当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第一章计数原理12排列与组合122组合第3课时教案新人教A版选修2 3(数学教案)

1.2.2 组合 第三课时 教学目标 知识与技能 理解排列组合的区别和联系,综合运用排列组合解决计数问题. 过程与方法 通过具体实例,经历把具体事例抽象为排列组合问题,利用排列、组合数公式求解的过 程. 情感、态度与价值观 能运用排列组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力. 重点难点 教学重点:综合运用排列组合解决计数问题. 教学难点:综合运用排列组合解决计数问题. 教学过程 复习回顾 提出问题 1:判断下列问题是组合问题还是排列问题?并求出下列问题的解. (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票? (2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? (3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同 的选法? (4)10 个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10 个人互通电话一次,共打了多少个电话? 活动设计:学生自主完成,教师提问. 活动成果:(1)(3)(4)是排列;(2)(5)是组合. 2 2 3 2 2 (1)A3=6;(2)C11=55;(3)A23=10 626;(4)A10=90;(5)C10=45. 1.从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺 序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. m 2.排列数公式:An=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N ,m≤n). n! An A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= = n-m. (n-m)! An-m m n n 3.组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. An n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n! m m 4.Cn= m= 或 Cn= (n,m∈N ,且 m≤n). Am m! m!(n-m)! 设计意图:回顾本单元基础知识,为本节课的学习服务. 典型例题 类型一:排数字问题 1(1)用 0,1,2,3,4 能组成多少个无重复数字的四位数? (2)这四位数中能被 3 整除的数有多少个? 思路分析:可以从特殊元素或特殊位置入手直接分析,也可以从对立面间接排除. 解:(1)直接分类法: 1 3 4 ①特殊元素分析法:分两类:选 0,有 A3A4=72 个;不选 0,有 A4=24 个.根据分类加 法计数原理可得共有 72+24=96 个. m 1 ②特殊位置分析法:先考虑首位,可以从 1,2,3,4 四个数字中任取一个,共 A4种方法, 3 再考虑其他三个位置,可以从剩下的四个数字中任取 3 个,即 A4种方法.根据分步乘法计数 1 3 原理共有 A4A4=96 种方法,即 96 个无重复数字的四位数. 4 ③间接排除法: 先从五个数字中任取四个排成四位数: A5, 再排除不符合要求的四位数, 3 4 3 即 0 在首位的四位数:A4.则共有 A5-A4=96 个. (2)能被 3 整除的四位数应该是四位数字之和为 3 的倍数的数. 分析:因为不含 0 时,1+2+3+4=10,10 不是 3 的倍数,所以组成的四位数必须有 0, 4 3 即 0,1,2,3 或 0,2,3,4,共有 2(A4-A3)=36 个. 点评:对于有特殊元素和特殊位置的问题,往往有三种方法:特殊元素分析法、特殊位 置分析法、间接排除法. 【巩固练习】 用 0,1,2,3,4 五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列. (1)第 49 个数是多 少?(2)23 140 是第几个数? 解:(1)首位是 1,2,3,4 组成的五位数各 24 个.所以第 49 个数是首位为 3 的最小的一 个自然数,即 30 124. 4 (2)首位为 1 组成 A4=24 个数; 3 首位为 2,第二位为 0,1 共组成 2A3=12 个数. 2 首位为 2,第二位为 3,第三位为 0 的数共 A2=2 个;首位为 2,第二位为 3,第三位为 1,第四位为 0 的数有 1 个,为 23 104. 4 3 2 由分类加法计数原理得:A4+2A3+A2+1=39. 按照从小到大的顺序排列,23 104 后面的五位数就是 23 140,所以 23 140 是第 40 个 数. 类型二:分组分配问题 2(1)6 本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法: ①分给甲、乙、丙三人,每人两本; ②分成三份,每份两本; ③分成三份,一份 1 本,一份 2 本,一份 3 本; ④分给甲、乙、丙 3 人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本; ⑤分给 5 个人,每人至少一本; (2)6 本相同的书,分给甲乙丙三人,每人至少一本,有多少种不同的分法? 思路分析: 可以根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理, 结合排列数和组合数来解 决这类问题. 2 解:(1)①分成三个步骤:第一步,选 2 本书分配给甲,有 C6种方法;第二步,从剩下 2 2 的 4 本书中选 2 本书分配给乙,有 C4种方法;第三步,将剩下的 2 本书分配给丙,有 C2种方 2 2 2 法.根据分步乘法计数原理,共有 C6C4C2=90 种方法. C6C4C2 ②在①的基础上去掉顺序即可,有 3 =15 种方法. A3 ③分成三个步骤:第一步,选 1 本书成为一组,有 C6种方法;第二步,从剩下的 5 本书 2 3 中选 2 本书成为一组,有 C5种方法;第三步,剩下的 3 本书成为一组,有 C3种方法.根据分 1 2 3 步乘法计数原理,共有 C6C5C3=60 种方法. 1 2 3 3 ④在③的基础上,把三组书分配给三个人即可,有 C6C5C3A3=360 种方法. 2 ⑤分成两个步骤:第一步,分成 5 组,有 C6种方法;第二步,将 5 组分配给 5 个人,有 5 2 5 A5种方法.根据分步乘法计数原理,共有 C6A5=1 80