当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第一章计数原理12排列与组合122组合第2课时教案新人教A版选修2 3(数学教案)

1.2.2 组合 第二课时 教学目标 知识与技能 了解组合数的性质, 会利用组合数的性质简化组合数的运算; 能把一些计数问题抽象为 组合问题解决,会利用组合数公式及其性质求解计数问题. 过程与方法 通过具体实例,经历把具体事例抽象为组合问题,利用组合数公式求解的过程. 情感、态度与价值观 能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力. 重点难点 教学重点:组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题. 教学难点:利用组合数公式和性质求解相关计数问题. 教学过程 引入新课 提出问题 1:判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题,并回顾排列和组合的区 别和联系. (1)从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览; (2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出 2 个人担任班长和团支部书记. 活动设计:教师提问. 活动成果:(1)是组合问题,(2)是排列问题. 1.组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 2.组合与排列的区别和联系: (1)区别:①排列有顺序,组合无顺序.②相同的组合只需选出的元素相同,相同的排 列则需选出的元素相同,并且选出元素的顺序相同. (2)联系:①都是从 n 个不同的元素中选出 m(m≤n)个元素;②排列可以看成先组合再 全排列. 设计意图:复习组合的概念,检查学生的掌握情况. 提出问题 2:利用上节课所学组合数公式,完成下列两个练习: n m-1 m m m-1 练习 1:求证:Cn= Cn-1.(本式也可变形为:mCn=nCn-1) m 练习 2:计算:①C10和 C10;②C7-C6与 C6;③C11+C11. 活动设计:学生板演. 活动成果:练习 2 答案:①120,120 ②20,20 ③792. 1.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫 m 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 Cn表示. 2.组合数的公式: An n(n-1)(n-2)…(n-m+1) C = m= Am m! m n m 3 7 3 2 3 4 5 或 Cn= m n! (n,m∈N ,且 m≤n). m!(n-m)! 设计意图:复习组合数公式,为得到组合数的性质打下基础. 1 探索新知 提出问题 1:由问题 2 练习中所求的几个组合数,你有没有发现一些规律,能不能总结 并证明一下? 活动设计:小组交流后请不同的同学总结补充. 活动成果: m n-m m m m-1 1.性质:(1)Cn=Cn ;(2)Cn+1=Cn+Cn . n! n! n-m 2.证明:(1)∵Cn = = , (n-m)![n-(n-m)]! m!(n-m)! 又 Cn= m n! m n-m ,∴Cn=Cn . m!(n-m)! n! n! n!(n-m+1)+n!m m m-1 (2)Cn+Cn = + = m!(n-m)! (m-1)![n-(m-1)]! m!(n-m+1)! = (n-m+1+m)n! (n+1)! m = =Cn+1, m!(n-m+1)! m!(n-m+1)! m m m-1 ∴Cn+1=Cn+Cn . 设计意图:引导学生自己推导出组合数的两个性质. 运用新知 类型一:组合数的性质 3 4 5 6 1(1)计算:C7+C7+C8+C9; n n n-1 n-2 (2)求证:Cm+2=Cm+2Cm +Cm . 4 5 6 5 6 6 4 (1)解:原式=C8+C8+C9=C9+C9=C10=C10=210; n n-1 n-1 n-2 n n-1 n (2)证明:右边=(Cm+Cm )+(Cm +Cm )=Cm+1+Cm+1=Cm+2=左边. 【巩固练习】 1 2 3 n n-1 求证:Cn+2Cn+3Cn+…+nCn=n2 . 1 2 3 n 1 1 1 2 1 3 1 n 证明:左边=Cn+2Cn+3Cn+…+nCn=C1Cn+C2Cn+C3Cn+…+CnCn, 1 i 其中 CiCn可表示先在 n 个元素里选 i 个,再从 i 个元素里选一个的组合数.设某班有 n 个同学,选出若干人(至少 1 人)组成兴趣小组,并指定一人为组长.把这种选法按取到的人 数 i 分类(i=1,2,…,n),则选法总数即为原式左边.现换一种选法,先选组长,有 n 种 n-1 选法,再决定剩下的 n-1 人是否参加,每人都有两种可能,所以组员的选法有 2 种,所 n-1 以选法总数为 n2 种.显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立. 【变练演编】 1 2 2 2 3 2 n n-2 求证:Cn+2 Cn+3 Cn+…+n Cn=n(n+1)2 . 2 i 1 1 i 证明: 由于 i Cn=CiCiCn可表示先在 n 个元素里选 i 个, 再从 i 个元素里选两个(可重复) 的组合数, 所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上, 再指定一人为副组长(可 兼职)的组合数.对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况.若组长和 n-1 n-2 副组长是同一个人,则有 n2 种选法;若组长和副组长不是同一个人,则有 n(n-1)2 n-1 n-2 n-2 种选法.∴共有 n2 +n(n-1)2 =n(n+1)2 种选法.显然,两种选法是一致的,故左 边=右边,等式成立. 类型二:有约束条件的组合问题 2 在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件. (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种? 解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数,所以共有 2 100×99×98 3 C100= =161 700 种. 1×2×3 (2