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高一数学上册 第二章初等函数之幂函数知识点及练习题(含答案)


〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数

y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、 二象限(图象关于

y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,

图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ?

? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图
y 轴.

象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与

④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ?

?

q p

(其中

p, q 互
q

q

质, p 和 q ? Z ) ,若 偶函数,若

p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x p 是
q p

p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x

是非奇非偶函数.

⑤图象特征: 幂函数 其图象在直线 线

当 若 其图象在直线 y ? x 下方, x ? 1 , 若 y ? x? , x ? (0, ??) , ? ? 1 时, 0 ? x ? 1 ,

y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直

y ? x 下方.

2.3 幂函数的图象及性质
1.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是(
1

)
5 2

A.y=x3

B.y=x



1 2

C.y=x3

D.y=x3

1 1 2.如图,图中曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的大致图象.已知 α 取-2,- , ,2 四个值, 2 2 则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 α 的值依次为( ) 1 1 1 1 A.-2,- , ,2 B.2, ,- ,-2 2 2 2 2 1 1 1 1 C.- ,-2,2, D.2, ,-2,- 2 2 2 2 3.以下关于函数 y=xα 当 α=0 时的图象的说法正确的是( ) A.一条直线 B.一条射线 C.除点(0,1)以外的一条直线 D.以上皆错 4.函数 f(x)=(1-x)0+(1-x)2的定义域为________. 2 ),则 f(4)的值为( 2 1 1 A.16 B. C. D.2 16 2 6.下列幂函数中,定义域为{x|x>0}的是( ) 5.已知幂函数 f(x)的图象经过点(2,
2 3 1

)

A.y=x3

B.y=x2
m2-2m-3

C.y=x



1 3

D.y=x



3 4

7.已知幂函数的图象 y=x (m∈Z,x≠0)与 x,y 轴都无交点,且关于 y 轴对称,则 m 为( ) A.-1 或 1 B.-1,1 或 3 C.1 或 3 D.3 8.下列结论中,正确的是( ) ①幂函数的图象不可能在第四象限 ②α=0 时,幂函数 y=xα 的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数 y=xα,当 α≥0 时是增函数 ④幂函数 y=xα,当 α<0 时,在第一象限内,随 x 的增大而减小 A.①② B.③④ C.②③ D.①④ 9.在函数 y=2x3,y=x2,y=x2+x,y=x0 中,幂函数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.幂函数 f(x)的图象过点(3, 3),则 f(x)的解析式是________ . - 11.函数 f(x)=(m2-m-5)xm 1 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定 m 的 值.

12.已知函数 f(x)=(m2+2m)·m2 x (3)二次函数;(4)幂函数?

+ m-1

,m 为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;

13.已知幂函数 y=xm2 值,并画出它的图象.

-2m-3

(m∈Z)的图象与 x、y 轴都无公共点,且关于 y 轴对称,求 m 的

答案 3 1. 解析:选 D.y=x3= x2,其定义域为 R,值域为[0,+∞),故定义域与值域不同. 2.解析:选 B.当 x=2 时,22>22>2 2>2 2, 即 C1:y=x2,C2:y=x2,C3:y=x 2,C4:y=x 2. 3.解析:选 C.∵y=x0,可知 x≠0, ∴y=x0 的图象是直线 y=1 挖去(0,1)点. ? ?1-x≠0 4.解析:? ,∴x<1. ?1-x≥0 ? 答案:(-∞,1) 2 1 5 解析:选 C.设 f(x)=xn,则有 2n= ,解得 n=- , 2 2 1 1 1 - - 即 f(x)=x 2,所以 f(4)=4 2= . 2
2 3 1 1 3 - 6 解析:选 D.A.y=x3= x2,x∈R;B.y=x2= x3,x≥0;C.y=x 3= ,x≠0;D.y=x 3 x 3 1 - ,x>0. 4= 4 3 x 7 解析:选 B.因为图象与 x 轴、y 轴均无交点,所以 m2-2m-3≤0,即-1≤m≤3.又图象 关于 y 轴对称,且 m∈Z,所以 m2-2m-3 是偶数,∴m=-1,1,3.故选 B. 8 解析:选 D.y=xα,当 α=0 时,x≠0;③中“增函数”相对某个区间,如 y=x2 在(-∞, 0)上为减函数,①④正确. 9 解析:选 B.y=x2 与 y=x0 是幂函数. 1 1 10 解析:设 f(x)=xα,则有 3α= 3=32?α= . 2 1 1


2

1



1



1



答案:f(x)=x2 11 解:根据幂函数的定义得:m2-m-5=1, 解得 m=3 或 m=-2, 当 m=3 时,f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数; - 当 m=-2 时,f(x)=x 3 在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故 m=3. 12 解:(1)若 f(x)为正比例函数,

?m2+m-1=1 ? 则? 2 ? m=1. ? ?m +2m≠0

(2)若 f(x)为反比例函数, ?m2+m-1=-1 ? 则? 2 ? m=-1. ? ?m +2m≠0 (3)若 f(x)为二次函数, ?m2+m-1=2 ? -1± 13 则? 2 ? m= . 2 ? ?m +2m≠0 (4)若 f(x)为幂函数,则 m2+2m=1, ∴m=-1± 2 13 解:由已知,得 m2-2m-3≤0,∴-1≤m≤3. 又∵m∈Z,∴m=-1,0,1,2,3. - 当 m=0 或 m=2 时,y=x 3 为奇函数,其图象不关于 y 轴对称,不适合题意. ∴m=± 或 m=3.当 m=-1 或 m=3 时,有 y=x0,其图象如图(1). 1 - 当 m=1 时,y=x 4,其图象如图(2).

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