (Ⅰ)∵ AD ? 平面 A1 BC ,∴ AD ? BC . ∵ ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,∴ AA1 ? 平面 ABC ,∴ AA1 ? BC . ∵ AD ? AA 1 ? A , AD ? 平面 ABB 1A 1 , AA 1A 1, 1 ? 平面 ABB ∴ BC ? 平面 ABB 1A 1 .???4 分 (Ⅱ)

BC ? 平面 ABB 1A 1 .∴ BC ? AB .又 BB 1 ? AB, BB 1 ? BC ,

于是可建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz .??5 分 ∵ ?ABC 是等腰直角三角形,且斜边 AC ? 2 , ∴ AB ? BC ?

2. A

?

2,, 0, 0 , B ? 0, 0, 0 ? , C 0, 2 , 0

?

?

?

设存在满足条件的点 E 坐标为 ? 0, 0, a ?? 0 ? a ? 2? 由(Ⅰ)知平面 ABB 1A 1 的法向量 BC = 0, 2 , 0 , ?7 分 令平面 ACE 的法向量 n ? ? x, y , z ?

?

?

? n ? AC ? 0 ? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ,? ? ? n ? AE ? 0 ? ? ? 2 x ? az ? 0

令z ?

2 得 n ? a, a, 2 .??10 分

?

?

平面 AEC 与平面 ABB 1A 1 夹角 60

∴ cos n, BC ?

2a 2 2a ? 2
2

?

1 ,a ?1 2

所以当 E 为棱 BB1 中点时平面 AEC 与平面 ABB 1A 1 的夹角等于 60 .??13 分

19. 解:(Ⅰ)设直线 l 方程为 y ? kx ? b , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?

? y ? kx ? a 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4a ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a ? 2 ? x ? 4y

y1 y2 ? ? kx1 ? a ?? kx2 ? a ? ? k 2 x1x2 ? ak ? x1 ? x2 ? ? a = ?4ak 2 ? 4ak 2 ? a ? a
故 OM ON ? x1x2 ? y1 y2 ? ?4a ? a2 .??6 分 (Ⅱ) y ?
'

x2 1 1 x , l1 方程为 y ? 1 ? x1 ? x ? x1 ? , 2 4 2

整理得 y ?

x2 x2 1 1 x1 x ? 1 , 同理得 l1 方程为 y ? x2 x ? 2 ???9 分 2 4 2 4

? x12 1 y ? x x ? ?1? ? 1 ? 2 4 联 立 方 程 ? , x2 ? ?1? ? x1 ? ? 2? 得 2 x 1 ? y ? x x ? 2 ? 2? 2 ? ? 2 4
y?

? x2 ? x1 ? y ?

x1 x2 ? x2 ? x1 ? 4



x1 x2 ? ? a , 故 l1与l2 的交点在定直线 y ? ? a 上.??13 分 4

2 20. 解: (Ⅰ) g ( x) ? f ( x) ? ax ? ln x ? x ? ax, g ?( x) ?

1 ? 2 x ? a. x 1 由题意,知 g ?( x) ? 0, x ? (0, ??) 恒成立,即 a ? (2 x ? ) min .?? 2 分 x
又 x ? 0, 2 x ?

1 2 ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立. x 2

故 (2 x ? ) min ? 2 2 ,所以 a ? 2 2 . ??4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 1 ? a ? 2 2. 令 e x ? t ,则 t ?[1, 2] ,则 h( x) ? H (t ) ? t 3 ? 3at.

1 x

H ?(t ) ? 3t 2 ? 3a ? 3(t ? a )(t ? a ). ??5 分
由 H ?(t ) ? 0 ,得 t ? , a ? (1, 2 2],? a ? [1, 2 4 ] , a 或 t ? ? a (舍去)
3

①若 1 ? t ? a ,则 H ?(t ) ? 0, H (t ) 单调递减; h( x) 在 (0,ln a ] 也单调递减; ②若 a ? t ? 2 ,则 H ?(t ) ? 0, H (t ) 单调递增. h( x) 在 [ln a ,ln 2] 也单调递增; 故 h( x) 的极小值为 h(ln a ) ? ?2a a ??8 分

(Ⅲ)设 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 的切线平行于 x 轴,其中 F ( x) ? 2ln x ? x2 ? kx.

?2 ln m ? m2 ? km ? 0, ① ? 2 ?2 ln n ? n ? kn ? 0, ② ? 结合题意,有 ?m ? n ? 2 x0 , ③ ? ? 2 ? 2 x0 ? k ? 0, ④ ? ? x0
①—②得 2ln

??10 分

m ? ( m ? n)( m ? n) ? k ( m ? n). n

m n ? 2 x . 由④得 k ? 2 ? 2 x . 所以 k ? 0 0 x0 m?n 2ln
m 2( ? 1) m 2(m ? n) 所以 ln ? ? n . ⑤ ??11 分 m n m?n ?1 n m 2(u ? 1) ? 0(u ? (0,1)). 设 u ? ? (0,1) ,⑤式变为 ln u ? n u ?1 2(u ? 1) (u ? (0,1)) , 设 y ? ln u ? u ?1

1 2(u ? 1) ? 2(u ? 1) (u ? 1) 2 ? 4u (u ? 1) 2 y? ? ? ? ? ? 0, u (u ? 1)2 u(u ? 1)2 u(u ? 1) 2

2(u ? 1) 在 (0,1) 上单调递增, u ?1 2(u ? 1) ? 0. 因此, y ? y |u ?1 ? 0 ,即 ln u ? u ?1 m 2( ? 1) m n 也就是, ln ? ,此式与⑤矛盾. m n ?1 n
所以函数 y ? ln u ? 所以 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴.??14 分

21. (1)解:

? ? ? cos 4 (Ⅰ)由已知得,矩阵 N ? ? ? ? ? sin 4 ?

? sin

?? ? 2 ? ?
4??? 2 ? ? 2 4 ?

?

? ? 2 cos ? ?

2? ? 2 ? ??3 分 2 ? ? 2 ?
? x? ? y ?

x? , ? ?1 ? 1? ? x? ? x ? y , ? 2 ? (Ⅱ)矩阵 MN ? ? ,它所对应的变换为 解得 ? ? ?1 1 ? ? y? ? x ? y, ? ? ? y ? y ? ? x? . ? ? 2
把它代人方程 xy ? 1 整理,得 ( y?) 2 ? ( x?) 2 ? 4 , 即经过矩阵 MN 变换后的曲线 C ? 方程为 y 2 ? x 2 ? 4 ???7 分

(2)解:椭圆的普通方程为

x2 y 2 ? ? 1, 右焦点为(4,0) ,??2 分 25 9

直线 ?

? x ? 4 ? 2t 1 ( t 为参数)的普通方程为 2 y ? x ? 2 ,斜率为 ;??4 分 2 ?y ? 3?t
1 ( x ? 4), 即x ? 2 y ? 4 ? 0 2

所求直线 l 方程为: y ?

所以极坐标方程为 ? cos? ? 2? sin ? ? 4 ? 0 ??7 分 (3)解:(Ⅰ)法 1: f(x)=|x-4|+ x ? 3 ≥|(x-4)-(x-3)|=1, 故函数 f(x)的最小值为 1. m =1.???4 分

?2 x ? 7, x ? 4 ? 法 2: f ( x ) ? ? 1,3 ? x ? 4 . ??1 分 ?7 ? 2 x , x ? 3 ?
x≥4 时,f(x)≥1;x<3 时,f(x)>1,3≤x<4 时,f(x)=1, ??3 分 故函数 f(x)的最小值为 1. m =1.??4 分 (Ⅱ)由柯西不等式(a +b +c )(1 +2 +3 )≥(a+2b+3c) =1??5 分 故 a +b +c ≥
2 2 2 2 2 2 2

1 ???6 分 14 1 1 3 ,b ? ,c ? 当且仅当 a ? 时取等号??7 分 14 7 14
2 2 2


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