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2.2.2第2课时双曲线方程及性质的应用


第2章
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

2.2.2

第 2 课时

x2 y2 x2 y2 1.已知椭圆 2+ 2=1 和双曲线 2- 2=1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方 3m 5n 2m 3n 程是( ) 15 y 2 B.y=± 15 x 2

A.x=±

3 C.x=± y 4

3 D.y=± x 4

解析: 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上,且椭圆焦点为(± 3m2-5n2,0),双 曲线焦点为(± 2m2+3n2,0),故 3m2-5n2=2m2+3n2. 于是 m2=8n2,又双曲线的渐近线方程为 y=± 3 由 m2=8n2,得|m|=2 2|n|,得 y=± x. 4 答案: D 2.如图,ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( ) 6· |n| x, 2|m|

解析: ax-y+b=0 可化为 y=ax+b, x2 y2 bx2+ay2=ab 可化为 + =1. a b 若 ab>0,则 A 中曲线错误,B 中曲线不存在. 若 ab<0,则 D 中曲线错误,故选 C. 答案: C x2 y2 3.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30° 的 a b 直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( A. 6 C. 2 解析: |MF2|=|F1F2|tan 30° = b2 b2 2 3 又|MF2|= ,∴ = c, a a 3 2 3 两边同除以 a 得 e2-1= e, 3
1

)

B. 3 D. 2 3 c, 3 3 3

即 3e2-2 3e-3=0. 又 e>1,∴e= 3. 故选 B. 答案: B x2 y2 4.已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,其一条渐近线方程为 y=x, 2 b → → 点 P( 3,y0)在双曲线上,则PF1· 2=( PF A.-12 C.0 ) B.-2 D.4

解析: 由渐近线方程为 y=x 知双曲线是等轴双曲线, ∴双曲线方程是 x2-y2=2, 于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0), P( 3, 且 1)或 P( 3, -1). → 不妨设 P( 3,1),则PF1=(-2- 3,-1). → PF2=(2- 3,-1), → → ∴PF1· 2=(-2- 3,-1)· PF (2- 3,-1) =-(2+ 3)(2- 3)+1=0. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) x2 y2 5.过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2=a2 的两条切线,切点分 a b 别为 A,B,若∠AOB=120° 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率为________. (O c 解析: ∵∠AOB=120° ?∠AOF=60° ?∠AFO=30° ?c=2a,∴e= =2. a 答案: 2 x2 y2 6. 已知双曲线 - =1 的右焦点为 F, 若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个 12 4 交点,则此直线斜率的取值范围是________. 解析: 由题意知 F(4,0),

3 双曲线的两条渐近线方程为 y=± x, 当过 F 点的直线与渐近线平行时, 满足与右支只 3 有一个交点,画出图形,通过图形可知,- 3 3 ≤k≤ . 3 3
2

3 3 答案: ?- , ? ? 3 3? 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) x2 y2 7.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 作直线 PF 垂直于该双曲线的 a b 一条渐近线 l 于 P? 3 6? ,求双曲线的方程. , 3? ?3

b 解析: 设 F(c,0),由条件知渐近线 l 的方程为 l:y= x, a a ∵PF:y=- (x-c), b

?y=ax 解方程组? a ?y=-b?x-c?
b 又知点 P?
2

a2 ab 得 P( , ). c c

3 6? , ?3,3? ① ②

?ac = 33 ∴? ab 6 ?c=3

b 又 PF 与渐近线 y= x 垂直, a 6 3 a a 1 ∴kPF=- ,即 =- =- ③ b b 3 2 -c 3 由③得 c= 3. 由①②得 b= 2a,c= 3a2, ∴a=1,b= 2. y2 ∴双曲线方程为 x2- =1. 2 8.已知双曲线 3x2-y2=3,直线 l 过右焦点 F2,且倾斜角为 45° ,与双曲线交于 A、B 两点,试问 A、B 两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦 AB 的长. 解析: ∵a=1,b= 3,c=2, 又直线 l 过点 F2(2,0),且斜率 k=tan 45° =1, ∴l 的方程为 y=x-2,
?y=x-2 ? 由? 2 2 消去 y 并整理得 2x2+4x-7=0, ? ?3x -y =3

设 A(x1,y1),B(x2,y2),
3

7 ∵x1·2=- <0, x 2 ∴A、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上. 7 ∵x1+x2=-2,x1·2=- , x 2 ∴|AB|= 1+12|x1-x2|= 2· ?x1+x2?2-4x1x2 7 = 2· ?-2?2-4×?-2?=6. ? ?

?尖子生题库?☆☆☆ x2 y2 9.(10 分)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若 a b sin∠PF1F2 a 双曲线上存在一点 P,使 = ,求双曲线的离心率的范围. sin∠PF2F1 c sin∠PF1F2 a 解析: 根据已知,点 P 不是双曲线的顶点,否则 = 无意义. sin∠PF2F1 c |PF2| |PF1| 因为在△PF1F2 中,由正弦定理得 = . sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 a c 又由已知,得 = , |PF2| |PF1| c 即|PF1|= |PF2|,且点 P 在双曲线的右支上. a 由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a, c 则 |PF2|-|PF2|=2a, a 即|PF2|= 2a2 . c-a

由双曲线的几何性质,知|PF2|>c-a, 则 2a2 >c-a, c-a

即 c2-2ac-a2<0, 所以 e2-2e-1<0, 解得- 2+1<e< 2+1. 又 e>1,故双曲线的离心率 e∈(1, 2+1).

4


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