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辽宁省丹东市2016届高三上学期10月阶段测试理科数学试卷


丹东市 2016 届高三总复习阶段测试

理科数学
命题:宋润生 马玉林齐 丹 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 审核:宋润生

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. (1)设全集 U ? R ,集合 M ? {x | ?2 ? x ? 2} , N ? {x | x ? 1} ,则 M ? ? U N ? (A) {x |1 ? x ? 2} (C) {x | x ? 1} (2)若复数 (B) {x |1 ? x ? 2} (D) {x | ?2 ? x ? 1}

1 ? ai ( i 是虚数单位, a ? R )的实部和虚部相等,则 a ? 2?i 1 1 (A) ?1 (B) ? (C) (D) 3 3 3

? (3)在△ ABC 中,若 BC ? 3 , AC ? 2 , ?B ? 45 ,则 ? A ?

(A) 60 ? 或 120? (C) 30 ? 或 150?

(B) 60 ? (D) 30 ?

(4)在长为 3 的线段上任取一点,则该点到两端点的距离都不小于 1 的概率为

1 2 (B) 3 3 1 2 6 (5) ( x ? ) 的展开式中的常数项为 x
(A) (A) 20 (B) ?20

(C)

4 9

(D)

5 9

(C) 15

(D) ?15

(6)某大型文艺晚会由 5 个类型节目组成,演出顺序有如下要求:甲类节目不能安排在第一 位,乙类节目不能安排在第三位,则该晚会节目类型演出顺序编排方案共有 (A)96 种 (B)78 种 (C)72 种 (D)36 种

(7)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? m ln(1 ? x) 是偶函数,则 (A) m ? 1 ,且 f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数 (B) m ? 1 ,且 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数 (C) m ? ?1 ,且 f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数 (D) m ? ?1 ,且 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数 (8)已知 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a7 ? 9a3 ,则 (A) 9 (B) 5

S9 ? S5
(D)

(C)

18 5

9 25

(9)函数 f ( x ) 的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与函数 y ? 2x 的图象关于 y 轴对称, 则 f ( x) ? (A) 2
x ?1

(B) 2

x ?1

(C) 2
2? 3 0

? x ?1

(D) 2

? x ?1

(10)已知 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,若 (A) x ?

?

f ( x)dx ? 0 ,则函数 f ( x) 图象的一条对称轴直线是
(C) x ?

?
3

(B) x ?

2? 3

5? 12

(D) x ?

7? 12

(11)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),?,则第 70 个“整数对”为 (A) (3,9) (B) (4,8) (C) (3,10) (D) (4,9)

(12)已知 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,若 ?x ? R , f ?( x) ? ?2 ,则不等式

f ( x ?1) ? x2 (3 ? 2ln x) ? 3(1 ? 2 x) 的解集是
(A) (0,1) (C) (0, ??) (B) (1, ??) (D) ( ,1)

1 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必 须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知 tan x ? 2 ,则 tan( (14)公比为 ?

?
4

? x) ? .

1 的等比数列 {an } 的前 6 项和 S6 ? 21,则 2a1 ? a6 ? . 2

(15)已知 f ( x) ? ax , g ( x) ? ex ,若 ?x0 ?[0, 2] , f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,则实数 a 的取值范围 是. (16)数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2n ? an ? n , a2 n?1 ? an ? 1 ,则{an } 前 30 项和为. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)
2 设函数 f ( x) ? 2 cos (

?

(Ⅰ)求 f ( ?

?
12

? x) ? sin(2 x ? ) ? 1 . 4 3

?

) 的值;

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [?

?
2

, 0] 上的最大值和最小值.

(18) (本小题满分 12 分)

Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,已知 an ? 0 ,
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

an ? 1 ? Sn . 2

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

(19) (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别是△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边, b cos C ? 3a cos B ? c cos B . (Ⅰ)求 cos B ; (Ⅱ)若△ ABC 的面积是 2 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a 和 c 的值.

(20) (本小题满分 12 分) 一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数 A ? a1 a2 a3 a4 a5 (例如:若 a1 ? a3 ? a5 ? 1, a2 ? a4 ? 0 ,则 A=10101 ,等等) ,其中二进制数 A 的各位数字中,已知 a1 ? 1 , ak (k ? 2,3, 4,5) 出现 0 的概率为 记 X ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,现在仪器启动一次. (Ⅰ)求 X ? 3 的概率 P( X ? 3) ; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E ( X ) .

1 2 ,出现 1 的概率为 . 3 3

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? ln x . x

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)是否存在常数 t ,使 g ( x) ? t 对任意的 a ? [1, e] 和任意的 x ? (0, ??) 都成立,若存 在,求出 t 的取值范围;若不存在,请说明理由.

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 AB 是⊙ O 的一条弦,过点 A 作圆的切线 l ,过点 B 作 BC ? l ,垂足是 C , BC 与 ⊙ O 交于点 D ,已知 AC ? 2 3 , CD ? 2 . (Ⅰ)求⊙ O 的面积; (Ⅱ)连结 OD ,交 AB 于点 E ,证明:点 E 为 AB 中点. D C B O E A l

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : x ? 2 y ? 2 ,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建
2 2

立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ?

4 2 sin ? ? cos ?



(Ⅰ)写出曲线 C1 的参数方程,曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是曲线 C1 上一点, N 是曲线 C2 上一点,求 | MN | 的最小值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含区间 [1, 2] ,求实数 a 的取值范围.

丹东市 2016 届高三总复习阶段测试

理科数学试题参考答案
一、选择题: (1)B (7)B 二、填空题: (13) ?3 (14) 63 (15) (e, ??) (16) 131 (2)D (8)A (3)A (9)C (4)A (10)D (5)C (11)D (6)B (12)A

(12)解:设 g ( x) ? x2 (3 ? 2ln x) ? 3(1 ? 2 x) , 则 g ?( x) ? ?4 x ln x ? 4 x ? 6 , g ??( x) ? ?4ln x , 所以 g ?( x ) 在 (0,1) 递增,在 (1, ??) 递减,所以 g ?( x) ? g ?(1) ? ?2 , 设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ,因为 f ?( x) ? ?2 ,可得 h?( x) ? f ?( x ? 1) ? g ?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0, ??) 递增,因为 h(1) ? f (0) ? g (1)=0 , 所以原不等式即 h( x) ? h(1) ,解集是 (0,1) .

1 a1 ? a6 (? ) 2 ? 21 ,得 2a ? a ? 63 . (14)解:依题意 1 6 1 1 ? (? ) 2
(15)解:命题“ ?x0 ?[0, 2] , ax0 ? e x0 ” 也就是命题“ ?x0 ?[0, 2] , ax0 ? e x0 ”, 若 y ? ax 是 y ? e x 的是 y ? e x 的切线, 有 a ? e ,切点横坐标 x ? 1? [0, 2] , 由图可知,只要 a ? e 即可. 【另解】命题“ ?x0 ?[0, 2] , ax0 ? e 0 ”
x

的否定是“ ?x ? [0, 2] , ax ? e ”,
x

x x 若 y ? ax 是 y ? e 的是 y ? e 的切线,有 a ? e ,切点横坐标 x ? 1? [0, 2] ,

由图可知, a ? e 时,命题“ ?x ? [0, 2] , ax ? e x ”为真, 因此命题“ ?x0 ?[0, 2] , ax0 ? e x0 ”为真时,应该有 a ? e . (16)解:因为 a2n ? an ? n , a2 n?1 ? an ? 1 ,所以 a2n ? a2n?1 ? n ? 1 , 从而 S30 ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ???? ? (a28 ? a29 ) ? a30

? 1 ? 2 ? 3 ???? ? 15 ? a30 ? 120 ? a30 a30 ? 15 ? a15 ? 15 ? (a7 ? 1) ? 14 ? a3 ?1 ? 13 ? (a1 ? 1 ) =11
因此 S30 ? 120 ? 11 ? 131 三、解答题:
(17)解:(Ⅰ) f (?

) ? 2 cos 2 ( ? ) ? sin(? ? ) ? 1 12 4 12 6 3

?

?

?

?

?

? 2 cos 2

?

3

? sin

?

(Ⅱ)因为 f ( x) ? cos 2(

?
4

6

?1 ? 0 ;

??(4 分)

? x) ? sin 2 x cos

?
3

? cos 2 x sin

?
3
??(6 分)

? 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin(2 x ? ) , 6 2 2
注:如果在第(Ⅰ)问合一变形正确,请把这 2 分加到第(Ⅰ)问。 因为 x ? [ ?

?
2

, 0] ,所以 2 x ? =

?
6

? [?

5? ? , ], 6 6

因此当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?
6

, x ? 0 时, f ( x ) 取最大值

3 ; 2

??(10 分)

时, f ( x ) 取最小值 ? 3 . ??(12 分) 2 3 a ?1 2 2 ? Sn 化为 an (18)解:(Ⅰ) n ? 2an ? 1 ? 4Sn ,可知 an ?1 ? 2an?1 ? 1 ? 4Sn?1 , 2

?

6

=?

?

,x??

?

可得 an?1 ? an
2

2

? 2(an?1 ? an ) ? 4an?1 ,即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? 2(an?1 ? an ) ,
??(2 分) ??(4 分)

由于 an 又 a1
2

? 0 ,可得 an?1 ? an ? 2 ,

? 2a1 ?1 ? 4a1 ,解得 a1 ? 1 ,

所以 {an } 是首项是 1,公差是 2 的等差数列,通项公式是 an

? 2n ? 1; ??(6 分)

(Ⅱ)设 ?

a 2n ? 1 ? an ? ? 前 n 项和为 Tn ,由(Ⅰ)知 n ,则 n n ? 2 2n ?2 ?

1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n , 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 两式相减得 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ? ? 1 1 2 2 2 n 2 2n ? 1 即 Tn ? ? ? n ?1 , 1 2 2 2 1? 2 2n ? 3 所以 Tn ? 3 ? . 2n Tn ?
(19)解: (Ⅰ)由正弦定理得 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B , 即 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B , 所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 又 sin( B ? C ) ? sin(? ? A) ? sin A . 所以 sin A ? 3sin A cos B , 因为 sin A ? 0 ? 0 ,所以 cos B ? ;

??(12 分)

??(2 分)

1 3

??(6 分)

(Ⅱ)由

1 2 2 ac sin B ? 2 2 , sin B ? 得 ac ? 6 ①, 2 3
1 3

??(8 分)

由(Ⅰ)知 cos B ? ,所以 ac ? 6 , 又因为 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,即 8 ? a 2 ? c 2 ? 4 , 所以 a 2 ? c 2 ? 12 ②, 由①②式解得 a ? c ? 6 . (20)解: (Ⅰ)当 X ? 3 时,因为 a1 ? 1 ,所以 a2 ? a3 ? a4 ? a5 =2 , ??(12 分)

ak (k ? 2,3, 4,5) 中恰有 2 个取 0,有 2 个取 1,
2 2 2 因此 P( X ? 3)=C4 ( ) ( ) ?

1 3

2 3

8 ; 27 2 8 ? , 3 3

??(6 分)

(Ⅱ) X 可取值是 1,2,3,4,5,设 Y ? X ? 1 ,则 Y 可取值是 0,1,2,3,4, 因此 Y ~ B (4, ) ,所以 E (Y ) ? 4 ?

2 3

从而 E ( X ? 1) ?

8 8 11 ,所以 E ( X ) ? ? 1 ? . 3 3 3

??(12 分)

另解: X 可取值是 1,2,3,4,5,

1 8 4 1 4 2 0 3 1 3 2 1 P( X ? 1)=C4 ( ) ( ) ? , P( X ? 2)=C4 ( ) ( ) ? , 3 3 81 3 3 81 8 32 1 1 1 2 3 P( X ? 3) ? , P ( X ? 4)=C4 ( ) ( ) ? , 27 3 3 81 16 0 1 0 2 4 P ( X ? 5)=C4 ( ) ( ) ? , 3 3 81
所以 X 分布列是

X
P

1

2

3

4

5

8 8 32 16 81 27 81 81 1 8 24 32 16 11 +4 ? +5 ? = . 所以 E ( X )=1? +2 ? +3 ? ??(12 分) 81 81 81 81 81 3 ax ? 1 (21)解: (Ⅰ) f ( x ) 定义域是 (0, ??) , f ?( x ) ? , ??(2 分) x2 ax ? 1 ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 单调递减; 当 a ? 0 时, f ?( x ) ? x2 1 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得函数 f ( x ) 在 ( , ??) 单调递增, a 1 由 f ?( x) ? 0 得函数 f ( x ) 在 (0, ) 单调递减; ??(6 分) a 1 (Ⅱ)方法 1: g ( x) ? ? (a ? 1) ln x ? ax , g ( x) 定义域是 (0, ??) , x 1 a ?1 (ax ? 1)( x ? 1) g ?( x) ? ? 2 ? ?a ? , x x x2 1 因为 a ? [1, e] ,所以 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, a 1 x ? ( , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, a 1 1 所以当 x ? 时, g ( x) 取得最小值 g ( ) ? a ? (1 ? a ) ln a ? 1 ? h(a ) , ??(8 分) a a 1 1 1 设 h?( a ) ? ? ln a , h??(a ) ? ? 2 ? ,因为 a ? [1, e] ,所以 h??(a) ? 0 , a a a 1 h?(a ) 在 a ? [1, e] 单调递减,因为 h?(1) ? 1 ? 0 , h?(e) ? ? 1 ? 0 , e
所以存在 a0 ? [1, e] ,使得 h(a) 在 [1, a0 ] 单调递增,在 [a0 , e] 单调递减,

1 81

h(a) 在 a ? [1, e] 有最大值 h(a0 ) ,因为 h(1) ? 2 , h(e) ? 2 ,
所以 g ( x) 的最小值 g ( ) ?[2, h(a0 )]

1 a

因此使 g ( x) ? t 恒成立的常数 t 的取值范围是 (??, 2] . 方法 2: g ( x) ? h(a) ? ( x ? ln x)a ?

??(12 分)

1 ? ln x , h?(a) ? x ? ln x , x

设 k ( x) ? x ? ln x ,显然 k ( x) 在 (0, ??) 单调递增, 因为 k ( ) ?

1 2

1 ? ln 2 ? ln e ? ln 2 ? 0 , k (1) ? 1 ? 0 , 2

所以存在 x0 ? (0,1) ,使 k ( x0 ) ? x0 ? ln x0 =0 , 当 x ? (0, x0 ) 时, h?(a) ? x ? ln x ? 0 , h(a) 在 [1, e] 递减,

1 1 ? ln x ,设 m( x) ? ex ? e ln x ? ? ln x x x (ex ? 1)( x ? 1) 1 1 m?( x) ? , m( x) 在 (0, ) 递减,在 ( , ??) 递增, 2 x e e 1 所以 m( x) 有最小值 m ( ) ? 2 , e
h(a) 最小值是 h(e) ? ex ? e ln x ?
当 x ? ( x0 , ??) 时, h?(a) ? x ? ln x ? 0 , h(a) 在 [1, e] 递增,

h(a) 最小值是 h(1) ? x ?

1 ? 2, x

综上 g ( x) ? 2 ,所以使 g ( x) ? t 恒成立的常数 t 的取值范围是 (??, 2] . ??(12 分) (22)解: (Ⅰ)取 BD 中点为 F ,连结 OF , 则 OF //AC , OF ? AC , 因为 AC 为圆 O 的切线, BC 为割线,
2 所以 CA ? CD ? CB ,由 AC ? 2 3, CD ? 2 ,

B O D E A l

所以 BC ? 6, BD ? 4, BF ? 2 在 Rt ?OBF 中, r ? OB ? OF ? BF ? 4 ,
2 2

C

所以⊙ O 的面积是 16? ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, OA ∥ BD, OA ? BD ,连结 AD , 则四边形 OADB 为平行四边形, 所以 OD 与 AB 交于点 E ,所以点 E 为 AB 中点.

??(5 分)

??(10 分)

? x ? 2 cos? ? (23)解: (Ⅰ)曲线 C1 参数方程是 ? ( ? 是参数) , ? ? y ? sin ?

方程 ? ?

4 2 sin ? ? cos ?

可以化为 2? sin 2 ? ? ? cos? ? 4 , ??(5 分)

曲线 C2 的普通方程是 x ? 2 y ? 4 ? 0 ;

(Ⅱ)因为曲线 C2 是直线,所以 | MN | 的最小值就是 M 到直线 C2 距离的最小值, 设 M ( 2 cos ? ,sin ? ) ,则 M 到直线 C2 距离是

d?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 4 3

2sin(? ? ) ? 4 2 4 ? ? , 3 3
2 . 3
??(10 分)

?

当且仅当 ? ? 2k? ?

?
4

(k ? Z) 时取等号,则 | MN | 的最小值是

(24)解: (Ⅰ)当 a ? ?3 时,不等式 f ( x) ? 3 即 | x ? 3 | ? | x ? 2 |? 3 ,等价于:

?x ? 2 ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 或? 或? , ? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
所以不等式 f ( x) ? 3 的解集是 {x | x ? 1或x ? 4} ; (Ⅱ)因为关于 x 的不等式 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含区间 [1, 2] , 而当 x ? [1, 2] 时, | x ? a | ? | x ? 2 |?| x ? 4 | 等价于 | x ? a |? 2 , 不等式 | x ? a |? 2 解集是 [?2 ? a, 2 ? a] , 所以 [?2 ? a, 2 ? a] ? [1, 2] ,所以 ? 因此实数 a 的取值范围是 [?3, 0] . ??(5 分)

??2 ? a ? 1 , ?2 ? a ? 2
??(10 分)


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