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高中数学第一章计数原理13二项式定理131二项式定理课堂探究教案新人教B版选修2 3(数学教案)

1.3.1 二项式定理 课堂探究 探究一 二项式定理的应用 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理直接展开, 对于形式较复杂的二项式, 在 展开之前可以根据二项式的结构特点, 进行必要的变形, 然后再展开, 以使运算得到简化. 记 准记熟二项式(a+b) 的展开式是解答与二项式定理有关问题的前提. 逆用二项式定理,要注意分析其结构特点,a 的指数是从高到低,b 的指数是从低到高, 且 a,b 的指数和等于二项式的次数 n,正负相间是(a-b) 的形式.指数不满足时可通过乘 (或除)某项来调整,缺项时通常需添加项来凑结构形式. 3 ?5 ? 【典型例题 1】 求?2x- 2? 的展开式. 2x ? ? 思路分析:对一个二项式进行展开时,可以利用二项式定理直接展开,也可以先化简, 再展开. 解:(直接利用二项式定理展开) n n ?2x- 3 2? 5 = C 0 (2x)5 + C 1 (2x)4 ?- 3 2? + C 2 (2x)3· ?- 3 2? 2 + C 3 (2x)2 ?- 3 2? 3 + C 4 ? 5 5 ? 2x ? 5 ? 2x ? 5 ? 2x ? 5 2x ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2x)?- ? 3 2?4+C5?- 3 2?5=32x5-120x2+180-135+405- 243 . ? 5? ? x x4 8x7 32x10 ? 2x ? ? 2x ? 探究二 二项展开式中特定项的求法 r n-r r 求二项展开式的特定项问题实质是考查通项 Tr+1=Cna b 的特点, 一般需要建立方程求 r,再将 r 的值代回求解,注意 r 的取值范围(r∈{0,1,?,n}).求二项展开式的特定项的 三种常见类型分别为: (1)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为零建立方程; (2)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程; (3)第 m 项:此时 r+1=m,直接代入通项.特定项的次数问题及相关参数值的求解等 都可依据上述方法求解. ? x+ 1 ? ?n 【典型例题 2】 若? 4 ? 展开式中前三项系数成等差数列.求: ? 2 x? ? (1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式里所有 x 的有理项; (3)展开式中系数最大的项. 思路分析:首先应根据题意,得到关于 n 的方程,解得 n 的值,然后根据题目的要求解 答每一问.这三问都与二项展开式的通项公式有关,通项为 1 ? 1 ? Tr+1=C ·( x) ·? 4 ?r. ?2 x? ? ? r n n-r 解:由已知条件知: 1 1 0 2 1 Cn+Cn· 2=2Cn· , 2 2 解得 n=8(n=1 舍去). (1)Tr+1=C8·( x) r 8-r ? 1 ? 3 r r -r ·? 4 ? =C8·2 ·x4- r. ?2 x? 4 ? ? 3 令 4- r=1,解得 r=4. 4 所以 x 的一次幂的项为 -4 T4+1=C4 x. 8·2 ·x= 35 8 3 (2)令 4- r∈Z,且 0≤r≤8,所以 r=0,4,8. 4 因此,有理项为 T1=x ,T5= 4 35 1 x,T9= 2. 8 256x (3)记第 r 项系数为 tr,设第 k 项系数最大,则有 tk≥tk+1,且 tk≥tk-1. 又 tr=C8 ·2 k-1 -k+1 r-1 -r+1 ,于是有 -k ?C8 ·2 ≥C8·2 , ? ? k-1 -k+1 k-2 -k+2 ?C8 ·2 ≥C8 ·2 . ? k 8! 8! ? ?(k-1)!·(9-k)!×2≥k!(8-k)!, 即? 8! 8! ?(k-1)!·(9-k)!≥(k-2)!·(10-k)!×2. ? 2 1 ≥ , ? 9 - k k ? 所以? 1 2 ≥ . ? ?k-1 10-k 解得 3≤k≤4. 5 7 所以系数最大项为第三项和第四项,分别为 T3=7x ,T4=7x . 2 4 探究三 易错辨析 易错点:对二项式定理理解不透造成错误 ? 1 ?5 【典型例题 3】 求?x+ -1? 展开式的常数项. ? x ? 2 ? 1 ?5 ?? 1? ?5 错解:因为?x+ -1? =??x+ ?-1? , ? x ? ?? x? ? ? 1?5-r r r 所以展开式的通项为 Tr+1=C5·?x+ ? ·(-1) . ? x? ? 1?5-r 而?x+ ? 的展开式的通项为 ? x? 5-r-k k k 5-r-2k Tk+1=Ck ·? ? =C5-r·x . 5-r·x ?x? ?1? 令 5-r-2k=0,即 r+2k=5,且 0≤r≤5,0≤k≤5-r. 则有? ?r=1, ? ?k=2 ? 或? 1 ?r=3, ? ?k=1 ? 2 1 或? 3 ?r=5, ? ?k=0. ? 1 3 5 0 5 所以常数项为 C5·C4·(-1) , C5·C2·(-1) 和 C5·C0·(-1) , 即-30 和-20 和-1. 错因分析:错解中有两处错误:一是出现了 C0这个无意义的组合数,这是解题不严密造 0 ? 1?5-r 成的,在考虑?x+ ? 的展开式时,用的是二项式定理,但没有注意二项式定理只对两项 ? x? 和的正整数次幂适用,当 r=5 时,5-r=0,此种特殊情况应特殊处理;二是对概念的理解 错误,一个展开式中常数项只能有一个,不可能出现两个或两个以上的常数项. ? 1 ?5 ?? 1? ?5 正解:因为?x+ -1? =??x+ ?-1? , ? x ? ?? x? ? ? 1?5-r r r 所以展开式的通项为 Tr+1=C5·?x+ ? ·(-1) (0≤r≤5). ? x? 当 r=5 时,T6=C5·(-1) =-1; 5 5 ? 1? 5 - r ?1? k k k 5-r-k

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