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求数列通项公式的常用方法(1)


求数列通项公式的常用方法(一)
一、公式法
1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例 1 .等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,
2 .求数列 ?an ? 的通项公式. S 5 ? a5

S ,(n ? 1) an ? 1 2.公式法: 已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) ) 求 an , 用作差法: 。 Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)
例 2:①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

?

f (1),(n ? 1) ? ? f (n) 3.作商法:已知 a1 ? 。 a2 ? ?? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? ,(n ? 2) ? f ( n ? 1) ? 2 如数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n ,则 a3 ? a5 ? ______



4.累加法: 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 1 1 例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) ,则 an =________



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an?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1 2 n a n ,求 an 。 例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1

5.累乘法:已知

如已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an

6.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。
(1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法 转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an 。

① an ? kan?1 ? b 解 法 : 把 原 递 推 公 式 转 化 为 : an?1 ? t ? p(an ? t ) , 其 中
t? q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

例 5. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

例 6. 已知数列 ?an ? 中, a1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2

练一练①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ;

②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ;

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(2)形如 an ? 例 7: an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

an?1 , a1 ? 1 ,求 an 3 ? an?1 ? 1

数列通项公式课后练习
1 已知数列 ?an ? 中,满足 a 1 =6,a n?1 +1=3(a n +1) (n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式。
?

2 已知数列 ?an ? 中,a n >0,且 a 1 =3, an?1 = an +2

(n∈N )

?

3 已知数列 ?an ? 中,a 1 =3,a n?1 =

1 ? a n +1(n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式 2

4 已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,a n?1 =3a n +2,求数列 ?an ? 的通项公式

第 3 页 共 7 页

5 已知数列 ?an ? 中,a n ≠0,a 1 =

an 1 ,a n?1 = 2 1 ? 2an

(n∈N ) 求 a n

?

6 设数列 ?an ? 满足 a 1 =4,a 2 =2,a 3 =1

若数列 ?an?1 ? an ?成等差数列,求 a n

7 设数列 ?an ? 中,a 1 =2,a n?1 =2a n +1 求通项公式 a n

8 已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,2a n?1 = a n + a n ? 2

求 an

一、利用公式
例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3 ? 2 , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

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二、利用 an ?

?

S1 ( n?1)

Sn ? Sn?1 ( n ? 2)

例 2.若 S n 和 Tn 分别表示数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,对任意正整数

an ? ?2(n ? 1) , Tn ? 3Sn ? 4n .求数列 {bn } 的通项公式;

三、累加法 例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

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四、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

五.构造等差或等比 an?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n)
例 6. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;

例 7.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

1 1 an ? ( ) n ?1 ,求 an 。 2 2

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六、待定系数法 例 8.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

七. 构造辅助数列

?1? an 1.构造数列 ? ? ,使其为等差数列。 (形式: a n ?1 ? ) pa ? 1 a n ? n?
例 9.(1).已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, a n ?1 ?

an , 3a n ? 1

求证: ?

?1? ? 是等差数列,并求 ?a n ? 的通项公式。 ? an ?

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