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2013届高三数学寒假作业5(数列2)


2013 届高三数学寒假作业 5(数列 2)
1.4 6.3 11.7 1+ 5 2. 2 7.3 12.0<a< 6 3 3.10000 8.10 5 13. 7 4.4 9. n n+1 5.34 10.

4n 2 ? 6n 2n ? 1

2009 14.- 2010

a 15.解: (1)由题意,得 a2 , a4 , a6 , a8 ,?成等比数列,且公比 q ? 8 a2

? ?

1 3

所以 a2 n ? a2 q n ?1 ? 1 . 2 (2)证明:由{ an }是“ J 4 型”数列,得 a1 , a5 , a9 , a13 , a17 , a21 ,?成等比数列,设公比为 t . 由{ an }是“ J 3 型”数列,得 a1 , a4 , a7 , a10 , a13 ,?成等比数列,设公比为 ? 1 ; a2 , a5 , a8 , a11 , a14 ,?成等比数列,设公比为 ? 2 ; a3 , a6 , a9 , a12 , a15 ,?成等比数列,设公比为 ? 3 ; a a a 则 13 ? ?14 ? t 3 , 17 ? ? 2 4 ? t 3 , 21 ? ?34 ? t 3 . a1 a5 a9 所以 ?1 ? ? 2 ? ?3 ,不妨记 ? ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ,且 t ? ? 3 . 于是 a3k ? 2 ? a1? k ?1 ? a1
4

??

?1, 2

n?4

? ??
3

(3 k ? 2) ?1


3 (3k ?1) ?1

a3k ?1 ? a5? k ?2 ? a1t? k ?2 ? a1?

k?2 3

a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?

k ?1 3

? ?? ?a ? ??
? a1
1 3



3k ?1



所以 an ? a1

? ??
3

n ?1

,故{ an }为等比数列.

1 ? ? S2 ? pa1 + q, ?3 ? 2 p + q, ?p ? , 16.解:⑴由题意,知 ? 即? 解之得 ? 2 ? S3 ? pS2 + q, ?3 + q ? 3 p ? 3 p + q, ? q ? 2 . ?

1 ⑵由⑴知, Sn ?1 ? Sn ? 2 ,① 2 1 当 n ≥ 2 时, Sn ? Sn?1 ? 2 ,② 2 1 ① ? ②得, an?1 ? an ? n ≥ 2? , 2

又 a2 ?

1 1 1 a1 ,所以 an ?1 ? an ? n ? N* ? ,所以 ?an ? 是首项为 2 ,公比为 的等比数列, 2 2 2 1 2
n?2

所以 an ?


2(1 ? 1 ) m 2n ? 4(1 ? 1 ) ,由 Sn ? m ? 2 ,得 1 2n Sn ?1 ? m 2m ? 1 1? 2

⑶由⑵得, Sn ?

1 )?m 2m 2n (4 ? m) ? 4 2m 2n ? m ,即 n , ? m 1 2 (4 ? m) ? 2 2 ? 1 4(1 ? n +1 ) ? m 2 ? 1 2 4(1 ?



2 1 1 1 (常数分离) ,即 n ?1 ,因为 2m ? 1 ? 0 , ? ? 2 (4 ? m) ? 1 2m ? 1 2n (4 ? m) ? 2 2m ? 1

所以 2n?1 (4 ? m) ? 1 ,所以 m ? 4 ,且 0 ? 2n ?1 (4 ? m) ? 1 ? 2m + 1 , (?) 因为 m ? N* ,所以 m ? 1或 2 或 3 . 当 m ? 1时,由 (?) 得, 0 ? 2n?1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 1 ,所以 n ? 1 ; 当 m ? 2 时,由 (?) 得, 0 ? 2n?1 ? 2 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2n ? 6 ,所以 n ? 1 或 2 ; 当 m ? 3 时,由 (?) 得, 0 ? 2n?1 ? 1 ? 8 ? 1 ,所以 n ? 2 或 3 或 4 , 综上可知, 存在符合条件的所有有序实数对 (m, n) 为: (1,1),(2,1),(2, 2),(3, 2),(3,3),(3, 4) . 17.解:(1)因为 qk ? 2 ,所以 比数列,所以

a2 k ?1 ? 4 ,故 a1 , a3 , a5 , ???, a2 k ?1 是首项为 1,公比为 4 的等 a2 k ?1

1 ? 4k 1 k a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 k ?1 ? ? (4 ? 1) 1? 4 3 (2)①因为 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,所以 2a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ?2 , a q ?1 1 ? qk ?1 ? 2 ,则 qk ?1 ? 1 ? k 而 a2 k ? 2 k ?1 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 ,所以 qk qk qk q 1 1 1 1 ? k ? ? 1,所以 ? ? 1 ,即 bk ?1 ? bk ? 1 , 得 qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ?1 ? 1 qk ? 1
所以 ?bk ? 是等差数列,且公差为 1 ②因为 d1 ? 2 ,所以 a3 ? a2 ? 2 ,则由 a2 ? 1? a3 ? a2 ? 2 ,解得 a2 ? 2 或 a2 ? ?1
2

(ⅰ)当 a2 ? 2 时, q1 ? 2 ,所以 b1 ? 1 ,则 bk ? 1 ? (k ? 1) ?1 ? k ,即 得 qk ?

1 ?k, qk ? 1

a (k ? 1) 2 k ?1 ,所以 2 k ?1 ? , a2 k ?1 k2 k

则 a2 k ?1 ?

a2 k ?1 a2 k ?1 a (k ? 1) 2 k2 22 ? ????? ?1 ? (k ? 1) 2 ? ????? 3 ? a1 ? k2 (k ? 1) 2 12 a2 k ?1 a2 k ?3 a1

a2 k ?1 (k ? 1) 2 k (k ? 3) ? ? k (k ? 1) ,则 dk ? a2 k ?1 ? a2 k ? k ? 1 ,故 Dk ? k ?1 qk 2 k 1 1 3 ( ⅱ ) 当 a2 ? ?1 时 , q1 ? ?1 , 所 以 b1 ? ? , 则 bk ? ? ? (k ? 1) ?1 ? k ? , 即 2 2 2 1 k? 1 3 2, ? k ? 得 qk ? 3 qk ? 1 2 k? 2
所以 a2 k ?

(k ? ) 2 (k ? ) 2 ( )2 a2 k ?1 a2 k ?1 a3 2 ? 2 ????? 2 ?1 ? 4(k ? 1 ) 2 , ? ????? ? a1 ? 所以 a2 k ?1 ? a2 k ?1 a2 k ?3 a1 3 2 5 2 1 2 2 (k ? ) 2 (k ? ) 2 (? ) 2

1

3

1

a2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) ,所以 d k ? a2 k ?1 ? a2 k ? 4k ? 2 ,从而 Dk ? 2k 2 . qk k (k ? 3) 2 综上所述, Dk ? 或 Dk ? 2k 2
则 a2 k ? 18.解:(1)因为 a1 ? a2 ? ??? ? an ? pan ?1 ? 0 , 所以 n ? 2 时, a1 ? a2 ? ??? ? an ?1 ? pan ? 0 ,两式相减,得

an ?1 p ? 1 ? (n ? 2) ,故数列 an p

?an ? 从第二项起是公比为

p ?1 的等比数列 p

a ? (n ? 1) a ? 又当 n=1 时, a1 ? pa2 ? 0 ,解得 a2 ? ,从而 an ? ? a p ? 1 n ? 2 p ? p ( p ) (n ? 2) ?

a p ? 1 k ?1 a p ?1 k a p ? 1 k ?1 ( ) , ak ? 2 ? ( ) , ak ?3 ? ( ) , p p p p p p p ?1 p ?1 1 ?1或 ? ?2 ,解得 p ? ? [1]若 ak ?1 为等差中项,则 2ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?3 ,即 p p 3 k ?1 k k ?1 此时 ak ?1 ? ?3a(?2) , ak ? 2 ? ?3a(?2) ,所以 d k ?| ak ?1 ? ak ? 2 |? 9a ? 2
(2)①由(1)得 ak ?1 ?

p ?1 ? 1 ,此时无解 p p ?1 p ?1 1 2 [3]若 ak ?3 为等差中项,则 2ak ?3 ? ak ?1 ? ak ? 2 ,即 ?1或 ? ? ,解得 p ? ? , p p 2 3 3a 1 k ?1 3a 1 9a 1 k ?1 此时 ak ?1 ? ? (? ) , ak ?3 ? ? (? ) k ?1 ,所以 d k ?| ak ?1 ? ak ?3 |? ?( ) 2 2 2 2 8 2 1 2 9a 1 k ?1 k ?1 综上所述, p ? ? , d k ? 9a ? 2 或 p ? ? , d k ? ?( ) 3 3 8 2 10 1 k ②[1]当 p ? ? 时, Sk ? 9a(2 ? 1) ,则由 S k ? 30 ,得 a ? , 3(2k ? 1) 3 10 当 k ? 3 时, ? 1 ,所以必定有 a ? 1 ,所以不存在这样的最大正整数 3(2k ? 1) 2 9a 1 40 [2] 当 p ? ? 时 , Sk ? ,因为 (1 ? ( ) k ) , 则 由 S k ? 30 , 得 a ? 1 k 3 4 2 3(1 ? ( ) ) 2 40 40 ,所以 a ? 13 满足 S k ? 30 恒成立;但当 a ? 14 时,存在 k ? 5 , ? 1 k 3 3(1? ( ) ) 2 40 使得 a ? 即 S k ? 30 , 1 k 3(1 ? ( ) ) 2 所以此时满足题意的最大正整数 a ? 13 .
[2]若 ak ? 2 为等差中项,则 2ak ? 2 ? ak ?1 ? ak ?3 ,即


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