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2013届高考数学专题训练试题7

第一部分

专题二

第1讲

等差数列、等比数列

(限时 60 分钟,满分 100 分) 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,共 36 分) 1.(精选考题· 北京高考)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1. 若 am=a1a2a3a4a5, 则 m=( A.9 D.12 解析:由题知 am=|q|m-1=a1a2a3a4a5=|q|10,所以 m=11. 答案:C 1+an 2.(精选考题· 广元质检)已知数列{an}满足 a1=2,an+1= (n 1-an ∈N*),则连乘积 a1a2a3?a2009a 精选考题的值为( A.-6 D.1 解析:∵a1=2,an+1= 1+an 1 1 ,∴a2=-3,a3=- ,a4= ,a5 2 3 1-an B.3 ) C.2 ) B . 10 C . 11

=2,∴数列{an}的周期为 4,且 a1a2a3a4=1, ∴a1a2a3a4?a2009a 精选考题=a2009a 精选考题=a1a2=2×(-3)=-6. 答案:A 3. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 2a8=6+a11, S9=( 若 则 A.54 C.36 B.45 D.27 )

解析:根据 2a8=6+a11 得 2a1+14d=6+a1+10d,因此 a1+4d

=6,即 a5=6.因此 S9= 答案:A

9?a1+a9? =9a5=54. 2

2 4.已知各项不为 0 的等差数列{an},满足 2a3-a7+2a11=0,数

列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=( A.2 B.4

) C.8 D.16

解析:因为 a3+a11=2a7,所以 4a7-a2=0,解得 a7=4,所以 7
2 2 b6b8=b7=a7=16.

答案:D 5.(精选考题· 福建高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1= -11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( A.6 D.9 解析:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a4+a6=-6,∴a5=-3, ∴d= a5-a1 =2, 5-1 B.7 ) C.8

∴a6=-1<0,a7=1>0, 故当等差数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最小值时,n 等于 6. 答案:A 6. (精选考题· 陕西高考)对于数列{an}, n+1>|an|(n=1,2?)”是 “a “{an}为递增数列” 的( ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.必要不充分条件 C.充要条件

解析:因为 an+1>|an|?an+1>an?{an}为递增数列,但{an}为递增

数列?an+1>an 推不出 an+1>|an|, 故“an + 1>|an|(n=1,2?)”是“{an}为递增数列”的充分不必要 条件. 答案:B 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分) 7.(精选考题· 广东中山)在等比数列{an}中,公比 q=2,前精选 考题项的和 S 精选考题=90,则 a2+a4+a6+?+a 精选考题=________. a1?1-q2010? a1?1-22010? 解析:S 精选考题= = =90 1-q 1-2 ∴a1= 90 2 -1
2010

a2[1-?q2?1005] 2a1?1-22010? a2+a4+a6+?+a 精选考题= = =60 1-q2 1-4 答案:60 8.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(10,a10)的直线的斜率为________. 解析:∵a4=15,S5=55. ∴55= 5?a1+a5? =5a3,∴a3=11. 2

∴公差 d=a4-a3=15-11=4. a10=a4+6d=15+24=39. ∴P(3,11),Q(10,39) kPQ= 39-11 =4. 10-3

答案:4 An 9. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn, B 且

n

5n+63 an = ,则使得b 为整数的个数是________. n+3 n n?a1+an? a1+an 5n+63 2 An 解析:∵B = = = , n?b1+bn? b1+bn n+3 n 2 an 2an a1+a2n-1 5?2n-1?+63 10n+58 ∴b = = = = 2bn b1+b2n-1 ?2n-1?+3 2n+2 n = 5n+29 24 =5+ . n+1 n+1

24 an ∴要使b ∈Z,只要 ∈Z 即可, n+1 n ∴n+1 为 24 的正约数,即 2,3,4,6,8,12,24,共有 7 个. 答案:7 三、解答题(本大题共 3 个小题,共 46 分) 10.(本小题满分 15 分)(精选考题· 浙江高考)设 a1,d 为实数,首 项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15 =0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围. 15 解:(1)由题意知 S6=- =-3,a6=S6-S5=-8, S5
?5a1+10d=5, ? 所以? 解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7. ?a1+5d=-8 ?

(2)因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
2 即 2a1+9da1+10d2+1=0,

故(4a1+9d)2=d2-8,所以 d2≥8.

故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 11.(本小题满分 15 分)(精选考题· 全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为 1 1 1 1 1 正数的等比数列,且 a1+a2=2( + ),a3+a4+a5=64( + + ). a1 a2 a3 a4 a5 (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=(an+a )2,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n

解:(1)设公比为 q,则 an=a1qn-1.由已知有

?a1+a1q=2? 1 + 1 ?, ? a1 a1q ? ?a1q2+a1q3+a1q4=64?a 1q2+a 1q3+a 1q4?. ? 1 1 1
? 2 ?a1q=2, 化简得? 2 6 ?a1q =64. ?

又 a1>0,故 q=2,a1=1.所以 an=2n-1. 1 1 (2)由(1)知 bn=(an+a )2=a2 + 2+2 n an n =4n-1+ 4
n-1+2.

1

因此 Tn=(1+4+?+4

n- 1

4n-1 1 1 )+(1+ +?+ n-1 )+2n= + 4 4 4-1

1 1- n 4 1 +2n= (4n-41-n)+2n+1. 1 3 1- 4 12.(本小题满分 16 分)已知数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 1 Sn,a1+2a2=0,S4-S2= . 8 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anSn}的前 n 项和;

1 (3)求使不等式 an≥ 成立的 n 的集合. 16 解:(1)设等比数列{an}的公比是 q,因为 a1+2a2=0,且 a1≠0, a2 1 所以 q= =- . a1 2 a1?1-q4? 1 1 因为 S4-S2= ,所以 -a1(1+q)= , 8 8 1-q 1 将 q=- 代入上式, 2 1 解得 a1=1,所以 an=a1qn-1=(- )n-1(n∈N*). 2 1 2 1 (2)由于 an=(- )n-1,Sn= [1-(- )n], 2 3 2 2 1 1 ∴anSn= [(- )n-1+( )2n-1], 3 2 2 故 a1S1+a2S2+?+anSn 8 4 1 4 1 = - · )n- · )n. (- ( 9 9 2 9 4 1 1 1 (3)an≥ ?(- )n-1≥ . 16 2 16 显然当 n 是偶数时,此不等式不成立. 1 1 1 1 当 n 是奇数时,(- )n-1≥ ?( )n-1≥( )4?n≤5,但 n 是正整 2 16 2 2 数,所以 n=1,3,5. 综上,使原不等式成立的 n 的集合为{1,3,5}.

S3 S2 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数 3 2 列{an}的公差是( )

A. D.3

1 2

B.1

C.2

a1+a2 S3 S2 解析:由等差数列性质得 S3=3a2,所以 - =a2- =1, 3 2 2 得 a2-a1=2. 答案:C 5 2.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 6,且 a>b, 2 x 2 y2 则椭圆 2+ 2=1 的离心率 e 等于( a b A. D. 13
?a+b=5, ? 解析:由已知得? 又 a>b, ? ?ab=6, ?a=3, ? 所以? c= a2-b2= 5. ? ?b=2,

) B. 13 3 C. 5 3

3 2

5 c 因此,离心率 e=a= . 3 答案:C 3.(精选考题· 辽宁高考)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为 其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( A. 17 D. 2 15 2 B. 31 4 ) C. 33 4

a ?a1q·1q =1 ? 解析:显然公比 q≠1,由题意得,?a1?1-q3? ? 1-q =7 ?
3



?a1=4 解得? 1 ?q=2



1 4?1- 5? a1?1-q ? 2 31 ∴S5= = = . 1 4 1-q 1- 2
5

答案:B 2.(精选考题· 广东高考)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 5 项和.若 a2·3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5=( a 4 A.35 C.31 B.33 D.29 )

2 解析:设数列{an}的公比为 q,a2·3=a1·3=a1·4=2a1?a4=2, a q a

a4+2a7=a4+2a4q3= 5 1 2+4q3=2× ?q= , 4 2 a1?1-q5? a4 故 a1= 3=16,S5= =31. q 1-q 答案:C 5.(精选考题· 山东高考)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7 =26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 1 (n∈N*),求数列{bn}的前 2 an-1 n 项和 Tn.

解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,

由于 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2. 由于 an=a1+(n-1)d,Sn= n?a1+an? , 2

所以 an=2n+1,Sn=n(n+2). (2)因为 an=2n+1,
2 所以 an-1=4n(n+1),

因此 bn=

1 11 1 = (n- ). 4n?n+1? 4 n+1

故 Tn=b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 1 = (1- + - +?+n- ) 4 2 2 3 n+1 1 1 = (1- ) 4 n+1 = n , 4?n+1?

n 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1? 6.已知函数 f(x)=x2-ax+b(a,b∈R)的图象经过坐标原点,且 f′(1)=1,数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n)(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 an+log3n=log3bn,求数列{bn}的前 n 项和. 解:(1)∵函数 f(x)=x2-ax+b(a,b∈R)的图象经过坐标原点, ∴f(0)=b=0,∴f(x)=x2-ax, 由 f′(x)=2x-a,得 f′(1)=2-a=1,∴a=1, ∴f(x)=x2-x,∴Sn=n2-n, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1

=n2-n-[(n-1)2-(n-1)]=2n-2, a1=S1=0,∴an=2n-2(n∈N*). (2)由 an+log3n=log3bn 得:bn=n·2n-2(n∈N*), 3 设{bn}的前 n 项和为 Tn, ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn = ① ∴ ② 由②-①得:8Tn=n·2n-(1+32+34+36+?+32n-2) 3 32n-1 =n· - 3 , 8
2n 2n 2n n·2n 3 -1 ?8n-1?3 +1 3 ∴Tn= - = . 8 64 64

30



2·2 3



3·4 3



?



n·2n 3



2



9Tn



32



2·4 3



3·6 3



?



n·2n 3