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湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-1:3.2立体几何中的向量方法第5课时


§3.2.5

综合问题

【学情分析】 : 教学对象是高二的学生,学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用 向量解决了一些立体几何问题,本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合 问题。由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系,展示向量方法与 坐标方法相结合的优越性。 【教学目标】 : (1)知识与技能:进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用,再次熟悉立体几 何中的向量方法“三步曲”; 继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系, 展示向量方 法与坐标方法相结合的优越性;对立体几何中的三种方法(综合法、向量法、坐标法)的联 系进行分析与小结. (2)过程与方法:在解决问题中,通过数形结合与问题转化的思想方法,加深对相关内容的 理解。 (3)情感态度与价值观:体会把立方体几何几何转化为向量问题优势,培养探索精神。 【教学重点】 :坐标法与向量法结合. 【教学难点】 :适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线. 【课前准备】 :Powerpoint 课件 【教学过程设计】 : 教学环节 一、 复习引 入 教学活动 教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程, 留给学生一定 时间, 使其通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务, 并能简明 地叙述出来,为对本节后续内容的整体把握作准备坐标法。 立体几何中的向量方法可以归纳为三步:( l )把几何问题转化为向 量问题;( 2 )进行向量运算;〔 3 )由向量运算解释几何问题。 一、问题探究 问题 1 :阅读课本上的例 4 ,请你找出其中的已知条件和求解问 题.这些求解问题能用向量方法解决吗? 学生独立阅读并分析题意, 教师引导学生认识到本题具有一定的综合 性,需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角,而这些问题都可以利 用向量解决. 问题 2 :从例 4 的已知条件和求解问题看,你认为应怎样把问题向 量化?如果建立坐标系,应怎样建立? 教师引导学生关注己知条件中有 “三条线段两两垂直且彼此相等 ”这 一条件, 使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、 以线段长 (正 方形边长) 为单位长度建立空间直角坐标系, 并意识到这是适合本题的坐 标化方法.教师要求学生写出点 P , A ,B,C , D , E 的坐标.并进一 步写出 PA, PB 等的坐标. 问题 3 :考虑例 4 ( 1 ) ,要证PA∥平面EDB,应如何入手? 教师从“PA∥平面EDB”出发, 启发学生考虑直线与平面平行的判 定条件, 引导学生通过讨论发现 PA 与EG有平行关系, 从而自然地想到 写出 的坐标, 并由 =k 证出PA∥EG , 进而证出PA∥平面EDB。 设计意图 有助于加强学生对 解题通法的整体认 识.

二、 问题与 探究

通过阅读题目,使学生 明 确 题 中所给出的条 件和求解的问题,从需 要 完 成 的任务理出本 题 可 以 用向最解决的 大体思路. 初 步 建 立已知条件与 求 解 内 容两者间的联 系, 使学生意识到通过 把 向 量 坐标化解决问 题, 培养他们结合题中 条 件 建 立适当坐标系 的能力. 找 出 这 条直线的过程 可 以 锻 炼直觉观察能 力; 证明两线平行可以 巩 固 对 直线的方向向 量、 共线向量等概念的

-1-

理解.

问题 4 :考虑例 4 ( 2 ) ,要证PB⊥平面EFD,应如何人手? 教师从“PB⊥平面EFD出发”,启发学生考虑直线与平而垂直的判 定条件,让学生讨论:应证明 PB 与哪些线段垂直,用向量方法怎样证?

找出这两条直线的过 程可以锻炼分析已知 条件以及看图能力;证 明直线间的垂直关系 的过程可以巩固对两

在讨论的基础上,由学生自己写出主要证明过程,即PB⊥EF(已知) 非零向量的 “数量积
为 0 ”的几何意义的认

· =0, ⊥ , PB⊥DE PB⊥平面EFD 问题 5 :考虑例 4( 3 ) ,求二面角C-PB-D的大小,应如何 人手?

识。

计算二面角的大小,首 先要找出其平面角,转 而计算平面角的大

教师从“计算二面角 C 一 PB 一 D 的大小”出发, 启发学生如何找出 小.计算角的大小时, 相应的平面角,让学生讨论:哪个角是二面角 C 一 PB 一 D 的平面角, 向 量 是 非常有力的工 用向量方法怎样计算它的大小? 具. 解决这个问题可以 教师引导学生考虑:点 F 的坐标对计算是否垂要?怎样利用题中条 件确定点 F 的坐标? 让学生通过讨论写出确定点 F 坐标的过程,再进一步考虑并表达通 过 cos ∠EFD= 计算∠EFD 的过程 问题 6 :考虑例 4 后的思考题. 学生结合刚讨论过的例题, 对思考题进行思考和讨沦, 教师适当点拨 引导.注意不要就题论题,而要透过例题看到解题中的基本想法. 二、问题解答 解:如课本图所示建立空间直角坐标系,点 D 为坐标原点,设 DC=1 (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于点 G,连结 EG
巩 固 对 运用向量方法 求角度的掌握.

思考题 1 可以使学生 进 一 步 体会向量方法 中 坐 标 化对简化计算 所起的作用.思考题 2 可 以 加 强不同方法之 间的联系.

依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ) 2 2 因为底面ABCD是正方形,

1 1 且 PA ? (1,0,?1), EG ? ( ,0,? ) 所以PA ? 2EG ,即PA// EG 2 2

所以点G是此正方形的中心, 1 1 故点G的坐标为( , , 0) 2 2

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB 所以,PA // 平面EDB
-2-

(2)证明:依题意得 B(1,1,0), PB ? (1,1,?1) 1 1 1 1 又 DE ? (0, , ), 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 2 2 2 2 所以PB ? DE
由已知EF ? PB, 且EF ? DE ? E , 所以PB ? 平面EFD

(3)解:已知PB ? EF,由(2)可知PB ? DF , 故?EFD是二面角C ? PB ? D的平面角。

设点F的坐标为 ( x, y, z),则PF ? ( x, y, z ?1)
因为PF ? k PB 所以( x, y, z ? 1) ? k (1,1, ?1)

? (k , k , ?k ) 即x ? k , y ? k , z ? 1 ? k

因为PB ? DF ? 0
所以(1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0

所以 k ?

1 1 2 点F的坐标为 ( , , ) 3 3 3 1 1 1 所以 FE ? (? , ,? ) 3 6 6

1 3

1 1 又点 E的坐标为 (0, , ) 2 2

因为cos ?EFD ?

FE ? FD FE FD

所以?EFD ? 60? ,即二面角 C ? PB ? D的大小为 60?.

1 1 1 1 1 2 1 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 3 3 3 ?6?1 ? 3 6 6 1 2 6 6 ? 3 6 3

三、小结立体几何中的不同方法. 教师引导学生进行归纳, 了解各种方法的特点及联系, 认识到应根据 问题的条件选择合适的方法,而不是生搬硬套. 三、 拓展与 提高 1,练习题 3 。 (解略) 2 ,如图,四面体 ABCD 中, O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点,

加深对不同方法(综合 法、向量法、坐标法) 的特点和联系的认识.

学生进行提高训练 应用.

CA ? CB ? CD ? BD ? 2

A

AB ? AD ? 2
O B

D

E

C

-3-

(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。
z

解: (I)略 (II)以 O 为原点,如图建立 空间直角坐标系,则

A

D O x B E C y

B(1,0,0), D(?1,0,0),

??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA.CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? , ? ??? ? ? 4 BA CD

? 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 2 4 ? (III)设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

? ???? ? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1, 0, ?1) ? 0, ? ? ???? ? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0,
? ? x ? z ? 0, ?? ? ? 3 y ? z ? 0. ? y ? 1, n 令 得 ? (? 3,1, 3) 是 平 面 ACD 的 一 个 法 向 量 , 又

??? ? 1 3 EC ? (? , , 0), 2 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离
四、小结

??? ?? EC.n 3 21 h? ? ? ? . 7 7 n
反思归纳

解决立体几何问题的三种方法: 1, 综合方法; 2, 向量方法; 3, 坐标方法。

-4-

五、作业

习题 3.2 A 组 9、10、 12 题;选作 B 组 2 , 3 题

练习与测试: (基础题) 1,过正方形 ABCD 的顶点 A ,引 PA ⊥平面 ABCD ,若 PA ? AB , 则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是( A. 30 答:B 2, 设P 是60 的二面角? ? l ? ? 内一点,P ,PB ?2 , A ? 平面? ,P B ? 平面? ,AB 为垂足,PA ? 4
? ?


?

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

则AB 的长为 ( A.2 3

) B.2 5 C .2 7 D. 4 2

答:C 3,如下图,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分别是对边 OA、BC 的中点,点

G 在线段 MN 上,且分 MN 所成的定比为 2,现用基向量
=x +y +z ,则 x、y、z 的值分别为





表示向量

,设

A.x=

,y=

,z=

B.x=

,y=

,z=

C.x=

,y=

,z=

D.x= 解析:

,y= =

,z= - , = - ,

=

(

+

)=

+



,

=



=

+



,

-5-

=

=-

+

+

,

= 答案:D

+

=

+

+

.

4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN= 则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 A.相交 C.垂直 B.平行 D.不能确定

a,

解析:因为正方体的棱长为 a,故面对角线 A1B=AC=

a.而 A1M=AN=

a,所以 M、N 分别是

A1B 和 AC 上的三等分点.在 B1B、BC 上各取点 E、F,使得 B1E=BF=
则 = + + .

a.



=



=



=

(



)=



=



=



=

(



)=



∴ ∴

+ =

=

+

=

+

=0,

,即 MN∥EF,

∴MN∥平面 BB1C1C. 答案:B (中等题) 5,如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1,.求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.
D1 C1 B1

解:以 DA, DC, DD1 分别为 x, y , z 轴建立坐标系,则 E(3,3,0) 、
A1

C1(0,4,2) 、
D F B C

-6-

A

E

D1(0,0,2) 、F(2,4,0).从而 EC1 =(-3,1,2) 、 FD1 = (-2,-4,2) 所以直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值为

cos EC1 , FD1



EC1 ? FD1 | EC1 | ? | FD1 |



21 14

6,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是等腰直角三角形, ?ACB ? 90 ,侧
?

棱 AA1 ? 2 , D, E 分别是 CC1 ,与 A1 B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是

?ABD 的重心 G , (1)求 A1 B 与平面 ABD 所成角的正弦值; (2)求点 A1 到
平面 ABD 的距离. 解:建立如图的空间直角坐标系,设 A1 (a,0,0) , 则 B1 (0, a,0) , A(a,0, 2) , B(0, a, 2) , C (0,0, 2) , ∵ D, E 分别是 CC1 ,与 A1 B 的中点,

B A x E
y A 1

z
C D C1

G B1

a a ∴ D(0, 0,1), E ( , ,1) ,∵ G 是 ?ABD 的重心, 2 2 ??? ? a a 2 ??? ? a a 5 G ( , , ) ,∴ EG ? ( , , ? ) , AB ? (a, ?a,0) , 3 3 3 6 6 3 ??? ? AD ? (0, ?a, ?1) ,∵ EG ? 平面 ABD , EG ? AB, EG ? AD,
得 a ? 2 ,且 A1 B 与平面 ABD 所成角 ?EBG , | EG |?

??? ?

6 , 3

BE ?

1 EG 2 BA1 ? 3 , sin ?EBG ? ? , 2 BE 3

(2) E 是 A1 B 的中点, A1 到平面 ABD 的距离等于 E 到平面 ABD 的距离的两倍, ∵ EG ? 平面 ABD , A1 到平面 ABD 的距离等于 2 | EG |?

??? ?

2 6 . 3

小结: 根据线段 A1 B 和平面 ABD 的关系, 求点 A1 到平面 ABD 的距离可转化为求 E 到平 面 ABD 的距离的两倍.

-7-

(难题) 7,如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D、BD 的中点,G 在棱 CD 上,

且 CG=

CD,H 为 C1G 的中点,应用空间向量的运算方法解决下列问题.

(1)求证:EF⊥B1C; (2)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦; (3)求 FH 的长. 分析:本题主要利用空间向量的基础知识,证明异面直线垂直,求异面直线所成 的角及线段的长度.

解:如图建立空间直角坐标系 O-xyz,D 为坐标原点 O,依据已知有 E(0,0, 0),

),F(





C(0, 1, 0), C1(0, 1, 1), B1(1, 1, 1), G(0, , 0)

(1)证明:

=(



,0)-(0,0,

)=(



,-

),

=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1), 由

· 1)=0, 得 ⊥

=

×(-1)+

×0+(-

)×(-



∴EF⊥B1C.

(2)解:

=(0, , 0)-(0, 1, 1)=(0, -

, -1), |

|=

=



由(1)得|

|=

=





·

=

×0+

×(-

)+(-

)×(-1)=



∴cos〈

,

〉=

=

.

-8-

(3)解:∵H 是 C1G 的中点,

∴H(

,

,

),即(0,

,

).

又 F(



,0),

∴FH=|

|=

=

.

E 为 CC1 的中点,点 F 为 BD1 的中 8,已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , AB ? 1, AA 1 ? 2, 点
点, (1)证明: EF 为异面直线 BD1与CC1 的公垂线; (2)求点 D1 到平面 BDE 的距离. 解: (1)以 DA, DC, DD1 分别为 x, y , z 轴建立坐标系, 则 B(1,1, 0) , D1 (0,0, 2) , E (0,1,1) , F ( , ,1) ,
A1 B1 F E D1 C1

??? ? 1 1 ???? ? ???? ? EF ? ( , ? , 0) , CC1 ? (0,0, 2) , BD1 ? (1,1, ?2) , 2 2 ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ∴ EF ? BD1 ? 0, EF ? CC1 ? 0 ,
∴ EF 为异面直线 BD1与CC1 的公垂线.

1 1 2 2

D

C

A

B

(2)设 n ? (1, x, y) 是平面 BDE 的法向量,∵ DB ? (1,1,0) , DE ? (0,1,1) ∴ n ? DB ? 1 ? x ? 0 , n ? DE ? x ? y ? 0 , n ? (1, ?1,1) ,

?

??? ?

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

?

???? ? ? | BD1 ? n | 2 3 ?? ? 点 D1 到平面 BDE 的距离 d ? ? 3 |n|

-9-


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