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高考理科数学第一轮复习测试题8


(时间:40 分钟 满分:60 分) ?x? ?x′? ?x+2y?作用后,再绕原点逆时针旋转 90° 1.已知点 A 在变换 T:? ?→? ?=? ,得到点 B.若 ? ?y? ?y′? ? y ? 点 B 的坐标 为 (-3,4),求点 A 的坐标. ?0 解 ? ?1 -1? ?1 2? ?0 -1? ? ? ?=? ?. 0? ?0 1? ?1 2? ?-b=-3, ? ?0 -1? ?a? ?-3? ? ? ?=? ?,得? ?1 ?a+2b=4. 2? ?b? ? 4? ? 设 A(a,b),则由? ? ?a=-2, 所以? 即 A(-2,3). ?b=3, ? 2 . (2011· 扬州调研测试 ) 已知在一个二阶矩阵 M 对应变换的作用下,点 A(1,2) 变成了点 A′(7,10),点 B(2,0)变成了点 B′(2,4),求矩阵 M. 解 设 M=? 则? ?a b?, ? ?c d ? ?a b? ?1?=?7 ?,?a b? ?2?=?2?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c d? ?2? ?10? ?c d? ?0? ?4? a=1, ? ?b=3, 解得? c=2, ? ?d=4. a+2b=7, ? ?c+2d=10, 即? 2a=2, ? ?2c=4, 所以 M=? ?1 3?. ? ?2 4? 3.(2011· 南京模拟)求曲线 C:xy=1 在矩阵 M=? 的方程. 解 设 P(x0,y0)为曲线 C:xy=1 上的任意一点, ? 1 1? ?对应的变换作用下得到的曲线 C1 ?-1 1? ? 1 1? 它在矩阵 M=? ?对应的变换作用下得到点 Q(x,y). ?-1 1? 由? ?x0+y0=x, ? ? 1 1? ?x0? ?x? ? ? ?=? ?,得? ?-1 1? ?y0? ?y? ?-x0+y0=y. ? y , ?x =x- 2 解得? x+y ?y = 2 . 0 0 因为 P(x0,y0)在曲线 C:xy=1 上,所以 x0y0=1. x-y x+y 所以 × =1,即 x2-y2=4. 2 2 所以所求曲线 C1 的方程为 x2-y2=4. 1 4. 已知矩阵 M=? ?1 2?的一个特征值 为 3, 求其另一个特征值. ? ?2 x ? 解 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)=? -2? ?λ-1 ?=(λ-1)(λ-x)-4. ?-2 λ-x ? 因为 λ1=3 为方程 f(λ)=0 的一根,所以 x=1, 由(λ-1)(λ-1)-4=0,得 λ2=-1, 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1. 5.求矩阵? ?2 1?的特征值及对应的特征向量. ? ?1 2? ?λ-2 ? -1 -1 ? ?=(λ-2)2-1=λ2-4λ+3. λ-2? 解 特征多项式 f(λ)=? 由 f(λ)=0,解得 λ1=1,λ2=3. ? ?-x-y=0, 将 λ1=1 代入特征方程组,得? ?x+y=0, ?-x-y=0 ? 可取? ? 1? ?为属于特征值 λ1=1 的 一个特征向量. ?-1? ?x-y=0, ? ?1? 同理,当 λ2= 3 时,由? ?x-y=0,所以可取? ?为属 于特征值 λ2=3 的一个特征 ?1? ? ?-x+y=0 向量. 综上所述,矩阵? ?2 1?有两个特征值 λ =1,λ =3;属于 λ =1 的一个特征向量为? 1?,属 ? ? ? 1 2 1 ?1 2? ?-1? ?1? 于 λ2=

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