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2018-2019学年最新高中数学北师大版必修一3.5《第2课时对数函数的图像和性质》同步测试

第三章 §5 第 2 课时对数函数的图像和性质 一、选择题 1.如果log1 x<log1 y<0,那么( 2 2 A.y<x<1 C.1<x<y [答案] [解析] 以 x>y>1. 2.(2015·南安高一检测)已知 y=4x 的反函数为 y= 1 f(x),若 f(x0)= ,则 x0 的值为( 2 A.-2 C.2 [答案] [解析] C ∵y=4x 的反函数 f(x)=log4x, ) D 因为 y=log1 x 为(0,+∞)上的减函数,所 2 B.x<y<1 D.1<y<x ) B.-1 D. 1 2 1 1 又 f(x0)= ,∴log4x0= . 2 2 ∴x0=2. 3.下列不等式成立的是( ) A.log32<log23<log25 C.log23<log32<log25 [答案] [解析] A B.log32<log25<log23 D.log23<log25<log32 ∵y=log2x 在(0,+∞)上是增函数, ∴log25>log23>log22=1. 又 y=log3x 在(0,+∞)上为增函数, ∴log32<log33=1. ∴log32<log23<log25. 4.已知 a>0,且 a≠1,则函数 y=ax 与 y=loga(-x) 的图像只能是( ) [分析] 可利用函数的性质识别图像,特别注意底数 a 对图像的影响,也可从图像的位置结合单调性来判定. [答案] [解析] B 解法 1:首先,曲线 y=ax 只可能在上半平面, y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除 A、C. 其次,从单调性着眼.y=ax 与 y=loga(-x)的增减性 正好相反,又可排除 D. ∴应选 B. 解法 2:若 0<a<1,则曲线 y=ax 下降且过点(0,1),而 曲线 y=loga(-x)上升且过点(-1,0), 所有选项均不符合这 些条件. 若 a>1,则曲线 y=ax 上升且过点(0,1),而曲线 y= loga(-x)下降且过点(-1,0),只有 B 满足条件. 解法 3:如果注意到 y=loga(-x)的图像关于 y 轴的对 称图像为 y=logax,又 y=logax 与 y=ax 互为反函数(图像 关于直线 y=x 对称),则可直接选定 B. 5. (2014·天津高考)设 a=log2π, b=log1 π, c=π-2, 2 则( ) A.a>b>c C.a>c>b [答案] [解析] C 1 ∵a=log2π>1,b=log1 π<0,c=π-2= 2∈ π 2 B.b>a>c D.c>b>a (0,1),∴a>c>b. 6.y=logπ (x2+2x-3)的递增区间为( 3 A.(1,+∞) C.(-∞,-1) [答案] [解析] A 由 x2+2x-3>0 得 x<-3 或 x>1, B.(-3,1) D.(-∞,-3) ) 设μ=x2+2x-3 则 y=logπ μ; 3 μ=x2+2x-3=(x+1)2-4, 当 x∈(-∞,-3)时,μ=x2+2x-3 是减函数, 当 x∈(1,+∞)时,μ=x2+2x-3 是增函数, 又 y=logπ μ在(0,+∞)上为增函数, 3 ∴y=logπ (x2+2x-3)的递增区间为(1,+∞). 3 二、填空题 7.函数 y=log1 (1-2x)的单调递增区间为________. 2 [答案] [解析] 1 (-∞, ) 2 1 令 u=1-2x, 函数 u=1-2x 在区间(-∞, ) 2 内递减,而 y=log1 u 是减函数, 2 1 故函数 y=log1 (1-2x)在(-∞, )内递增. 2 2 8 .函 数 f(x) = ln ________. [答案] [解析] -2 由 f(x)为奇函数,得 f(-1)=-f(1), 1+ax (a ≠ 2) 为 奇函 数 , 则实数 a = 1+2x 1+a a2-1 即 ln(a-1)=-ln ,∴ =1. 3 3 解得 a=-2 或 a=2(舍去). 三、解答题 9.已知 f(x)=ln 1+x . 1-x (1)求 f(x)的定义域; (2)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. [解析] (1)要使函数有意义,应满足 1+x >0, 1-x ∴(x-1)(x+1)<0, ∴-1<x<1,∴函数 f(x)的定义域为(-1,1). (2)要使 f(x)=ln ∴ 1+x 1+x 1+x >0, 则有 >1, ∴ -1>0, 1-x 1-x 1-x 2x >0,∴x(x-1)<0,∴0<x<1, 1-x ∴使 f(x)>0 的 x 的取值范围为(0,1). 1 10.(1)已知 loga >1,求 a 的取值范围. 2 (2)已知 log0.72x<log0.7(x-1),求 x 的取值范围. [解析] 1 1 (1)由 loga >1 得 loga >logaa. 2 2 1 ①当 a>1 时,有 a< ,此时无解. 2 1 1 ②当 0<a<1 时,有 <a,从而 <a<1. 2 2 1 ∴a 的取值范围是( ,1). 2 (2)∵函数 y=log0.7x 在(0,+∞)上是减少的, 2x>0, ? ? ∴ 由 log0.72x<log0.7(x - 1) 得 ?x-1>0, ? ?2x>x-1, x>1. 即 x 的取值范围是(1,+∞). b 11.指数函数 y=( )x 的图像如图所示. a 解得 a (1)在已知图像的基础上画出指数函数 y=( )x 的图像; b (2)求 y=ax2+bx 的顶点的横坐标的取值范围. [解析] b a a (1)由已知图象知 0< <0, ∴ >1.∴y=( )x 的 a b b 图像如图所示. (2)∵y=ax2+bx 的顶点横坐标为- b 1b =- · , 2a 2a 1 b ∴- <- <0. 2 2a 1 ∴y=ax2+b

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