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广东省广宁第一中学高三数学上学期第二月考试题 文 新人教A版

2013 年广宁第一中学高三级第一学期第二月考试题 文科数学
本试卷共 3 页,21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填 写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂 黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题级号的信息点,再作答。漏涂、错 涂、多涂的,答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。 一、 (选择题每小题 5 分共 50 分) 1.已知 A ? ? x | x ? 1 ? 0? , B ? ??2, ?1, 0,1? ,则 (CR A) ? B ? A. ??2, ?1? 2. B. ??2? C. ??1, 0,1? ( D. ?0,1? ( ) )

1 ? 2i ? (1 ? i ) 2
A. ?1 ?

1 i 2

B. ?1 ?

1 i 2

C. 1 ?

1 i 2

D. 1 ?

1 i 2
)

3.设 p、q 是简单命题,则“p 或 q 是假命题” 是 “非 p 为真命题”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 4.函数 f ( x ) ?

1 ? lg (1 ? x ) 的定义域是 1? x





A.(?? , ?1)

B.(1, ? ?)

C.(?1,1) ? (1, ??)

D.(??, ??)
( )

5. 已知向量 m ? ? ? ?1,1? , n ? ? ? ? 2,2? , 若? m ? n? ? ? m ? n? , 则? = A. ?4 6. 函数 f(x) ? (x - 3)? e
x

B. ?3

C. -2

D. -1 ( )

的单调递增区间是

A.(?? , 2)
3

B.( 0 , 3)
2

C.(1, 4)

D.( 2 , ? ? )
) C.

7.设函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a 的值为( A.

19 3

B.

16 3

13 3

D. 8.已知 cos A.

?

24 25

4 ? ? ? , 8? ? ? ? 12? ,则 sin 的值是 8 5 4 24 12 24 B. ? C. ? D. ? 25 25 25


10 3





9. 下列说法,正确的是 A. 对于函数 f (x) ? 必有零点;



1 ,因为 f (-1)? f (1) ? 0 ,所以函数 f(x) 在区间 ( -1 , 1 )内 x

B. 对于函数 f ( x) ? x 2 ? x ,因为 f(-1) f(2)>0,所以函数 f(x) 在区间 ( -1, 2 )内 没有零点; C. 对于函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 1,因为 f(0) f(2)<0,所以函数 f(x) 在区间 ( 0 , 2 ) 内必有零点; D. 对于函数 f (x) ? x 3 ? 3x 2 ? 2x ,因为 f(-1) f(3)<0,所以函数 f(x) 在区间 ( -1 , 3 ) 内有唯一零点。 10.设 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数,若函 y ? f ( x) ? g ( x) 在

x ? [a, b] 上有两个不同的零点,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上是“关联函数”,区间 [a, b] 称为“关联区间”.若 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联 函数”,则 m 的取值范围为 ( ) 9 9 A. ( ? , ?2] B. [?1, 0] C. (??, ?2] D. (? , ??) 4 4
二、填空题(每小题 5 分共 20 分) 11. 在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A= 为_________. 12.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a5 ? a7 ? 12 ,那

? ,则∠C 的大小 3

开始 输入 x

f ( x) ? g ( x)
么 a1 ? a2 ? ??? ? a9 的值为
x

.
2

否 是 h( x ) ? f ( x ) 输出 h( x) 结束 . (第 13 题图)

13. 如图,函数 f ? x ? ? 2 , g ? x ? ? x ,若输入的 x 值为 3, 则输出的 h ? x ? 的值为 .

h( x ) ? g ( x )

(二) 、选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.在极坐标系中,圆 ? ? ?4 cos? 的圆心极坐标为

15.如图 4, P 是圆 O 外一点,过 P 引圆 O 的两条割线 PAB 、

B A P O C D 图4

PCD , PA ? AB ? 5 , CD ? 3 ,

则 PC ? _________. 16.(12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2 x ( x ? R). (1) 求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2)若 ? 为锐角,且 f ? ? ?

? ?

??

2 ,求 tan 2? 的值. ?? 8? 3

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 17.(12 分)已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3
1 4

18.(14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 1 19.(14 分)f(x)=a- . |x| (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f ( x) ? 2 x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 20. (14 分)设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N .
*

(1)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a1 , T3 ? a3 .求 ?bn ? 的通项公式,并证 明:

1 1 ? ? b1b2 b2b3

?

1 1 ? . bnbn?1 2
1 ? a ln x .( a ? R ) x

21.(14 分)已知函数 f ( x) ?

(1)当 a ? ?1 时,试确定函数 f ( x ) 在其定义域内的单调性; (2)求函数 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值; (3)试证明: (1 ? )

1 n

n ?1

? e(e ? 2.718

, n ? N ?) .

高三文科数学第二月考答案 1 A 11. 90 ? , 2 B 3 A 12. 36, 13.9 4 C 14. 5 B 6 D 15.2 …… 2 分 7 D 8 A 9 C 10 A

(2, ? )

16. (1) 解: f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x

? 2 ? 2 ?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . …… 5 分 ? 2? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 ? 4? 2 ? ? ?
∴ f ? x ? 的最小正周期为 (2) 解:∵ f ? ? ? ∴ cos 2? ?

2? ? ? , 最大值为 2 . 2
∴ 2 sin ? 2? ?

…… 7 分

? ?

??

2 , ?? 8? 3

? ?

??

2 . ?? 2? 3

…… 8 分

1 . 3

…… 9 分

∵ ? 为锐角,即 0 ? ? ?

?
2

,

∴ 0 ? 2? ? ? .

∴ sin 2? ? 1 ? cos 2 2? ? ∴ tan 2? ?

2 2 . 3

…… 12 分

sin 2? ?2 2. cos 2?

…… 14 分

17.解: (1)函数 f ( x) 要有意义,需满足: cos x ? 0 , 解得 x ? 即

?
2

? k? , k ? Z ,
f ( x)
的 定

------------2 分 义 域 为

{x | x ?

?
2

? k? , k ? Z } -------------------------------------4 分

? 1 ? 2 sin(2 x ? ) 1 ? 2( 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x) 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 4 ? 2 2 (2)∵ f ( x) ? ------6 分 ? cos x cos x cos x

?

2 cos 2 x ? 2sin x cos x cos x

? 2(cos x ? sin x) --------------------------------------------8 分
由 tan ? ? ?

4 4 ,得 sin ? ? ? cos ? , 又 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 3 3

∴ cos 2 ? ? ∴

9 3 4 ,∵ ? 是第四象限的角∴ cos ? ? , sin ? ? ? ----------------10 分 25 5 5 14 . -------------------------------------------------5

f (? ) ? 2(cos ? ? sin ? ) ?
-----12 分

18、 (1)解:因为 cos2C=1-2sin C= ?
2

1 ,及 0<C<π 4

所以 sinC=

10 .… 4 分 4

(2)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理

a c ? ,得 c=4 ……8 分 sin A sin C
………10 分

由 cos2C=2cos C-1= ?
2

1 6 ,J 及 0<C<π 得 cosC=± 4 4
2

由余弦定理 c =a +b -2abcosC,得 b ± 6 b-12=0
2 2 2

解得

b= 6 ,c=4 或 2 6 ,c=4

………

14 分

1 19(1)证明:当 x∈(0,+∞)时,f(x)=a- ,

x

设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0.

……… 1 1

2分

f(x1)-f(x2)=(a- )-(a- )= - x1 x2 x2 x1


1

1

x1-x2 <0. x1x2

………………………

5分

∴f(x1)<f(x2), 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ……… 7分 9分 11 分

1 (2)解析:由题意 a- <2x 在(1,+∞)上恒成立,………

x

1 设 h(x)=2x+ ,则 a<h(x)在(1,+∞)上恒成立. ………

x

可证 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 故 a≤h(1),即 a≤3,∴a 的取值范围为(-∞,3].……… 20.解: (1)因为 an?1 ? 3an ,又 a1 14 分

? 1 ,所以

an ?1 ?3, an
………2 分

因此 ?an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 所以 an ? 3n?1 , Sn ?

1 ? 3n 1 n ? ? 3 ? 1? . 1? 3 2

…………6 分

(2)设等差数列 ?bn ? 的公差为 d , 依题意 b1 ? a1 ? 1 , b1 ? b2 ? b3 ? 9 所以 b1 ? ?b1 ? d ? ? ?b1 ? 2d ? ? 9 ,即 3 ? 3d ? 9 ,故 d ? 2 . 由此得, bn ? 2n ? 1. 所以, …………10 分 ……………8 分

1 1 ? ? b1b2 b2b3

?

1 1 1 ? ? ? bnbn?1 1? 3 3 ? 5
1? 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

?

? 2n ?1?? 2n ? 1?
…………12 分

1

1? 1? 1?1 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? 3? 2? 3 5?

1? 1 ? 1 ? ?1 ? ?? . 2 ? 2n ? 1 ? 2
因此所证不等式成立. 21.解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? 则 …………14 分

1 ? ln x , x ? (0, ??) , x 1 1 x ?1 f '( x) ? ? 2 ? ? 2 x x x



---------------------------------------------------1 分 ∵当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增。------------------3 分 (2)∵ f '( x) ? ?

1 a ax ? 1 ? ?? 2 , 2 x x x

①当 a ? 0 时,∵ x ? (0, e] ,∴ ax ? 1 ? 0 ? f '( x) ? 0 函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递减,∴ f ( x) min ? f (e) ? ②当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 得 x ? ? 当?

1 ? a ------------5 分 e

1 a

1 1 1 1 ? e, 即 a ? ? 时,对 x ? (0, ? ) ,有 f '( x) ? 0 ;即函数 f ( x) 在 (0, ? ) 上 a e a a

单调递减;

1 1 , e] ,有 f '( x) ? 0 ,即函数 f ( x) 在 (? , e] 上单调递增; a a 1 1 ∴ f ( x) min ? f (? ) ? ? a ? a ln(? ) ;--------------------------7 分 a a 1 1 当 ? ? e, 即 a ? ? 时,对 x ? (0, e] 有 f '( x) ? 0 ,即函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递 a e
对 x ? (? 减;

∴ f ( x) min ? f (e) ?

1 ? a ;-----------------------------------8 分 e

综上得 f ( x ) min

1 ?1 ? a(a ? ? ) ? ?e e ---------------------------9 分 ?? 1 ? ? a ? a ln( ? a )( a ? ? ) ? ? e

(3) (1 ? )

1 1 1 ? e ? (n ? 1) ln(1 ? ) ? 1 ? ln(1 ? ) ? ,------------10 分 n n n ?1 1 1 1 ? 1? , 令1 ? ? x , ( 1 ? x ? 2 )则 n n ?1 x 1 1 1 ∴要证 ln(1 ? ) ? 只需证 ln x ? 1 ? ( 1 ? x ? 2 ) ,----------------12 分 n n ?1 x
n ?1

1 n

由(1)知当 a ? ?1 时, f ( x)min ? f (1) ∴ f ( x) ? 分 ∵ 1 ? x ? 2 ,∴上式取不到等号 即

1 1 ? ln x ? f (1) ? 1 ,即 ln x ? 1? , ---------------------------13 x x

ln x ? 1 ?

1 x





1 (1 ? ) n ?1 ? e .--------------------------------------------------14 分. n